【名师解析】江苏南通市2014届高三上学期期末检测数学试题 Word版含解析
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数学试卷
一、填空题(每题5分,满分70分,将答案填在答题纸上)
1.复数i 2i
z =-(其中i 是虚数单位)的虚部为 .
2.某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位:分钟)用茎叶图表示如图,图中左列表示时间的十位数,右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间(单位:分钟)的平均数为 .
4.分别在集合A ={1,2,3,4}和集合B ={5,6,7,8}中各取一个数相乘,则积为偶数的概率为 . 【答案】34
6.如图是计算
10
1
1 21
k
k =
-
∑的值的一个流程图,则常数a的取值范围是.
19
n=时,
111
,19221
1319
S n
=+++=+=,可得a的范围为:(]
1921
,.
考点:算法的循环结构
7.函数y=()π
x-的图象可由函数y = sin x的图象作两次变换得到,第一次变换是针对函数y = sin x sin2
3
的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的.现给出下列四个变换:
个单位;
A. 图象上所有点向右平移π
6
B. 图象上所有点向右平移π
个单位;
3
C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);
倍(纵坐标不变).
D. 图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
请按顺序写出两次变换的代表字母:.
9.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:2248190
x y x y
+--+=关于直线l:250
+-=对称的圆C2的方程
x y
为.
【答案】221
+=
x y
【解析】
10.给出以下三个关于x 的不等式:①2430x x -+<,②31>,③2220x m x m ++<.若③的解集非空,
且满足③的x 至少满足①和②中的一个,则m 的取值范围 .
11.设π02βα<<<,且113cos cos()714
ααβ=-=,
,则tan β的值为 .
12.设平面向量a ,b 满足3-a b a ·b 的最小值为 . 【答案】16
-
14.设函数()y f x =是定义域为R ,周期为2的周期函数,且当[)11x ∈-,时,2()1f x x =-;已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩,,,
. 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-,内公共点的个数为 .
二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或
15.设向量a (cos sin )αα=,
,b (cos sin )ββ=,,其中0πβα<<<. (1)若⊥a b
,求+a 的值;
(2)设向量c (0=,且a + b = c ,求αβ,的值.
16.如图,在三棱锥P —ABC 中,平面PAC ⊥平面ABC ,60BAC ∠=,E ,F 分别是AP ,AC 的中点,点D 在棱AB 上,且AD AC =.
求证:(1)//EF 平面PBC ;
(2)平面DEF ⊥平面PAC .
二、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.如图,港口A在港口O的正东120海里处,小岛B在港口O的北偏东60的方向,且在港口A北偏西30
的方向上.一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东30的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B,在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为1小时.
(1)求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间;
(2)给养快艇驶离港口A后,最少经过多少时间
能和科考船相遇?
18.设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数,S n 为其前n 项和,且满足23
71574
a a S a =-=,. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)试求所有的正整数m ,使得
+12
m m m
a a a +为数列{}n a 中的项. 【答案】(1)311n a n =-;(2)m 的值为3和4. 【解析】
19.在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,短半轴长为2,椭圆C 上的点到右
1. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,且π2
AOB ∠=.
①求证:原点O 到直线AB 的距离为定值; ②求AB 的最小值.
20.设函数()2ln f x a x bx =-,其图象在点()()22P f ,处切线的斜率为3-.
(1)求函数()f x 的单调区间(用只含有b 的式子表示);
(2)当2a =时,令()()g x f x kx =-,设1x ,2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根,0x 是1x ,2x 的等差中项,求证:0()0g'x <(()g'x 为函数()g x 的导函数).