第7章线性离散系统的理论基础习题答案

第7章线性离散系统的理论基础

7.1 学习要点

1 控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式；

2 各种校正方法、方式的特点和适用性；

3各种校正方法、方式的一般步骤。

7.2 思考与习题祥解

题7.1 思考下述问题

（1）什么叫信号的采样？

（2）什么是采样控制系统？采样控制系统与连续系统的主要差别是什么？

（3）试述采样过程和采样定理。

（4）什么是保持器，保持器的功能是什么？

（5）零阶保持器的传递函数是什么？对应的脉冲传递函数是什么？

（6）用零阶保持器恢复的连续时间信号有何显著特征？

（7）常用的z变换的方法是什么？如何求系统的脉冲传递函数？

（8）求Z反变换有哪几种方法？各有什么特点？

（9）差分方程如何求解？

（10）脉冲传递函数是如何来描述采样系统的？

（11）如何求得采样系统的开/闭环脉冲传递函数？

（12）对于用闭环脉冲传递函数描述的采样控制系统，系统稳定的充分必要条件是什么？

（13）如何采用劳斯判据来判断采样系统的稳定性？

（14）闭环极点与采样控制系统瞬态特性的关系是什么？

答：

（1）采样控制系统是通过采样开关将连续的模拟量转换为离散量的，将开关闭合期间模拟量的传输称为采样。按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样，叫做信号的采样。

（2）在控制系统中，有一处或几处的信号是时间t的离散函数的控制系统称为离散控制系统。离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，故又称为采样信号。相应的离散系统亦称为采样控制系统。

连续控制系统每处的信号都是时间t的连续函数，而采样控制系统有一处或几处的信号是时间t 的离散函数。

（3）按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。

为了使离散信号*()e t 不失真地复现原信号()e t ，必须考虑采样角频率s ω与()e t 中含有的最高次谐波角频率max ω之间的关系。香农（Shannon ）定理指出：如果采样器的输入信号()e t 具有有限带宽，并且有直到max ω(/)rad s 频率分量，则只要采样角频率s ω满足max 2s ωω≥或

max

2()T s π

ω≤

。

采样定理实际是指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号所必须的理论上的最小采样周期T （复现原信号所必须的最低采样频率）。如果max 2s ωω<，则相邻部分频谱会出现重叠现象，这就难以准确的恢复原来的连续信号了。

（4）为了实现对被控对象的有效控制，必须把采样信号恢复成相应的连续信号，这种从采样信号*()e t 中恢复出原连续信号的过程称为信号的保持（复现）。用于实现这种过程的装置称为保持器，保持器的最主要功能就是对信号的复现。

采样控制系统中广泛采用的保持器是零阶保持器。

（5）设在零阶保持器的输入端加上单位脉冲函数()t δ，其输出()g t 称为零阶保持器的单位脉冲响应。则输出()g t 的表达式是：

()()()()011h g t e t t t T ==--

对上式求拉氏变换，得零阶保持器的传递函数为

[]011()()Ts Ts

h e e G s L g t s s s

---==-=

对上式求Z 变换，得零阶保持器的脉冲传递函数为

()101()11

h z z G z z --=

=-

（6）Z 变换方法就是要求取采样函数的Z 变换式。直接方法是由连续函数()e t 求出采样函数()*e t ，通过拉氏变换求出()*E s ，再令1

ln s z T

=

，求出采样函数()*e t 的Z 变换()E z 。此方法比较

繁琐。为了简便，还可以通过级数求和法和部分分式法这两个比较常用的求Z 变换。

采样系统的被控量往往是连续信号()c x t ，不是离散信号()*c x t 为了求系统的脉冲传递函数，通常在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样以周期T 同步工作。必须指出的是，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的，只是输出连续信号()c x t 在采样时刻上的离散值()*c x t 。这样，输出的采样信号就可就根据下式求得

()()()()11

*c c r x t Z X z Z W z X z --==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

当已知系统连续部分传递函数()W s 或单位脉冲响应()g t ，根据()()()G z Z g t Z G s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即可得到系统脉冲传递函数()G z 。 （7）求Z 反变换常用如下方法：

① 级数求和法，级数求和法直接应用Z 变换的定义进行求和。把复杂的Z 变换方法转换成简单的数学上级数求和的方法，是一种简单的Z 变换法。

② 部分分式法，部分分式法在已知连续函数()f t 的拉氏变换为()F s 时，则可将()F s 展开成部分分式之和的形式，然后对各个分式求Z 变换，其和即为()F z 。此方法只需记住一些特定传递函数的Z 变换即可求出系统的脉冲传递函数。

（8）常系数线性差分方程的常用求解方法有两种：一种是基于解析方法的Z 变换法，另一种是基于计算机求解的迭代法。

① Z 变换法

用Z 变换法求解差分方程较为方便，且可求得差分方程解的数学表达式。Z 变换法求解差分方程的步骤是：对描述离散系统的差分方程进行Z 变换，并利用Z 变换的实数位移定理，将时域差分方程化为Z 域的代数方程，求其解，再将Z 域的代数方程经Z 反变换求得差分方程的时域解。

② 迭代法

迭代法是已知离散系统的差分方程和输入序列、输出序列的初始值，利用递推关系逐步计算出所需要的输出值的方法。

（9）在离散控制系统中，把零初始条件下，环节或系统输出脉冲序列的Z 变换式与输入脉冲序列的变换式之比，称为该环节或该系统的脉冲传递函数。记为()G z 。脉冲传递函数反映的是系统输入