巧解一元二次方程的整数解竞赛题

巧解一元二次方程的整数解竞赛题

一.巧用分解因式法

(其中a 是非负整数)至少有一个整数根,那么a=________

例2.当k 为何整数时,关于的二次方程 的两根都为整数.

二.巧用主元分析法 例3.(1995年海淀区初三竞赛题)已知方程 的两个根都是整数,求m 的整数值.

例4.(第三届“祖冲之杯”初中数学竞赛题)求出所有这样的正整数a,使得关于x 的方程

至少有一个整数根.

例5．（2005年全国初中联赛试题）已知a 为正整数a=b-2005，若关于x 的方程 有正整数解，则a 的最小值是____________.

例6.(2002年全国初中联赛试题)试确定一切有理数r,使得关于x 的方程 有根且只有整数根.

a 2x

2-(3a 2-8a)x+2a 2-13a+15=0 x 2-3kx+2k 2-6=0 x 2+(m+1)x+2m-1=0 ax 2+2(2a-1)x+4(a-3)=0 x 2-ax+b=0 rx 2+(r+2)x+r-1=0

四.巧用判别式 例7.（2004年全国初中联赛试题）已知方程 的根都是整数，求整数n 的值。

例8.(1996年上海初中数学竞赛试题)若关于x 的方程 至少有一个整数根,且a 为整数,求a 的值.

练习：

1.(第13届江苏省初中数学竞赛试题)求满足如下条件的所有k 值,使关于x 的方程

的根都是整数.

,

2.（1996年黄冈市初中数学竞赛题）求使关于x 的方程 有整数根的所有整数a.

kx 2+(k+1)x+k-1=0 x 2-6x-4n 2-32n=0 ax 2+2(a-3)x+(a-2)=0 (a+1)x

2-(a 2+1)x+2a 2-6=0

3.（1998年上海市初中数学竞赛题）设a 为整数，若存在整数b 和c ，使(x+a)(x-1)-25=(x+b)(x+c)，求a 可能的值。

4.(第二届《学习报》初中数学公开赛试题)设方程 有两个不同的奇数根,求整数m 的值.

5.(1993年全国初中数学竞赛题)已知方程 (m 是整数)有两个不等正整数根,求m 的值.

6. 已知方程 的两根都是整数,试求整数的值.

x 2+(m+6)x+m-3=0 (a≠0)

x 2+mx-m+1=0 x 2+(a-6)x+a=0 (a≠0)

7. 已知方程 有两个整数根,试求a 的值.

8.已知a ，b 为正整数，且满足

求a ，b 的值。

x 2-(a+8)x+8a-1=0 a+b a 2+ab+b 2=449