第3章 刚体的定轴转动

刚体的运动 = 质心平动 + 刚体绕质心的转动
第 3 章 刚体的定轴转动
19
四、刚体绕固定轴的转动
( A B) C (C A) B
实质：i R简ziri化dym刚dd体LtL的z 转L(动 、kr一irvziL维m的mdidvL转ti/iz()动v问/题rvLi Lvi)Pxix
rvi
mghc
距零势能 的高度
3. 外力矩对刚体作的功
刚体绕定轴转动时，只有与轴垂直的力分量才能作功， 与轴平行的力分量将和轴上的约束力平衡。
考虑与轴垂直的力，有:
vv
dA Fi dRi Fi Ri cosid
i
i
vv
Ri Fi d id d
i
i
d dRi i
Fi
Ri
第 3 章 刚体的定轴转动
第 3 章 刚体的定轴转动
前2章 知识回顾
基本概念
掌握重点
1
拓展知识
质点运动学
矢量描述
相对运动 平面极坐标
质点动力学
牛顿定律 （非）惯性系
动量
动量、动量守恒
功、动能、势能、
功和能量
机械能守恒
惯性力 科里奥利力
基本概念 变质量问题
势能概念 守恒定律条件
第 3 章 刚体的定轴转动
2
牛顿力学回顾：
质点运动学和质点动力学
d ( Jv)
dt dt
21
J mi Ri2
直 x、v、a
线
m
运 P mv
动 F ma
、、
J
角 运
L J 动
J
第 3 章 刚体的定轴转动
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一心*般以* 绕质刚角质心体速心运的度的动运转定动作动律，转定:可动律以的:看合Fv成运质动mJ心。ac的cv平动运动和刚体绕质
五、转动惯量: J mi Ri2 或 R2dm
j y Py
v /
v Pi
k z Pz
x
mi / (v rvi ) (v rvi )
角速0度单位/矢量
mi ri2 sin2 i
mi Ri2
x
i
第 3 章 刚体的定轴转动
Ri dm Lz mi ri2 sin2 i
ri y
引入转动惯量: Jz
则有： Lz Jz
a
a
2
2
例3.6 平板中开孔后绕板中心 且垂直板面轴的转动惯量.
第 3 章 刚体的定轴转动
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四、角动量守恒定律
1.质点的角动量:
L
r
mv
v
L mrvsin
若质点绕 O点转动：
v L
Jv
mrv
mr 2v
2.质点在有心力作用下的角动量守恒:
F
f (r )r0
第 3 章 刚体的定轴转动
开普勒第二定律
m(r r2 ) f (r)
m(r 2r) 0
d (mr2&) mr 2&& m2rr&& 0
dt
F
f (r )r0
图解
dL 0 dt
第 3 章 刚体的定轴转动
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例3.7: 行星的运动
有心力作用：角动量守恒 保守力作用：机械能守恒
3. 刚体的角动量守恒
刚体的角动量定理: v
v dL
第 3 章 刚体的定轴转动
2. 平行轴定理 J Jc md 2 J
刚体对任一转动轴的转动惯量＝刚体 o 过质心且平行这一转动轴的转动惯量 ＋刚体质量×两平行轴距离 d 2。 x
24
Jc y
c dm
3. 垂直轴（正交轴）定理
z
Jz dm ( x2 y2 )
Jz Jx Jy
x
y
薄板状刚体对板面两正交轴的转动惯量之和等于垂直 该板面且通过板面内两正交轴交点的轴的转动惯量。
16
二、合外力对刚体影响，刚体质心
v
F
miavi mavc
avc
imi avi m
mi avi mi
i
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等于
刚体质量的质点的运动。
质点位置矢量： rc
mi ri m
更一般表述：
rc
rdm dm
rdV dV
刚体的 质心 坐标
第 3 章 刚体的定轴转动
vc = 0， 0 是纯空转，俗称打滑。
第 3 章 刚体的定轴转动
37
纯滚动处理方法：
（1）以过质心且垂直于运动平面的轴为转轴，把刚体 滚动分解为: 质心平动 + 绕质心转动。
（2）以过滚体与地面触点P且垂直于运动平面的轴为
转动轴，把刚体运动作为绕P点的纯转动。称P点为瞬
心。容易证明，P是瞬时静止的。即vp= 0，同时有
飞机
车轮
•
••
•
卫星
第 3 章 刚体的定轴转动
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3. 刚体的受力模型
第 i 个质点受力:
Fi FiE
f ij
ji
=0 整个质点组（刚体）受力：
F Fi FiE
fij
i
i
FiE
i ji
i
刚体的合内力为零！
第 3 章 刚体的定轴转动
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刚体受到的力矩：
相对O点的力矩 y
* 合内力的力矩
I
ri
fij
r
F
ri rj
o
x
i
ji
(ri
fij
rj
f ji )
rij
fij = 0
i, j,i j
i, j,i j
刚体受力特征： 合内力和合内力矩都为零。
合外力：
F FiE
合外力矩：
ri
FiE
i
i
第 3 章 刚体的定轴转动
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二、合外力对刚体影响，刚体质心
1. 举例给出常用物体形状的转动惯量计算
例3.1 圆盘绕轴心旋转的转动惯量.
例3.2 圆球绕通过球心某轴旋转的转动惯量.
例3.3 细棒绕通过中心且与棒垂直轴旋转的转动惯量.
第 3 章 刚体的定轴转动
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2. 平行轴定理
mrvc rvdm
mxc xdm myc ydm
J
Jc
J dm ( x2 y2 )
33
A
v dv
vv
J d
J
dv
dt
v
d
Jv
dv
一般而言有：
dA d
功率定义：
1 2
J22
1 2
J12
P dA d
dt
dt
结论：
外力矩 对 刚体 所作的功 = 刚体转动动能 的增加。 外力 对 质点 所作的功 = 质点动能 的增加。
第 3 章 刚体的定轴转动
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直线运动与角运动的对应关系
自由粒 子运动
27
质点在 有心力 作用下 运动
质点的 掠面速度
1 2
rv sin
1 2
r 2
r
v/ 2
Const
第 3 章 刚体的定轴转动
28
第 3 章 刚体的定轴转动
29
四、角动量守恒定律
1.质点的角动量:
L
r
mv
v
L mrvsin
若质点绕 O点转动：
v L
Jv
mrv
mr 2v
2.质点在有心力作用下的角动量守恒:
第 3 章 刚体的定轴转动
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例3.4 细棒绕通过端部且与棒垂直轴旋转的转动惯量.
J Jc md 2 ml 2 / 12 ml 2 / 4 ml 2 / 3
例3.5 通过矩形平板中心且垂直板面轴的转动惯量.
b
J Jx J y ma2 / 12 mb2 / 12
a
a
a
J 2 dx 2 dy (x2 y2 )
17
合外力对刚体影响，刚体质心
v
F
miavi mavc
rc
irdm dm
rdV dV
质心引入：
刚体平动运动问题 简化为 质心运动学/动力学问题
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等于 刚体质量的质点的运动（刚体质心的平动）。
补充强调： 质心是有物理含义的，描述了刚体物质分布。 其位置可能在刚体上，也可能不在刚体上。
F
平动定义：运动中，刚体内任意两点间的
连线始终保持方向不变。
F
lc
(2)合力等于零，但力矩不为零。合力作用
等价于一力偶。刚体作绕轴的纯转动。
v
百度文库
v l
v F
J
v
F
(3) 合力的作用线不过质心，刚体运动等价 于合力作用在质心的纯平动加上力偶矩作
F
l c
F
用下的纯转动。
第 3 章 刚体的定轴转动
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例5.8 滚动
太阳系行星运动：开普勒三定律 －> 牛顿万有引力定律
第 3 章 刚体的定轴转动
4
首先我们来问一个问题：
天体的运动 月球的运动
第 3 章 刚体的定轴转动
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首先我们来问一个问题：
天体的运动 月球的运动
我们站在地球上为什么 只能看到月球的一面？
嫦娥一号探月飞行器
第 3 章 刚体的定轴转动
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一、什么是刚体？（刚体模型）
d ( Jv)
dt dt
若刚体的合外力矩等于零，则角动量守恒。
0
dL 0
若 x 0 dLx 0
J const
第 3 章 刚体的定轴转动 五、刚体的能量 1. 动能
31
绕定轴转动
刚体中任一质元 mi 绕定轴转动的动能 EiK
Eik
1 2
mi vi2
1 2
mi Ri2 2
刚体转动的总动能为
直线运动
角运动
x、v、a
、、
m
J
P mv
L J
F ma
dA
F
dr
J
dA
d
Ek mv2 / 2
Ek J 2 / 2
第 3 章 刚体的定轴转动
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五、刚体的平面平行运动（略讲）
作用在刚体上的外力都在同一平面内，则刚体与该平面相交之 截面将始终在此平面内运动，称为刚体的平面平行运动。
(1)合力作用线过质心，刚体作纯平动。
强调：刚体也是一个理想模型！
第 3 章 刚体的定轴转动
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2. 刚体的运动特征
飞机
车轮
•
••
•
卫星
第 3 章 刚体的定轴转动
8
2. 刚体的运动特征
第 3 章 刚体的定轴转动
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2. 刚体的运动特征
第 3 章 刚体的定轴转动
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2. 刚体的运动特征
•刚体各点在任意时刻具有相同的角速度。
•刚体各点线速度可以不相同。
x
Ri dm
y
J / 2 Ek
Eik
12
2
mi Ri2
2
或
1 2
(Jc
md 2 ) 2
1 2
Jc 2
1 2
mvc2
即：刚体绕定轴转动的动能 = 质心绕定轴的动能 + 刚体绕质心平行轴转动的动能。
第 3 章 刚体的定轴转动
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2. 总能量
加上重力势能
hc：质心
E
Ek
Ep
1 2
mvc2
1 2
Jc 2
质点 1. 刚体定义
一般物体
弹性体、流体、气体… 刚体
在外力作用下，物体的形状和大小（尺寸）保持不变，而且内 部各部分相对位置保持恒定（没有形变），这种 理想物理模型 称之为 刚体。
刚体是一种特殊的质点组。任意质点间相对位置不变！
刚体
无穷质点组合 （质点组）
刚体运动
质点组 的运动
研究基础：牛顿力学（质点动力学）！
本章知识要点： （1）什么是刚体、为什么要学习刚体？ （2）刚体运动学特征，如何描述刚体的运动特征？ （3）刚体运动满足什么规律，刚体动力学
通过本章学习深入体会： （1）物理模型的重要性 （2）物理概念的深入理解
（质心、转动惯量、角动量、转动定律）
第 3 章 刚体的定轴转动
3
首先我们来问一个问题：
演示
摩擦力在滚动中作用: 如果摩擦力足够大，则其运动形式为无滑动的纯滚动。 若摩擦力不够大，会出现又滑动又滚动的情况， 摩擦力为0，则只滑动无滚动。
设滚体质心速度为vc，绕质心转动的角速度为 。在单位时间内，
质心前进了vc t，而由滚动产生的移动为 r t 。
vc > r 是又有滑动又有滚动的情况。 vc = r 是纯滚动的情况。 vc < r 是出现滚体原地打空转的情况，
第 3 章 刚体的定轴转动
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2. 刚体的运动特征
•刚体各点在任意时刻具有相同的角速度。
•刚体各点线速度可以不相同。
角速度 成为刚体重要的运动特征，它在刚体运动中 占有 特殊显要 的地位。
一该般点刚以体角的速运度动，作可转以动看的成合某运点动的。平动运动和刚体绕
第 3 章 刚体的定轴转动
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刚体的运动特征
p
C:
c.
v A,c
vci
r c
sin
i rc cos
v
第 i 质点的牛顿方程： Fi
v fij
mi avi
所有质点求和
v Fi
j
v
0
fij
miavi
i
j
i
v v
Fi F
miavi mavc
i
i
avc
mi avi m
mi avi mi
i
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等
于刚体质量的质点的运动。
第 3 章 刚体的定轴转动
mi
刚体绕固定轴的转动定律为：
mi
Ri2
20
Ri2
Ri为 dmi 到转 轴的 距离
对应关系:
z
dLz dt
d (J z )
dt
Jz
直 x、v、a
线
m
运 P mv
动 F ma
、、
角
J
运
L J 动
J
第 3 章 刚体的定轴转动
刚体已学知识回顾
质心运动定律:
F
mac
绕质心的转动定律:
v
v dL
y oc
dm [( xcm xoc )2 ( ycm yoc )2 ]
dm
x
dm [( xc2m yc2m ) ( xo2c yo2c ) (2xoc xcm 2 yoc ycm )]
0 J J c md 2 2xoc xcmdm 2xocmxcc
d为刚体质心到转动轴与刚体平面的交点O的距离。
第 3 章
三、力矩对刚体的影响
刚合体外的力定矩轴：转动
ri
18 Fi
刚
体
i
ri
dPi dt
i
d dt
(ri
Pi )
i
i
dri dt
Pi
的 转 动 定 律
d idt
(ri
Pi )
vi
mi
vi
=0
dL dt
L
Li
v Li
rvi
i
v Pi
角动量 动量矩
i
刚体所受的合外力矩等于刚体对所选原点的合动量矩 随时间的变化率。