第7章线性离散系统的理论基础习题答案

第7章线性离散系统的理论基础
7.1 学习要点
1 控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式；
2 各种校正方法、方式的特点和适用性；
3各种校正方法、方式的一般步骤。

7.2 思考与习题祥解
题7.1 思考下述问题
（1）什么叫信号的采样？
（2）什么是采样控制系统？采样控制系统与连续系统的主要差别是什么？
（3）试述采样过程和采样定理。

（4）什么是保持器，保持器的功能是什么？
（5）零阶保持器的传递函数是什么？对应的脉冲传递函数是什么？
（6）用零阶保持器恢复的连续时间信号有何显著特征？
（7）常用的z变换的方法是什么？如何求系统的脉冲传递函数？
（8）求Z反变换有哪几种方法？各有什么特点？
（9）差分方程如何求解？
（10）脉冲传递函数是如何来描述采样系统的？
（11）如何求得采样系统的开/闭环脉冲传递函数？
（12）对于用闭环脉冲传递函数描述的采样控制系统，系统稳定的充分必要条件是什么？
（13）如何采用劳斯判据来判断采样系统的稳定性？
（14）闭环极点与采样控制系统瞬态特性的关系是什么？
答：
（1）采样控制系统是通过采样开关将连续的模拟量转换为离散量的，将开关闭合期间模拟量的传输称为采样。

按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样，叫做信号的采样。

（2）在控制系统中，有一处或几处的信号是时间t的离散函数的控制系统称为离散控制系统。

离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，故又称为采样信号。

相应的离散系统亦称为采样控制系统。

连续控制系统每处的信号都是时间t的连续函数，而采样控制系统有一处或几处的信号是时间t 的离散函数。

（3）按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程。

用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。

为了使离散信号*()e t 不失真地复现原信号()e t ，必须考虑采样角频率s ω与()e t 中含有的最高次谐波角频率max ω之间的关系。

香农（Shannon ）定理指出：如果采样器的输入信号()e t 具有有限带宽，并且有直到max ω(/)rad s 频率分量，则只要采样角频率s ω满足max 2s ωω≥或
max
2()T s π
ω≤。

采样定理实际是指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号所必须的理论上的最小采样周期T （复现原信号所必须的最低采样频率）。

如果max 2s ωω<，则相邻部分频谱会出现重叠现象，这就难以准确的恢复原来的连续信号了。

（4）为了实现对被控对象的有效控制，必须把采样信号恢复成相应的连续信号，这种从采样信号*()e t 中恢复出原连续信号的过程称为信号的保持（复现）。

用于实现这种过程的装置称为保持器，保持器的最主要功能就是对信号的复现。

采样控制系统中广泛采用的保持器是零阶保持器。

（5）设在零阶保持器的输入端加上单位脉冲函数()t δ，其输出()g t 称为零阶保持器的单位脉冲响应。

则输出()g t 的表达式是：
()()()()011h g t e t t t T ==--
对上式求拉氏变换，得零阶保持器的传递函数为
[]011()()Ts Ts
h e e G s L g t s s s
---==-=
对上式求Z 变换，得零阶保持器的脉冲传递函数为
()101()11
h z z G z z --=
=-
（6）Z 变换方法就是要求取采样函数的Z 变换式。

直接方法是由连续函数()e t 求出采样函数()*e t ，通过拉氏变换求出()*E s ，再令1
ln s z T
=
，求出采样函数()*e t 的Z 变换()E z 。

此方法比较
繁琐。

为了简便，还可以通过级数求和法和部分分式法这两个比较常用的求Z 变换。

采样系统的被控量往往是连续信号()c x t ，不是离散信号()*c x t 为了求系统的脉冲传递函数，通常在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样以周期T 同步工作。

必须指出的是，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的，只是输出连续信号()c x t 在采样时刻上的离散值()*c x t 。

这样，输出的采样信号就可就根据下式求得
()()()()11
*c c r x t Z X z Z W z X z --==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
当已知系统连续部分传递函数()W s 或单位脉冲响应()g t ，根据()()()G z Z g t Z G s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即可得到系统脉冲传递函数()G z 。

（7）求Z 反变换常用如下方法：
① 级数求和法，级数求和法直接应用Z 变换的定义进行求和。

把复杂的Z 变换方法转换成简单的数学上级数求和的方法，是一种简单的Z 变换法。

② 部分分式法，部分分式法在已知连续函数()f t 的拉氏变换为()F s 时，则可将()F s 展开成部分分式之和的形式，然后对各个分式求Z 变换，其和即为()F z 。

此方法只需记住一些特定传递函数的Z 变换即可求出系统的脉冲传递函数。

（8）常系数线性差分方程的常用求解方法有两种：一种是基于解析方法的Z 变换法，另一种是基于计算机求解的迭代法。

① Z 变换法
用Z 变换法求解差分方程较为方便，且可求得差分方程解的数学表达式。

Z 变换法求解差分方程的步骤是：对描述离散系统的差分方程进行Z 变换，并利用Z 变换的实数位移定理，将时域差分方程化为Z 域的代数方程，求其解，再将Z 域的代数方程经Z 反变换求得差分方程的时域解。

② 迭代法
迭代法是已知离散系统的差分方程和输入序列、输出序列的初始值，利用递推关系逐步计算出所需要的输出值的方法。

（9）在离散控制系统中，把零初始条件下，环节或系统输出脉冲序列的Z 变换式与输入脉冲序列的变换式之比，称为该环节或该系统的脉冲传递函数。

记为()G z 。

脉冲传递函数反映的是系统输入
采样信号与输出采样信号之间的传递关系。

（10）如何求得采样系统的开/闭环脉冲传递函数？
① 求开环脉冲传递函数时，要注意串联环节之间有无采样开关。

即两个相串联环节间无采样开关时，脉冲传递函数等于这两个环节传递函数乘积的Z 变换。

当两串联环节间有采样开关时，其脉冲传递函数等于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。

② 求闭环脉冲传递函数的一般步骤如下：
A 根据已知的结构图，首先不考虑采样开关，将其看作一个连续系统，写出闭环传递函数()s Φ。

B 由()s Φ写出输出的拉普拉斯变换表达式()c X s 。

C 将采样开关的设置考虑进去，把()c X s 的分子和分母中的每个乘积项，按输入信号与环节、环节与环节之间有无采样开关，根据环节串联时的脉冲传递函数的求法，逐项写出相应的脉冲传递函数，进而写出()c X z 。

D 若()c X z 可以独立出来，则可由()c X z 写出闭环脉冲传递函数()z Φ。

否则写不出()z Φ，而只能写出()c X z 。

总之，在求离散系统的闭环脉冲传递函数时，一定要注意采样开关的位置，其位置的所在，直接决定闭环传递函数的求取。

（11）如果离散控制系统闭环特征方程所有的特征根(0,1,2,)i z i n =，全部位于Z 平面的单位
圆内部，即
1,(0,1,2,
)i z i n <=
则系统是稳定的，否则系统不稳定。

（12）连续系统的劳斯稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定性的。

这种对特征方程系数和符号以及系数之间满足某些关系的判断，实质是判断系统特征方程的根是否都在左半S 平面。

对于线性离散控制系统，是不能直接应用连续系统劳斯稳定判据，因为离散系统需要判断系统特征方程的根是否都在Z 平面的单位圆内。

因此，必须采用一种变换方法，使Z 平面上的单位圆，映射为新坐标系的虚轴，这种坐标转换称为双线性变换，又称为ω变换。

令
1
1
z ωω+=
- 或 11z z ω+=-
再令 z x jy =+ u jv ω=+
则有
()()()2
22
2
2
2
1
211x y y
u jv j
x y x y ω+-=+=
--+-+
由上式可见，ω平面内0u =（虚轴），对应于Z 平面内2
2
1z x y =+=（单位圆的圆周）。

ω平面内0u <（ω左半平面），对应着Z 平面内221z x y =+<（单位圆的内部）。

ω平面内0u >（ω右半平面），对应于Z 平面内22
1z x y =+>（单位圆的外部）。

这样，只要将Z 平面上的特征方程式经过z ω→变换，就可以在ω平面上直接应用劳斯判据判别系统的稳定性。

（13）采样系统的闭环极点在Z 平面上的分布对系统的动态响应起着决定性作用，采样系统的暂态特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定。

对于闭环极点我们分四种情况来分析：
① j p 位于单位圆内。

离散系统是稳定的，位置越靠近单位圆收敛越慢，越接近原点则收敛越快。

② j p 位于单位圆上。

离散系统是临界稳定的，1j p =+时，恒值等幅振荡。

1j p =-时，交错等幅振荡。

③j p 位于单位圆外。

离散系统是发散的。

④j p 位于单位圆圆心。

位置越接近原点，分量项收敛越快。

j p 位于圆心位置上时，应该具有无穷大稳定度。

闭环极点的位置与暂态特性的关系如图7.1所示。

图.1 闭环极点的位置与动态响应
题7.2求下列函数的Z 变换。

（1） ()cos f t t ω=
（2） ()1at
f t e -=-
（3）
()at f t te -=
（4） ()k
f t a = 解：（1）()cos f t t ω= 因为()()cos Re j t f
t t e ωω==
所以，由Z 变换定义，有
()()[]()()1
11
2
cos Re 1Re 11Re 1cos sin cos 2cos 1
j t
j T F z Z f t Z t Z e e z z T jz T z z T z z T ωωωωωωω---⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦-=-+
（2）()1at
f t e -=-
由Z 变换定义有
()()()()
11
11
111111at
at at
at
at F z Z e z e z z e z z
z z e z z e -------⎡⎤=-=-⎣⎦---=-=----
（3）
()at f t te -=
因为[]()
2
1Tz
Z t z =
-
所以，根据复位移定理()at
aT
Z e
f t F e z ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，有
()
()
2
21aT
aT
at aT
aT
Tze Tze Z e t ze
z e ---⎡⎤=
=
⎣⎦--
（4）()k
f t a =
根据Z 变换定义，有
()()0
k
k
k k
k k k a z Z f k f k z
a z
z z a ∞
∞
∞
--===⎛⎫
====⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭∑∑∑
题7.3 求下列函数的Z 变换。

（1） ()21
F s s
=
（2） ()()()
1
F s s a s b =
++
（3） ()()
K
F s s s a =+
（4）
()()nTs
e F s s a -=
+ ()T 是采样周期
解：（1）()2
1F s s =
因为 121L t s -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
所以 ()()
()12221111Tz Tz Z F z s z z --⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦-- （2）()()()
1
F s s a s b =
++
()()()1111F z Z Z s a s b b a s a s b ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫==-⎢⎥ ⎪⎢⎥++-++⎝⎭⎣⎦⎣⎦
()()()1aT bT aT bT
e e z b a z e z e ----⎡⎤-⎢⎥=---⎢⎥⎣⎦
（3）()()
K
F s s s a =
+
()()11K K F z Z Z s s a a s s a ⎡⎤⎡⎤
==-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
()
()211aT aT aT
z e K a z e z e ----=
-++
（4）()()
nTs
e F s s a -=+ ()T 是采样周期
因为 ()1at nt L F s e ---=⎡⎤⎣⎦
根据延迟定理，有
()at nt
n at
n
aT
z
F z Z e
z Z e
z
z e ------⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦-
题7.4 求下列函数的Z 反变换。

（1） ()0.5
z F z z =- （2） ()()()
12z
F z z z =
--
（3） ()()()
2
20.10.8z F z z z =--
（4） ()()()
2T T z
F z z e z e --=-- ()T 是采样周期
解：（1）()0.5
z F z z =
-
()0.5kT f kT = ()0,1,2,
k =
（2）()()()
12z
F z z z =
--
将
()
F z z
展开，有
()11
12
F z z z z -=+-- 所以 ()12
z z F z z z -=
+-- ()12kT kT f kT =-+ ()0,1,2,
k =
（3）()()()
2
20.10.8z F z z z =--
()()()221620.10.870.870.1
z z z
F z z z z z ==-----
()1116270.870.1z z Z F z Z z z --⎡⎤⎡⎤
=
-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
()()()1620.80.177
kT kT
f kT =-
（4）()()()
2T T z
F z z e z e --=
-- ()T 是采样周期
()()()
222211
1T T T T T T T T
F z e e e e z z e z e z e z e ----------==+----
()()()221
T T T T z z F z z e z e z e z e ----⎛⎫=-
⎪----⎝⎭
()()()
()221
t t
T T
f t e e z e z e ----=
---
题7.5 用Z 变换的方法求解下列差分方程，结果以()x k 表示。

()()()()221x k x k x k u k ++++=
()00x =，()10x =，()u k k = ()0,1,2,k =
解：对差分方程进行Z 变换
()()()()221Z x k x k x k Z u k ++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()()()()
222
012201z
z X z z x zx zX z zx X z z --+-+=
-
代入初值整理得
()()()
22
11z
X z z z =
+-
()()()()()221
111lim 1lim 1k k z z d d x k z X z z z X z z dz dz
--→→-=-++
()111
144
k k k ---=+-
k 为偶数时，()0x k =；k 为奇数时，()1
2
k x k -=。

题7.6 求题7.6图所示各系统的输出Z 变换)(z C 。

(a)
(b)
)
(z C
题7.6图
解：（1）题7.6（a ）图所示环节为三个环节串联组成，且环节之间没有采样开关，所以其等效的传递函数的Z 变换为
()()()()()()
1232122
1111
1111Ts Ts T
T G z Z G z G z G z e Z e
s s z z Z s s e z z e ------=⎡⎤⎣⎦⎡⎤
- =⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤ =--
⎢⎥+⎣⎦- =- 所以 ()()()c r X z X z G z = （2） 根据题7.6 (b) 图得
()()()()()()()()31231c r c X z G z G z G z X z G z G z X z =+-⎡⎤⎣⎦
则
()()()()()()
()312311c r G z G z G z X z X z G z G z +⎡⎤⎣⎦=
+
题7.7 设开环离散系统如题7.7图所示，试求开环脉冲传递函数()G z 。

(b)
(a)
题7.7图
解：对于题7.7（a ）图，环节间有采样开关
2222T z Z s z e
-⎡⎤
=⎢⎥+-⎣⎦；
5555T z Z s z e
-⎡⎤=⎢⎥+-⎣⎦
开环脉冲传递函数：
()()()
22510T T
z G z z e z e --=-- 对于题7.7（b ）图，环节间没有采样开关
()()()()25252
525101010
33253T T
T T
G z Z s s z e e Z s s z e z e ----⎡⎤=⎢
⎥++⎣⎦
⎡⎤-⎢⎥ =-=⎢⎥++--⎢⎥⎣⎦
题7.8 设闭环离散系统如题7.8图所示，试求闭环脉冲传递函数()z Φ。

题7.8图
解：由题7.8图得
()()
()()()
211G z z G z H z GH z Φ=
++
题7.9 已知闭环脉冲传递函数
()1
1
0.530.110.37z z z --+Φ=-
试求该系统的单位阶跃响应。

解： ()11
0.530.10.530.1
10.370.37
z z z z z --++Φ==-- ()()0.530.10.530.10.370.371
c r z z z
X z X z z z z ++=
⋅=⋅
--- ()()()0.530.110.47
10.3710.37
c X z z z z z z z +==-
---- ()0.4710.37
c z z
X z z z =
-
-- 进行Z 反变换，得
()()10.470.37n
c X kT =-
题7.10 判断题7.10图所示系统的稳定性。

(b)
(a)
题7.10图
解：由题7.10（a ）图，开环脉冲传递函数
()()()11
1101G z z Z s s -⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
()()()()()110.10.10.10.10.1
1101110111110.095
0.905
1z z z Z z s s z z e e z z e z z e z z z e -------⎡⎤⎡⎤=--=--⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦---=⋅==----
闭环特征方程 ()0.095
1100.905
G z z +=+
=-
即 0.9050.0950.810z z -+=-= 特征根0.81z =，系统稳定。

由题7.10（b ）图，开环脉冲传递函数
()1222211z z G z Z Z s s z e z -⎡⎤⎡⎤
==⋅⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦
()()22
21
441.3680.368
1z z z z z z e -==-+-- 闭环特征方程 ()2
2
41101.3680.368
z G z z z +=+=-+ 即 2
5 1.3680.3680z
z -+=
1,20.13680.2343z =± 1,20.2711z =<
闭环系统稳定。

题7.11 设闭环离散系统如题7.11图所示。

试分析系统的稳定性，并确定K 值的稳定范围。

题7.11图
解：系统的开环传递函数为
()()()
111
1Ts Ts
K e e
K
G s s
s s s ----=
=++
对应的Z 变换为
()()11
11T T Kz e G z e z -----=
-
闭环特征方程 ()()11
11101T T
Kz e G
z e z
-----+=+
=-
即
()11
110T T e z K e z -----+-= ()110T T Ke e K z ----+-=
T T z Ke e K --=+-
若要求闭环系统稳定，则要求1z <。

故K 值必须满足以下条件：
111T
T
e K e --+-<<
-
题7.12 设闭环离散系统如题7.12图所示，试求当)(1)(t t r =，t t r 5)(=，2
1
)(t t r =时，系统的稳态误差，其中采样周期为1s 。

题7.12图
解：先计算 ()1
11111111z z z z e Z z s s z z z e z e ---⎡⎤---⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦
()()()()()
11112111111z e z e G z z z e z z e ------⎛⎫-⎛⎫
=+= ⎪
⎪----⎝⎭⎝⎭ 特征方程 ()()()()()
112111101z e G z z z e ----+=+=--
即 ()2
1113210z
e z e --+-+-=
得出1,21z <，所以闭环系统稳定，则 位置稳态误差系数
()1
lim p z k G z →==∞
速度稳态误差系数 ()()11
lim 11v z k z G z T
→=-=⎡⎤⎣⎦ 加速度稳态误差系数 ()()2
211lim 10a z k z G z T
→⎡⎤=-=⎣⎦ ()()1r x t t =作用下的稳态误差为()1
01p
e k ∞=
=+
()5r x t t =作用下的稳态误差为()5
5v
e k ∞=
= ()21
2
r x t t =作用下的稳态误差为()1a e k ∞==∞。