最优化LP对偶原理

2、非对称形式的对偶关系：
（1） 原问题
对偶问题
MaxZ c x
T
MinW b y
T
Ax b s .t . x 0
(特点：等式约束)
A y c s .t . y符 号 不 限
T
（特点：对偶变量 符号 不限，系数阵 转置）
（ 2 ）怎样写出非对称形式的对偶问题？
3、饮食与营养问题
例2-2 采购甲、乙、丙、丁4种食品量分别为 x1，x2，x3，x4，在保证人体所需维生素 A(4000)、B(1)、C(30)前提下，使总的花 费最小。
甲 乙 丙 价格 0.8 0.5 0.9 Va 1000 1500 1750 Vb 0.6 0.27 0.68 Vc 17.5 7.5 0
三、对偶定理
对偶定理是揭示 原始问题的解与对偶问题的解之间重 要关系的 一系列定理。 定理3-1 对称性定理—— 对偶问题的对偶是原问题。
定理3-2 弱对偶定理——若一对对称形 式的对偶线性规划
MinZ c x
T
MaxW b y
T
Ax b （L） s .t . x0
T A yc 和 （D） s .t . y0 均有可行解，分别为 x 和 y ，则 cT x bT y
把一个等式约束写成两个不等式约束， 再根据对称形式的对偶关系定义写出；
按照原始-对偶表直接写出 ；
（3）原始-对偶表
原问题（或对偶问题）
目标函数 Min cT x
约束条件数：m个
T T T
对偶问题（或原问题）
目标函数 Max bT y
对偶变量数：m个
ai x bi ai x bi ai x bi
丙
现有资源
1
3
7
9
3
若工厂自己不生产产品甲、乙和丙，将 现有的工时及原材料转而接受外来加工时， 工厂要求包工及原材料的总价格最低。
对偶变量的经济意义可以解释为 对工时及原材料的单位定价 ；
MinW 3 y1 9 y 2 y1 y 2 2 y1 4 y 2 3 s .t . y1 7 y 2 3 y1 , y 2 0
LP原始问题与对偶问题的关系：
原始问题 对偶问题
有最优解
无界 不可行 不可行
有最优解
不可行 无界 不可行
MinZ c T x Ax b （P） s .t . x0
和
MaxW bT y
T A yc （D） s .t . y0
* * x 、 y 分别是原问题（P） 定理3-5 设
丁
1.5
3250
0.3
30
换一个角度，生产营养药丸的制药公司力图 使营养师相信，各种营养药丸勿须通过多种食 品的转换就能供营养师调剂。
制药公司面对的问题是为营养药丸确定 单价，以获得最大的收益，同时与真正 的食品竞争。 于是，营养药丸的单位成本不能超过相 应食品的市价。
二、对偶问题的一般形式 1. 对称形式的对偶关系的矩阵描述
该结论对非对称形式的对偶问题同样成立。
定理3-3 最优性准则定理 若 x 、 y分 别为一对对偶线性规划的可行解，且 两者目标函数的相应值相等，即
cT x bT y ，则 x ， y分别为原始问题
和对偶问题的最优解。
定理3-4 强对偶定理 若原始问题和对 偶问题两者均可行，则两者均有最优 解，且此时Βιβλιοθήκη Baidu标函数值相同。
MinZ c x
T
MaxW b y
T
T A yc （ D ） Ax b （L）s .t . s . t . y0 x 0 怎样从原始问题写出其对偶问题？
按照定义；
记忆法则：
“上、下”交换，矩阵转置， 不等式变号，“极小”变“极大”
例2-3 写出下面线性规划的对偶问题：
和对偶问题（D）的可行解，则 x *、y* 为（P）和（D）最优解的充要条件是
( y * )T ( Ax * b ) 0, ( c T ( y * )T A ) x * 0 .
例 验 证 如 下 优 化 问 题 的始 原对 偶 最 优 解 的 松 弛 互 补件 条 MinW 3 y1 9 y2 y1 y2 2 y1 4 y2 3 s.t . y1 7 y2 3 y1 , y2 0
Chapter 3 LP的对偶问题
一、对偶问题的提出
1、 对偶思想举例
周长一定的矩形中，以正方形面积 最大；面积一定的矩形中，以正方形
周长最小；
2、 换个角度审视生产计划问题
例2-1要求制定一个生产计划方案，在劳动力和 原材料可能供应的范围内，使得产品的总利润最 大 。 资源 人力 原材料 单位利润 产品 甲 乙 1 1 1 4 2 3
MinZ 2 x1 x 2 3 x1 4 x 2 15 s .t .5 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
MaxW 15 y1 10 y2 3 y1 5 y2 2 s .t . 4 y1 2 y2 1 y ,y 0 1 2
（用于生产第 i 种产品的资 源转让收益不小于生产该 种产品时获得的利润）
当原问题和对偶问题都取得最优解 时，这一对线性规划对应的目标函 数值是相等的： Zmax=Wmin=8
考察原问题和对偶问题的解，给作决 策的管理者另一个自由度；
怎样通过增加更多的资源来增加利润？
怎样使用不同类型的资源来增加利润？
xj 0 xj 0 x j free
yi 0 yi 0 yi free
约束条件数： n个 T
T T
决策变量数：n个
pj y cj pj y cj pj y cj
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4 x1 2 x 2 3 x3 4 x1 5 x 2 6 x3 7 8 x1 9 x 2 10x3 11 s.t. 12x1 13x 2 14 x1 0, x 2 符号不限, x3 0