偏导数

xy) y1 , z y

(1
xy) y ln(1
xy)
xy 1 xy ;
2、u z( x y)z1
,
u

z(x
y ) z 1 ,
x 1 ( x y)2z y 1 ( x y)2z
u ( x y) ln( x y) . z 1 ( x y)2z

a
2e ax
cos
by,
u beax sin by; y
2u y2

b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
| y|
( x2 y2 )3
Βιβλιοθήκη x2x y2
sgn
1 y
( y 0)
z 不存在． y x0
y0
例 4 已知理想气体的状态方程 pV RT （R为常数），求证： p V T 1.
V T p
证
p

RT V

p V


RT V2
;
V RT V R; T pV T V ;
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数
图合
图 形
形偏
例 6 设u eax cosby ，求二阶偏导数.
解 u aeax cos by, x
2u x 2
p T p
R p R
p V
V T
T p


RT V2
R V RT p R pV
1.
有关偏导数的几点说明：
１、 偏导数u 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x, y) xy , 求fx (0, 0), f y (0, 0).
,
0, x y 0; x 0, y 0

1, x 0
f xy


x2 x2

y2 y2
,
xy

0.
1, x 0, y 0

y
x
,求 2 x
z
2
,
2 y
z
2
和
2z xy
.
五、设z

x
ln(
xy)
,求 x
3 2
z y
3z 和xy 2
.
六、验证:
1、z

11 ( )
e x y ,满足 x 2
z

y2
z

2z；
x y
2、r x 2 y 2 z 2 满足
2r x 2

偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当y 固定在y0 而x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，则称
解
f
x
(0,0)

lim
x0
|
x0|0 x

0
f y (0,0).
３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)


x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
3、
y
x
y 1
z,
1
x
y z
ln
x
,

y
y
x z ln x ；
z
z
z2
4、 2 xy , 2 xy , y 2 x 2 ； (x2 y2 )2 (x2 y2 )2 (x2 y2 )2
5、 ( x )z ( 1 z ln x ). y yy y
二、1、
z x

y 2 (1
2r y 2

2r z 2

z. r
七、设
f
( x,
y)


x
2

arctan
y x

y2
arctan
x y
,
xy

0
0, xy 0
求 f x , f xy .
练习题答案
一、1、 2 csc 2x , 2x csc 2x ； y y y2 y
2、e xy ( xy y 2 1),e xy ( xy x 2 1)；
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 ,
在(0,0)处连续, 但 f x (0,0) f y (0,0)不存在.
练习题
一、填空题:
1、设z ln tan x ,则z ________;z _________.
y x
y
2、设z e xy ( x y),则 z _______;z ________.
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y) 对
自变量x 的偏导数，
记作 z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y 的偏导
数，记作z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线M 0Tx 对x 轴的
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对x 的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为z y
，f x x0 y
，z y
x x0
x x0 y y0
或 f y ( x0 ,
y0 )
.
y y0
y y0
如果函数z f ( x, y)在区域 D 内任一点
( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
两个二阶混合偏导数必相等．
例 6 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
斯方程
2u x 2

2u y2

0.
解 ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ), 2
u x

x2
x
y2
,
u y

x2
y
y2
,

2u x 2

(x2 y2) (x2
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z.
原结论成立．
例 3 设z arcsin x ，求z ，z . x2 y2 x y
0.
三、小结
偏导数的定义 （偏增量比的极限）
偏导数的计算、偏导数的几何意义
高阶偏导数


纯偏导 混合偏导（相等的条件）
思考题
若 函 数 f ( x, y) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续，能否断定 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )
的偏导数必定存在？
思考题解答
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)

lim
z0
解
z x
1

1 x2
x2
y2


x x2
y2
x
x2 y2
y2
| y|
( x2 y2 )3

| x2
y
| y
2
.
( y2 | y |)
z y
1
1 x2
x2
y2

x x2
y2
y
x2 y2 ( xy)
求2z x 2
、 2z yx
、 2z xy
、 2z y 2
及 3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
x
y
2z x 2

6
xy2
,
3z x 3

6
y2,
2z y 2

2x3

18xy;
2z xy 6x2 y 9 y2 1,
三、 .
4
四、 2 z

yx
ln 2
2z y,

x( x 1) y x2 ,
x 2
y 2
2 z y x1 ( x ln y 1). xy
3z
3z
1
五、x 2y

0, xy 2


y2
.
2x arctan
y x

y,
xy

0
七、 f x y, x 0, y 0
5、设u ( x)z ,则 2u __________. y zy
二、求下列函数的偏导数:
1、z (1 xy) y ；
2、u arctan(x y)z .
x2 y2
三、曲线
z

4
,在点(2,4,5)处的切线与正向x
y 4
轴所成的倾角是多少?
四、设z
x y2 )2
2x

y2 (x2
x2 y2 )2
,
2u (x2 y2) y 2 y x2 y2 y2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 .

2u x 2

2u y2

(
y2 x2
x2 y2 )2

(
x2 x2
y2 y2 )2
z
.
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数．
解
z 2x 3y ; x
z y

3x 2y .

z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2

3122 7 .
例 2 设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty对y 轴的
斜率.
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x

z x


2z x 2

f xx ( x, y),
y

z y

x
y
3、设u

x
y z
, 则u

__________;u

__________;
x
y
u ____________. z
4、设z

arctan
y ,则2z x x 2
________; 2 z y 2

_______;
2 z ____________. xy

2z y 2

f yy ( x, y)
纯偏导
y

z x


2z xy

f
xy
(
x,
y),
x

z y


2z yx

f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，