第五章 电路的时域分析
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电路的时域分析
02 电路模型的建立
线性时不变电路
线性时不变电路
在电路分析中，线性时不变电路是一种理想化的电路模型，其特点是电路中的 元件参数不随时间和信号的改变而变化，且电路中的电压和电流满足线性关系。
线性时不变电路的特点
由于其线性特性，线性时不变电路满足叠加定理，即多个信号同时作用于电路 时，其响应可以通过单个信号作用的响应叠加得到。此外，线性时不变电路还 具有齐次性和可逆性。
对非线性元件的处理问题
非线性元件在时域分析中是一个挑战，因为 非线性元件的电压和电流关系不是线性的， 不能简单地用微分方程描述。
对于非线性元件，可以采用分段线性化或者 查找表的方法进行处理。分段线性化方法是 将非线性元件的特性近似为一系列线段，然 后分别进行线性分析。查找表方法是将非线 性元件的特性离散化，并预先计算出离散点 的响应，然后在时域分析时通过查表的方式
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电磁防护措施优化
基于时域分析的结果，可以对电磁防护措施进行优化，提高电路或 系统的电磁兼容性。
06 时域分析的局限性
对初始条件的敏感性
初始条件对时域分析结果的影响很大，因为电路的状态会受 到初始条件的直接影响。初始条件的不确定性可能导致分析 结果的误差，甚至可能导致错误的结论。
为了减小初始条件对时域分析的影响，可以采用多次模拟的 方法，取多次模拟结果的平均值作为最终结果，以提高分析 的准确性和可靠性。
微分方程的建立
微分方程的建立
在电路分析中，根据电路的结构和元件参数，可以建立描述电路中电压和电流变化 的微分方程。微分方程的建立通常基于基尔霍夫定律（KCL）和欧姆定律（Ohm's Law）。
微分方程的形式
电路分析第5章
《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
《电路分析简明教程》
2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
《电路分析简明教程》
§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
《电路分析简明教程》
又因为
d ds
[（s
电路分析基础教案(第5章) 2
§5-2 电容的VCR 例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形， 求电容电流i（t）。
0 0.5 1 1.5 -100 解：在关联参考方向时，i=C（du/dt）， 在0≤t≤0.25ms期间， i=1×10-6×[(100-0)/(0.25×10-3-0)=0.4A；
35
i(t) + C= u(t) 1 μ F -
100
u/V t/ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5-2 电容的VCR u/V
100 0 -100
t/ms 0.5 1 1.5
在0.25≤t≤0.75ms期间， i=1×10-6×[(-100-100)/(0.75×10-30.25×10-3)] =-0.4A；
36
§5-2 电容的VCR
100 0 -100
0.4
u/V
§5-1 电容元件
3、电容元件特点 线性电容有如下特点： （1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与 端钮接法无关。 斜率为C q/C C u/V
0
18
§5-1 电容元件 （2）动态性 若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的 电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。
电容相当于断 路（开路），所 以电容有隔断直 流作用。
8
第五章 电容元件与电感元件 电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的 激励有关，与过去的激励无关。 因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即 时的”。 与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响 应与激励的全部过去历史有关。 因此，动态电路是“有记忆”的。
9
第五章 电容元件与电感元件
本章主要内容： 动态元件的定义； 动态元件的VCR； 动态电路的等效电路； 动态电路的记忆、状态等概念。
第五章正弦稳态电路的分析
正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数。
②正弦信号容易产生、传送和使用。
返 回 上 页 下 页
j
F | F | e | F |
j
极坐标式
返 回 上 页 下 页
几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
j
b |F|
F
O
| F | a b b 或 θ arctan( ) a
2 2
a
Re
a | F | cos b | F | sin
O
F Re
返 回
上 页
下 页
特殊旋转因子
jF
Im
F
Re
jF
π jπ π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
O
F
π j π π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
π , e
w 2π f 2π T (3) 初相位
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
返 回 上 页 下 页
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
=0
一般规定：| |< 。
O
=/2
wt
=－/2
返 回
上 页
动态电路的时域分析 课件
1A + u _
iC
iL
5Ω 10Ω
t=0 +
+
C uC L uL
_
_
(a) 动态电路
图2.2.2 例2.2.2电路图
27
5.2 换路定则及其初始条 件
iC
iL
iC(0+)
iL(0+)
1A + u _
5Ω 10Ω 1A +
5Ω
10Ω
− d
2
≥0
无源 器件
电容存储的能量只与当前时间电容两端的电压值有关
电容的电压反映了其存储能量的大小，将电压称为电容的状 态变量。
6
5.1.1 电容元件
电容元件小结
1
uC(t) = uC(t0 ) + C
t
t0 iC( )d
iC
(t
)
=
C
duC (t dt
)
wC (t )
=
1 2
C
uC2 (t )
开关K闭合。试求各元件电流、电压初始值。
i1 3kΩ
t=0
US
+ u1 −
+
iC +
i2 +
_10V 10μF
uC 2kΩ u2
_
_
(a)
解： t<0时电路已达稳态，电容相当于开路．
uC (0− ) = US = 10V uC (0+ ) = uC(0− ) = 10V
20
5.2 换路定则及其初始条
第5章 动态电路的时域分析
第5章 动态电路的时域分析
• 5.1 电容元件与电感元件 • 5.2 换路定则及其初始条件 • 5.3 一阶电路零输入响应 • 5.4 一阶电路零状态响应 • 5.5 一阶电路完全响应 • 5.6 三要素法求一阶电路响应 • 5.7二阶电路
电网络分析选论第五章(动态电路的时域方程)
B2 AB1 B
输出方程
• 输出方程：联系输出与状态变量 和输入之间的关系式
(1)线性时不变网络 y Cx Du
y为输出向量,x为状态向量, u为输 入向量, C和D为仅与电路结构和 元件值有关的系数矩阵。
(2)线性时变网络 y C(t)x D(t)u
(3)非线性网络 y h(x,u,t)
输入－输出方程到状态方程 （校外不讲！ ）
线性状态方程的解析方法（矩阵 函数法、复频域解法都很有用， 课件都有，请自学！）
二、从输入－输出方程到状态方程
• 实现：由输入－输出方程确定其状 态空间表示 情形1
y(n) a1 y(n1) an1y an y bmu
取 y(t)、y(t)、 、y(n1) (t) 为系统的n 个
k 1
k 1
k 1
k 1
nDE
其中 min( nDk ) 为第k个广义C-E回路中所含电 容和D型元件中最低阶元件的阶数（电容的阶 数为1）；
其中 min( nEk ) 为第k个广义L-J回路中所含电感 和E型元件中最低阶元件的阶数（电感的阶数 为1）。
确定C-E回路和L-J割集的拓扑方法 用拓扑法决定独立的(广义)C-E 回路和(广义)L-J割集
i1
i1
L1
i2
N1
i3
N2
N1
i2 L2
N2
is
i1 i2 i3 0
i1 i2 is
L-J割集中一个电感电流不独立
➢ 非常态网络的复杂度
nd bL bC nL nC
广义常态网络及其复杂度
广义常态网络
对于电阻、电感、电容、D型元件、E型元件
和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电
输出方程
• 输出方程：联系输出与状态变量 和输入之间的关系式
(1)线性时不变网络 y Cx Du
y为输出向量,x为状态向量, u为输 入向量, C和D为仅与电路结构和 元件值有关的系数矩阵。
(2)线性时变网络 y C(t)x D(t)u
(3)非线性网络 y h(x,u,t)
输入－输出方程到状态方程 （校外不讲！ ）
线性状态方程的解析方法（矩阵 函数法、复频域解法都很有用， 课件都有，请自学！）
二、从输入－输出方程到状态方程
• 实现：由输入－输出方程确定其状 态空间表示 情形1
y(n) a1 y(n1) an1y an y bmu
取 y(t)、y(t)、 、y(n1) (t) 为系统的n 个
k 1
k 1
k 1
k 1
nDE
其中 min( nDk ) 为第k个广义C-E回路中所含电 容和D型元件中最低阶元件的阶数（电容的阶 数为1）；
其中 min( nEk ) 为第k个广义L-J回路中所含电感 和E型元件中最低阶元件的阶数（电感的阶数 为1）。
确定C-E回路和L-J割集的拓扑方法 用拓扑法决定独立的(广义)C-E 回路和(广义)L-J割集
i1
i1
L1
i2
N1
i3
N2
N1
i2 L2
N2
is
i1 i2 i3 0
i1 i2 is
L-J割集中一个电感电流不独立
➢ 非常态网络的复杂度
nd bL bC nL nC
广义常态网络及其复杂度
广义常态网络
对于电阻、电感、电容、D型元件、E型元件
和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电
《电路分析》——动态电路的时域分析
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充 电完毕，电路达到新的稳定状态
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
Us
R+
uC
C
U S uc
US
–
R?
i
前一个稳定状态
有一过渡期
0
t1新的稳定状态
过渡状态
t
(t <t2)
i
K未动作前，电路处于稳定状 态
R+
Us
uC C
i = 0 , uC= Us
–
K动作后很长时间，电容放电完毕，
(t = t2)
i
电路达到新的稳定状态
R+
K
uC C
i = 0 , uC = 0
– U S uc
US
R
i
第三个稳定状态
前一个稳定状态 0 有一过渡期
t1第二个稳定状态 t
过渡状态
电感电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uL
–
K未动作前，电路处于稳定状 态
a2
d
2 f (t) dt 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
e(t)
t0
(3)高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
an
d
n f (t) dt n
an1
d
n1 f (t) dt n1
电路时域分析方法
1 43
3
6
5
3 i2 i5 i6 0 4 i3 i4 i5 0
4
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1) n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为：
(n 1) b (n 1) b
后3类方程的解析解难以求出，可借助计算机求数 值解。
线性电阻电路时域分析方法
1.回路电流法
以基本回路中的回路电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。当 取网孔电流为未知量时，称网孔法
基本思想 为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中
有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的
i1 R1
+ uS1
i
R1
R3
R2
R4
+
_
uS
R5
元件的串联及并联 组合作为一条支路
n4 b6
抛开元 件性质
n5 b8
8
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
6
7
6
一个元件作 为一条支路
有向图
(1) 图(Graph) (2) 路径 （3）连通图
① G={支路，节点} １
②
从图G的一个节点出发沿着一些支路连续 移动到达另一节点所经过的支路构成路经。
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
l bl b (n 1)
基本回路(单连支回路) 基本回路具有独占的一条连枝
6
4
5
2
1
3
5 2
1
3
6
2 13
信号与系统(第三版)第五章离散时间系统的时域分析
信号取值
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
电路分析基础第五章
因此得电流随时间变化的曲线如下图(C)所示。
例5-2
如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流
波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。
解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：
1 t u(t ) u(t 0 ) i()d C t0
t t0
为此，需要给出i(t)的函数式。对所示三角波，
流作用的结果，即电压“记载”了已往电流的全部历 史，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆 元件。
1 t0 1 t u c ( t ) i c ( )d i c ( )d C C t0 1 t u c ( t 0 ) i c ( )d C t0 所以，只要知道了电容的初始电压和t≥t0时作用于电
如：
R 12
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R12 R1 R31 R3
RΠ = 3RT
外大内小
R 1R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 12 R3
R2
R23
RT = RΠ/3
R T1 R 12R 31 R 12 R 23 R 31
注意
高，介质会被击穿。而电容被击穿后，介质导电，
也就丧失了电容器的作用。因此，使用中不应超
过其额定工作电压。
第五章 电容元件与电感元件
§5-1 电容元件 §5-2 电容元件的伏安关系
§5-3 电容电压的连续性质和记忆性质
§5-4 电容元件的储能
§5-5 电感元件
§5-6 电感元件的VAR
§5-7 电容与电感的对偶性 状态变量
可分段写为：
等等。分段计算u(t)如下：
电压波形如图(C)所示。
第五章 电容元件与电感元件
例5-2
如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流
波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。
解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：
1 t u(t ) u(t 0 ) i()d C t0
t t0
为此，需要给出i(t)的函数式。对所示三角波，
流作用的结果，即电压“记载”了已往电流的全部历 史，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆 元件。
1 t0 1 t u c ( t ) i c ( )d i c ( )d C C t0 1 t u c ( t 0 ) i c ( )d C t0 所以，只要知道了电容的初始电压和t≥t0时作用于电
如：
R 12
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R12 R1 R31 R3
RΠ = 3RT
外大内小
R 1R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 12 R3
R2
R23
RT = RΠ/3
R T1 R 12R 31 R 12 R 23 R 31
注意
高，介质会被击穿。而电容被击穿后，介质导电，
也就丧失了电容器的作用。因此，使用中不应超
过其额定工作电压。
第五章 电容元件与电感元件
§5-1 电容元件 §5-2 电容元件的伏安关系
§5-3 电容电压的连续性质和记忆性质
§5-4 电容元件的储能
§5-5 电感元件
§5-6 电感元件的VAR
§5-7 电容与电感的对偶性 状态变量
可分段写为：
等等。分段计算u(t)如下：
电压波形如图(C)所示。
第五章 电容元件与电感元件
注电考试最新版教材-第10讲 第五章一阶电路和二阶电路的时域分析(一)(2011年新版)
0=t ：换路时刻，换路经历的时间为0_到+0；-=0t ：换路前的最终时刻；+=0t ：换路后的最初时刻；5.1.2动态电路的初始条件设0=t 时电路换路，若换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，则在换路瞬间电容元件的电压和电感元件的电流不能跃变，这就是换路定律。
其数学表达式为)0()0()0()0(-+-+==u u q q c 电容上电荷和电压不发生跃变！ ①若-=0t 时，0)0(q q C =-,0)0(U u C =-,则有0)0(q q C =+,0)0(U u C =+,故换路瞬间，电容相当于电压值为0U 的电压源；②若-=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q ,则应有0)0( ,0)0(==++C C u q ,则换路瞬间，电容相当于短路。
⎩⎨⎧==-+-+)0( )0( )0()0(L L L L i i ψψ电感的磁链和电流不发生跃变！ ①若-=0t 时，00)0( ,)0(I i L L ==--ψψ，则有00)0( ,)0(I i L L ==++ψψ,故换路瞬间，电感相当于电流值为0I 的电流源；②若-=0t 时，0)0( ,0)0(==--L L i ψ，则应有0)0( ,0)0(==++L L i ψ,则换路瞬间，电感相当于开路。
换路后初始瞬间+=0t 时刻，电路中电压和电流值称为初始值。
换路定律仅适用于电容电压和电感电流初始值的确定。
独立初始条件)0(+C u 和)0(+L i ：由-=0t 时的)0(-C u 和)0(-L i 确定。
非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、电感电压）需要通过已知的初始条件求得。
本节重点：动态电路初始值的确定，电路和换路情况复杂时，容易出错5.2一阶电路的时域分析5.2.1一阶电路的零输入响应零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。
电路的微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+0)0(0 0U u t u dt du RC C C C 0 )( 0≥=∴-t e U t u RC tC0 )(0≥=-=-t e RU dt du C t i RC t C 这里，特征方程RCs +1=0，特征根 1 RCs -=，时间常数RC =τ 。
电路设计中的时域分析与频域分析技术
电路设计中的时域分析与频域分析技术电路设计是现代电子领域中的一项关键技术，它在各种电子设备和系统的开发中扮演着重要角色。
其中，时域分析和频域分析是两种常用的分析技术，在电路设计中发挥着重要作用。
一、时域分析时域分析是指研究电路中信号随时间变化的分析方法。
在时域分析中，我们关注信号的幅度、频率和相位等各种特性，以了解电路中信号的行为和响应。
常用的时域分析方法包括响应分析、传输线性能分析和信号波形分析。
响应分析是对电路中输入信号与输出响应之间关系的研究。
通过观察电路的输入和输出信号，我们可以推断电路对不同频率和幅度的信号的响应情况。
这对于电路设计者来说很重要，因为它能够帮助我们确定电路的稳定性、滤波效果和信号处理能力等。
传输线性能分析主要关注信号在传输线上的传输特性。
信号在传输线上会遇到阻抗匹配、耦合和反射等问题，这些问题在设计高速数字系统和射频电路时尤为重要。
通过时域分析，我们可以深入了解信号在传输线上的行为，并采取相应的措施来解决问题。
信号波形分析是观察信号在电路中的波形变化。
通过观察信号的峰值、上升时间、下降时间和周期等特征，我们可以了解信号的频率、幅度和相位等信息。
这对于验证电路设计的正确性、识别故障和调试电路都非常重要。
二、频域分析频域分析是一种研究电路中信号频谱的分析方法。
在频域分析中，我们将信号从时域转化为频域，以了解信号在不同频率下的分量和特性。
常用的频域分析方法包括傅里叶变换、频谱分析和滤波器设计。
傅里叶变换是一种将信号从时域转化为频域的数学工具。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为一系列频率分量，清楚地看到信号的频率成分。
这对于了解信号的谐波特性、频率响应和功率谱密度等十分重要。
频谱分析是对信号频谱进行定量分析的方法。
通过频谱分析，我们可以测量信号的幅频特性、相频特性和功率谱密度等，并且可以检测到信号中的杂散和谐波等问题。
这对于评估电路的性能、优化设计和故障诊断都非常关键。
滤波器设计是基于频域分析的一项关键任务。
电路原理05动态电路的时域分析
(1) u > 0，且du/dt > 0，则i > 0，正极板上的电荷 q ，正向充电 (电流流向正极板)；
(2) u>0，且du/dt<0，则i< 0，正极板上的电荷 q，正向放电 (电流由正极板流出)；
(3) u < 0，且du/dt < 0，则i < 0，正极板上的电荷 |q|，反向充电 (电流流向负极板)；
+
i+
C1
u1
u
-
+
C2
u2
-
-
(a)
式中 1 1 + 1
当n个电容C1、…、Cn串
C串 C1 C2 联时，等效电容为
+
i
1 1 1
1 n1
+ ++
C串 C1 C2
Cn C k1 k
u
C串
即串联电容的数目越多，其等效电容就越小。 -
这是因为电容串联相当于加大了极板间的距离， C S (b)
-
( 1 + 1 ) t u( )d 1
t
u( )d
L1 L2 -
L并 -
+i
i1
i2
u L1
L2
(a)
即等效电感为
L并
L1 L2 L1 + L2
当n个电感L1、…、Ln并联时， 等效电感为
1 1 1
1 n1
+ ++
L并 L1 L2
Ln L k1 k
3. 电感的储能
i +ue L -+
di di
p吸
ui
(2) u>0，且du/dt<0，则i< 0，正极板上的电荷 q，正向放电 (电流由正极板流出)；
(3) u < 0，且du/dt < 0，则i < 0，正极板上的电荷 |q|，反向充电 (电流流向负极板)；
+
i+
C1
u1
u
-
+
C2
u2
-
-
(a)
式中 1 1 + 1
当n个电容C1、…、Cn串
C串 C1 C2 联时，等效电容为
+
i
1 1 1
1 n1
+ ++
C串 C1 C2
Cn C k1 k
u
C串
即串联电容的数目越多，其等效电容就越小。 -
这是因为电容串联相当于加大了极板间的距离， C S (b)
-
( 1 + 1 ) t u( )d 1
t
u( )d
L1 L2 -
L并 -
+i
i1
i2
u L1
L2
(a)
即等效电感为
L并
L1 L2 L1 + L2
当n个电感L1、…、Ln并联时， 等效电感为
1 1 1
1 n1
+ ++
L并 L1 L2
Ln L k1 k
3. 电感的储能
i +ue L -+
di di
p吸
ui
第五章离散信号与系统时域分析
解： (1) E2 3E 2 0
E1 1 E2 2
y0 (k) C1(1)k C2 (2)k
(2) 激励为f (k) 2kU (k) yt (k) A(2k )
代入差分方程，可得
yt
(k)
1 3
(2k
)
(3)
全 响 应 为y(k )
C1 (1) k
C2 (2)k
1 3
(2k
)
(4) 全响应为y(k) 2 (1)k 2 (2)k 1 (2k ) k 0
y(k) 2(1 k)(2)k
k 0
19
二、非齐次差分方程时域解
(En an1En1 a0 ) y(k) (bmEm b0 ) f (k)
传输算子 特征方程
H(E)
E n
bmE m b0 an1E n1 a0
En an1En1 a0 0 （自然频率）
时域解为
y(k ) y0 (k ) yt (k )
k 0 : f (k) 0 k 0 : y(k) 0
12
三、离散时间系统模型 1、差分方程描述： 例1：y(k)表示一个国家在第k年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡
率，是常数。设f(k)是国外移民的净增数，则该国在第k+1年的人口总数 y(k+1)为多少？
y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k)=(a-b+1)y(k)+f(k) 所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k)
3.倒相: y(k)=-f(k)
4.展缩: y(k)=f(ak) (横坐标k只能取整数)
5
四、常用离散信号 1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）
第五章·电路的时域分析
4. 零输入响应与初始状态的关系
小结：一阶RC、RL电路，可用一阶微分方程来描述它的 零输入响应
dy (t ) ay (t ) 0 dt { y (0 ) k }
y zp (t ) y (0 )e
对于一阶RC电路： 对于一阶RL电路：
t
t 0
(t 0)
RC
WR Ri 2 (t )dt
0
0
U 0 RC 2 1 R( e ) dt CU 02 R 2
t
例１：已知电路如下图所示，t＜0时电路处于稳态，t≥0时K1 打开，K2闭合，试求t≥0时的i(t)。 解 因为t≥0时
t=0 + 4V + 0.1F t=0 ic(t) uc(t) 0.2i(t) l且来自R1 6 R1 6
ic(t) + ic(t) + 0.5F 0.5F -
i2(t) i2(t) R2 3 R 3
2
开关闭合前 开关闭合后
初始条件 解得 所以
uC (0) 6
uC (t ) 6e t (V) (t 0)
uC (t ) i1 (t ) e t ( A ) 6 duC (t ) iC (t ) 0.5 3e t (A) dt i (t ) uC (t ) 2e t (A) 2 3
us 8i us R0 8() i
所以
R0C 8 0.1 0.8(s)
uCzp (t ) 4e
t 0.8
则
4e -1.25t (V) (t 0)
(t 0)
duC (t ) i (t ) C 0.5e 1.25t (A) dt
电路分析基础 第5章 二阶电路的时域分析
结论：RLC串联电路响应：
特征根:
R s1,2 2L
( R )2 1 2L LC
第5章 二阶电路的时域分析 L
Rd 2 C
1、双实根（过阻尼）： R Rd
uc Aes1t Bes2t Us
2、重根 (临界阻尼) ： R Rd
uc ( A Bt )est Us
3、共轭复根 (欠阻尼) ： R Rd
2、阻尼电阻与电路的动态元件参数、电路结构有关，
与电路的激励和初始状态无关。
《电路分析基础》
第5章 二阶电路的时域分析
二阶零输入响应形式：
R s1,2 2L
( R )2 1 2L LC
1、R Rd
R2 L C
两不等实根：(过阻尼)
uc (t ) Aes1t Bes2t A、B 由初始条件确定
R2 L C
二个共轭复根 uc (t) et ( Asind t B cosd t)
《电路分析基础》
第5章 二阶电路的时域分析
Rd 2
L C
(阻尼电阻)
1、具有电阻的量纲，称为RLC串联电路的阻尼电阻，
记为Rd。当串联电路R大于、等于、小于阻尼电阻 Rd时，电路分别称为过阻尼、临界、欠阻尼情况。 R=0时，电路称为无阻尼情况。
t=0
4Ω
1mF
+ uC -
i
12V
＋
uL 8mH
－ 点火线圈
12 i( 0 ) 4 3 A
uC ( 0 ) uC ( 0 ) 0V
火花塞
di(t ) dt
ห้องสมุดไป่ตู้
t 0
uL(0 ) L
0
12 Ri(t) L di(t) 1
电路分析基础-动态电路的瞬态分析-时域经典分析法
uc(0+)= uc(0-) =8V
i 12V
-
+
K 2
R3 R1
Us
+ uc
-
5R2
ic
+ uL
-
(a)
在0+等效图中: ③ 由0+等效图有：
4 iL 12V
-
+
i(0+) R1 Us uc(0+)
+
5
ic(0+) 8V
(b) 0+等效图
R2 4 +
uL(0+)
-
iL(0+)=2A
电容元件用uc(0+)电压源代替 电感元件用iL(0+)电流源代替
对于线性电感，设uL, i L取关联参考方向:
iL
自感电压：
+
uL
L 或
–
注：(1) uL的大小取决与 i L的变化率，与 i L的大小无关。
(2) 电感元件是动态元件。 当 i L为常数(直流)时，diL/dt =0 uL=0。 电感在直流电路中相当于短路线。
(3)uL，iL为非关联方向时，uL= –LdiL/dt 。
例：如图(a)零状态电路，K于t=0时刻闭合，作0+图
并求ic(0+)和uL(0+)。
K
ic
R2
C
Us
R1
+ L uL
-
(a)
K ic(0+)
C
Us
R1
R2 L
(b) 0+图
+
uL(0+) -
解: ① t<0时，零状态 →uc(0-)=0 iL(0-)=0 ② 由换路定理有：uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0
电工技术05第5章电路的时域分析课件
例2
K .
解: 1. 先求出 iL (0 ) ?
L
iL (0 )
20 2
10
mA
+
uL
iL 2. 造出 0 等效电路
20V 2k
-
2k R
u（L 0） 10mA
2k
电路原已达到稳态
设 t 0 时开关断开
求 : iL (0 ), uL (0 )
2k R
3. 求出各初值
iL (0 ) iL (0 ) 10 mA
通通解解即为R：C dudut"CC uC A 0e的 解RtC
又称自由分量或暂态分量 A为积分常数
t
求A uC (t) u'C Au"CU U Ae RC 代入初始条件 uC (0 ) 0
得u:Cu(Ct()0 )U UUAeet0RCUUA(10et /得RC ) A U
5.2.2 一阶RC电路的零输入响应
代入公式
uuCfc(((ttt)))uf1C1(00(1) [eufC(05(0000t))VuCf10())]
e也t-5可00以t
这样算
同理
i(0 ) U5m/AR i() 0mA
5mA
终得值
i(t)
初5值e500t
2103 s
i时(t)间常C数duc dt
时间常数的求法 RC电路 时间常数为 τ=R0*C
叠加方法
状态为0，即U0=0
uC1
U
Ue
t
uC (0 ) U 0
根据换路定理
uC (0 ) U 0
uC () U
输入为0，即U=0
uC 2 U0et /
uC uC1 uC 2 U (U0 U )et /
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5e
初值
500 t
这样算 du c i时间常数 (t ) C dt
时间常数的求法： RC电路： 时间常数为 τ=R0*C
R0为独立源失效后,从C 两端看进去的等效电阻
R0
本例中 R0 2 3 5k
RL电路：
5 103 1106 5 103 s
时间常数为τ=L/R0
2. 根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确 定其它电量的初始值。
i 0 等效电路中电容和电感的处理： S S R R
uC U uC ( 0 ) _ 将电容用电压源替代，电压为 C
根据换路定律： +
i 求初值的步骤：R i
1. 先求出 + uC ( 0 ) i L ( 0 ) u U C _ 0 2. 造出 等效电路 C
u ( 0 ) 4 C 2mA iC (0 ) R2 2
uC () 0 iC () 0
例2
K
.
+
解: 1. 先求出 L
uL
20V
iL (0 ) ? iL (0 ) 20 2 10 mA
0 等效电路
2 k
2 k
iL
2. 造出
-
2 k R
c
0.01s
10 75e
100 t
V
例3
解：
已知：s 在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。 求: 电感电压 u L (t ) R1 2 S IS 3A t=0 R2 2 R3 1 L 1H
t /
时间常数
f (t ) f () f (0 ) f () e
t /
5.3 求解一阶电路 的三要素法
电路中含有一种储能元件，其时域响应就可用一阶微分方程 来描述，这种电路称为一阶电路。 一阶电路微分方程解的通用表达式：
t
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
求如下电路换路后的时间常数
R0=?5kΩ
R0=?5kΩ
3 6
R0C 510 2 10 0.01s
R0 2
1 L 0 .5 s R0 2
解：
习题5-9 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的 u
R0C 5 103 2 106
c
(t )
uC Ae
0
uC (0 ) Ae U uC Ue
uC Ue
RC为时间常数
RC
RC tt
将 uC (0 ) U 代入 du
dt 得 A U
U
C
uC 0
uC
变化规律： uc
称
t
5.2.2 一阶RC电路的零状态响应
t=0 K + _U
R
i
C
电压方程
uR
uC
第五章 电路的时域分析
5.1 概述 换路定理
5.2 RC电路的时域分析
5.3 求解一阶电路的三要素法
5.4 脉冲激励下的RC电路
5.1 概述 换路定理
5.1.1 “稳态”与 “暂态”的概 念 S R + _ R + _U
U
uC
C
uC
电路处于旧稳态
电路处于新稳态
稳态： 给定条件下，电路中的电压、电流物理量达到稳定状态
0 ---
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
用换路定律可以求出0+ 时刻的初始值， 初始值是电路时域分析的重要条件。
§5.1 概述
1. “稳态”与 “暂态”的概 念 2. 产生过渡过程的电路及原因 含有电容和 电感的电路 原因？ 当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生
求A
Au" C U uC (t ) u' C U Ae
t
RC
代入初始条件 uC (0 ) 0
0 t u ( 0 ) U Ae RC U A0 得: C
uC (t ) U Ue
U (1 e
U 得 t /A RC
)
5.2.2 一Biblioteka RC电路的零状态响应du C RC uC U dt
一阶常系数线性微分方程 特解 通解
方程的解由两部分组成：
uC (t ) u'C u"C
uC () 作特解 取换路后的新稳态值（稳态分量或强制分量） 特解为： u'C (t ) uC () U 又称稳态分量或强制分量
t du C 又称自由分量或暂态分量 RC RC u" uC 0 通解即 的解 通解为： Ae dt C A为积分常数
一阶电路过渡过程的求解方法 根据电路规律列写电压、电 流的微分方程，若微分方程是一 阶的，则该电路为一阶电路
t=0 K +
_U
R C
i
uC
du C U Ri uC RC uC dt
用数学方法求解微分方程； (二) 三要素法:求 初始值 稳态值 本节重点 时间常数 (一) 经典法:
5.2.1 一阶RC电路的零输入响应
t=0
R
uR C
+ U 方程通解为： 即:
uC (0 ) U uC () 0 i 列写回路方程： du C RC uC 0 du C uC u u dt R C 0 iC dt
RC t Ri uC 0
一阶常系数线性奇次微分方程
暂态：电路参数从一个稳态转换到另一个稳态需要一个过渡时 间此段时间内电路所产生的物理过程称为过渡过程。过
渡过程状态又称为暂态。
5.1.2 产生过渡过程的电路及原因
电阻电路 结论： 电阻电路不存在过渡过程。 t=0 S 结论： 电容电路存在过渡过程。 , 它储存的能量为电场能量 ,大小为 : 电容电路 电容为储能元件 开关 S 闭合后的 I ？ S R S 闭合后的UC？ I + t 1 u 2
当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
5.2.3 完全响应及其两种分解形式
K t=0 R + _U 叠加方法 C
i
uC (0 ) U 0
uC
根据换路定理
uC (0 ) U 0
uC () U
状态为0，即U0=0
输入为0，即U=0
t
uC1 U Ue
uC 2 U 0 e
I
uc () 10V uc (0 ) 换路前 u (0 ) ? 85 V c uc () 15 10 I 25 15 85 100 10 I (0 ) c uu ( 0 ) u ( 0 ) V5 c c uc (0 ) 85V I 15 5 10 2.5mA t u ( t ) u ( ) [ u ( 0 ) u ( )] e c c c c u () 10V
式中
f (t ) 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
f (0 )
------初始值 ------稳态值
三要素
f ( )
------时间常数
三要素法 分别求初始值、稳态值、时间常数
求解过程 将以上结果代入过渡过程通用表达式
“三要素法”例题1 R t=0 S i
已知参数R=2kΩ、U=10V、C=1μF,
R0
R0 5 5 10
0.5 / 10 5 102 s
习题5-3 求如下电路换路后的时间常数
R0 1.5k R0C 1.5 103 10001012 6 1.5 10 s
R0 2k 3 12 R0C 2 10 100010 6 2 10 s
10mA u（ 0 ） L
2 k
R
电路原已达到稳态，
设 t 0 时开关断开， 求 : iL ( 0 ),
3. 求出各初值
iL (0 ) iL (0 ) 10 m A
u L (0 )
uL (0 ) 10 （2 2） 0
uL (0 ) 40V
5.2 RC电路的时域分析
500 t
uu t )) 10 0 10 u ( ) uf () u ( 0 )) (1 [e V fc( (( tt ) f10 f C( 0 )] e 也可以 C C C
t-500t
i(0 ) U / R 5mA 5mA 得：i(t ) i() 0m A 终值 2 103 s
+ _U
uR
C
uC 且开关闭和前
uc(0-)=0。 开关S在t=0
时刻闭合，求t >0时的 uc(t) 和 i(t)。
时间常数的求法？
解： 求初值
uC (0 ) uC (0 ) 0
求终值
时间常数 代入公式 同理
uC () U 10V 3 6 3 RC 2 10 110 2 10 S
R1
R2
iC
C
U=12V
时刻发生换路。求
uC
R1=4k R2=2k C=1F
uc (0 )、 ic (0 )
解：
1. 先求出
2. 造出
uC ( 0 )
uc (0
R2 2 ) U 12 4V R1 R2 42
0 等效电路
3. 求出各初值
uc (0 ) uc (0 ) 4V
t=0 K + _U
R
i
C
C 若τ较小，则曲线是什么样的？ 电压方程 RC uC U