1抛物线的几何性质 人教版高中数学第三册课件
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2020/9/29
新授内容
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
2020/9/29
新授内容
六、抛物线开口方向的判断
y 2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y 2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x 2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x 2 2 py -y，y轴负半轴，向下
2020/9/29
例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线相切．
y
C
B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
x
何知识来证 D A
比较简捷．
2020/9/29
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l
引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
x
DA
2020/9/29
练习 求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
x2 16y
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18 ） （- —5 ，0）
8
（0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2源自文库
2020/9/29
新授内容
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0 X •y取全体实数
2020/9/29
新授内容
二、抛物线的对称性 y2=2px
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
2020/9/29
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳M MNF︳︳1,则点M的轨迹是抛物线
2020/9/29
复习：
．y A O
y或y2 =
x
4
x。
3
练习3 M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
p M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
X + — 0
2 ————————————
这就是抛
． y M
物线的焦 半径公式!
．
OF
x
2020/9/29
练习4
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
2020/9/29
标准方程:x为 2 8y
2020/9/29
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
=
9
2
2020/9/29
2020/9/29
练习1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦F 点 3,0 准线:方 x程 3
2
2
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦F 点 0,1 准线:方 y1程
24
24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
求它的标准方程。
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2020/9/29
练（1习）5y2填= 表20x:下列（抛2物）线x2=的1焦y点坐标和准线方程
2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
二、抛物线的标准方程 y
设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
l
· N M
设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知，
·x
Ko F
(xp)2y2xp
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2020/9/29
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量如为X,则X轴为抛物线 的对称轴，焦点就在对称轴X轴上呀！ 一次项的变量如为Y,则Y轴为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴Y轴上呀！ 第二：一次变量的系数正负决定了开口方向
Y
关于X轴对称
没有对称中心，因 此，抛物线又叫做 X 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
2020/9/29
新授内容
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 X点 只有一个顶点
2020/9/29
新授内容
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
（2）顶点在原点，准线是x＝4
y2 16x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
2020/9/29
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它
的焦点、准线、方程
3、注重数形结合的思想。
新授内容
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
2020/9/29
新授内容
六、抛物线开口方向的判断
y 2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y 2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x 2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x 2 2 py -y，y轴负半轴，向下
2020/9/29
例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线相切．
y
C
B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
x
何知识来证 D A
比较简捷．
2020/9/29
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l
引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
x
DA
2020/9/29
练习 求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
x2 16y
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18 ） （- —5 ，0）
8
（0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2源自文库
2020/9/29
新授内容
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0 X •y取全体实数
2020/9/29
新授内容
二、抛物线的对称性 y2=2px
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
2020/9/29
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳M MNF︳︳1,则点M的轨迹是抛物线
2020/9/29
复习：
．y A O
y或y2 =
x
4
x。
3
练习3 M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
p M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
X + — 0
2 ————————————
这就是抛
． y M
物线的焦 半径公式!
．
OF
x
2020/9/29
练习4
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
2020/9/29
标准方程:x为 2 8y
2020/9/29
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
=
9
2
2020/9/29
2020/9/29
练习1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦F 点 3,0 准线:方 x程 3
2
2
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦F 点 0,1 准线:方 y1程
24
24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
求它的标准方程。
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2020/9/29
练（1习）5y2填= 表20x:下列（抛2物）线x2=的1焦y点坐标和准线方程
2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
二、抛物线的标准方程 y
设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
l
· N M
设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知，
·x
Ko F
(xp)2y2xp
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2020/9/29
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量如为X,则X轴为抛物线 的对称轴，焦点就在对称轴X轴上呀！ 一次项的变量如为Y,则Y轴为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴Y轴上呀！ 第二：一次变量的系数正负决定了开口方向
Y
关于X轴对称
没有对称中心，因 此，抛物线又叫做 X 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
2020/9/29
新授内容
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 X点 只有一个顶点
2020/9/29
新授内容
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
（2）顶点在原点，准线是x＝4
y2 16x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
2020/9/29
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它
的焦点、准线、方程
3、注重数形结合的思想。