专题：解二元一次方程组

解题技巧专题：解二元一次方程组

——学会选择最优的解法

◆类型一 解未知数系数含有1或－1的方程组

一、直接运用或变形后运用代入法解方程组

1．方程组⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋2y ＝8的解是________． 2．解方程组：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝5①，2x ＋5y ＝9②.

二、两个方程中某一未知数都含有系数1或－1，运用加减法解方程组

3．二元一次方程组⎩

⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，x －y ＝3的解为( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1

C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1

D .⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1 4．方程组⎩

⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－3，x ＋3y ＝2的解为________． 5．解方程组：

(1)⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5①，3x －y ＝3②；

(2)⎩

⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1①，x ＋5y ＝8②.

◆类型二 解两个方程中某一未知数系数为倍数关系的方程组

6．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，x －y ＝1

的解为( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3 B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3 D .⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1 7．解方程组：

(1)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ＝5①，3a ＋2b ＝8②；

(2)⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝11①，6x ＋y ＝22②.

◆类型三 解两个方程中未知数系数成对称关系的方程组

一、解未知数系数成对称关系的方程组

8．解方程组：⎩

⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝10①，3x ＋2y ＝15②.

二、不解方程组求字母或式子的值

9．若x ，y 满足方程组⎩

⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝10，5x ＋3y ＝12，则x －y 的值为________． 10．已知a ，b 的值同时满足方程a ＋2b ＝8和2a ＋b ＝10，则a ＋b ＝________．

11．若方程组⎩

⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝1＋3a ①，x ＋3y ＝1－a ②的解满足x ＋y ＝0，求a 的值．

◆类型四 含字母系数的方程组的运用

12．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1

的解，则2m －n 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

13．若方程组⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＝4，x －y ＝－5的解也是方程2x ＋3y ＝5的解，则a 的值为________． 14．有一个代数式ax ＋by ，当x ＝5，y ＝2时，它的值是1；当x ＝1，y ＝3时，它的值是－5，试求当x ＝7，y ＝－5时，代数式ax ＋by 的值．

15．已知关于x ，y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a －2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．

16．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，ax ＋by ＝－4和方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝12，bx ＋ay ＝－8

的解相同，求(5a ＋b)2的值．

参考答案与解析

1.⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3 2．解：由①得x ＝5－3y ③，把③代入②，得2(5－3y )＋5y ＝9，解得y ＝1.把y ＝1代入

③，得x ＝2.所以原方程组的解为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 3．B 4.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1

5．解：(1)由①＋②，得4x ＝8，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝3.所以原方程组的解为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. (2)由②－①，得7y ＝7，解得y ＝1.把y ＝1代入②，得x ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.

6．B

7．解：(1)①×3－②，得7b ＝7，解得b ＝1.把b ＝1代入①，得a ＋3＝5，解得a ＝2.

所以原方程组的解为⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. (2)②×2－①，得11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入①，得3＋2y ＝11，解得y ＝4.所以

原方程组的解为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 8．解：①＋②，得5x ＋5y ＝25，所以x ＋y ＝5③.①－③×2，得y ＝0.把y ＝0代入③，

得x ＝5.所以原方程组的解为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. 9．1 解析：两个方程相减，得2x －2y ＝2，所以x －y ＝1.

10．6 解析：两个方程相加，得3a ＋3b ＝18，所以a ＋b ＝6.

11．解：①＋②，得4x ＋4y ＝2＋2a ，所以x ＋y ＝1＋a 2.因为x ＋y ＝0，所以1＋a 2

＝0，解得a ＝－1.

12．C 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入原方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩

⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2，所以2m －n ＝2×3－2＝4.故选C.

13．2 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－5，2x ＋3y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.将⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3代入方程x ＋ay ＝4，得－2＋3a ＝4，解得a ＝2.

14．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，a ＋3b ＝－5，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.所以ax ＋by ＝x －2y .当x ＝7，y ＝－5时，x －2y ＝7－2×(－5)＝17.

15．解：当a ＝3时，原方程为2x ＋y －1＝0.当a ＝4时，原方程为3x ＋2y －3＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，3x ＋2y －3＝0，得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3. 16．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，3x －y ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6代入⎩

⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－4，bx ＋ay ＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －6b ＝－4，2b －6a ＝－8，解得⎩

⎨⎧a ＝74，b ＝54，所以(5a ＋b )2＝⎝⎛⎭⎫5×74＋542＝102＝100.