春季讲义天津中考专题动态几何之定值问题(教师版)

春季讲义天津中考专题-- 动态几何之定值问题动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要"以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

本讲对定值问题进行探讨。

探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。

一、线段（和差）为定值问题:
典型例题：
例1 :（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4 , 点P 为直线EC上的一点，且PQ丄BC于点Q , PR丄BD于点R.
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（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）.
5
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（结论
1）中的是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的
数量关系？请直接写出你的猜想.
图3锦元数学工作室绘制
例2: (2012山东德州12分)如图所示，现有一张边长为 4的正方形纸片 ABCD ，点P 为正方形AD 边上 的一点(不与点 A 、点D 重合)将正方形纸片折叠，使点 B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ， 折痕为EF ，连接BP 、BH .
(1) 求证：/ APB= / BPH ;
(2) 当点P 在边AD 上移动时，△ PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；
(3) 设AP 为x ,四边形EFGP 的面积为S ,求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在, 求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理, 次函数的最
值。

【分析】(1)根据翻折变换的性质得出/ PBC= / BPH ，进而利用平行线的性质得出/
APB= / PBC 即可得
出答案。

(2)
先由AAS 证明△ ABP
QBP ，从而由HL 得出△ BCH ◎△ BQH ，即
可得CH=QH 。

因此，
△ PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8
为定值。

(3) 利用已知得出△ EFM ◎△ BPA ，从而利用在 Rt △ APE 中，(4 - BE ) 2+x 2=BE 2，禾U 用二次函数
的最值求出即可。

例3: (2012福建泉州12分)已知：A 、B 、C 不在同一直线上. (1) 若点A 、B 、C 均在半径为 R 的O O 上，
【考点】翻折变换(折叠问题) 圏I
B C
图2規元数学工作室绘
C
图3锦元数学工作室绘制
i)如图一，当/ A=45°时，R=1，求/ BOC的度数和BC的长度;
BC
ii ）如图二，当/ A 为锐角时，求证 sin / A=-
2R
（2）.若定长线段BC 的两个端点分别在/ MAN 的两边AM 、AN （ B 、C 均与点A 不重合）滑动，如图三, 当/ MAN=60 , BC=2时，分别作BP 丄AM , CP 丄AN ，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中, 两点的距离是否保持不变？请说明理由
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直 角三角形中线性质。

【分析】（1） i ）根据圆周角定理得出/ BOC=2 / A=90°，再利用勾股定理得出 BC 的长;
BC BC
ii ）作直径 CE ,则/ E= / A , CE=2R ，利用si n / A=s in / E=—— ：—— ，得出即可。

BE 2R
（2）首先证明点 A 、B 、P 、C 都在O K 上，再利用sin / A= BC
，得出AP= BC =4 3
（定值）即
2R
si n60° 3
可。

二、面积（和差）为定值问题： 典型例题：
例1 : （2012湖北十堰3分）如图，O 是正△ ABC 内一点，OA=3 , OB=4 , OC=5，将线段BO 以点B 为旋 转中心逆时针旋转 60°得到线段BO ,下列结论：①△ BO A 可以由△ BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②
；④S 四边形A °BO =6+3込；⑤S AOC —年•其中正确的 结论是【
P 、
A
图②
点O 与O'的距离为4;③/ AOB=150 謀元额学工作室绘制
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。

例2:（ 2012广西玉林、防城港 12分）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是 （0,4）,现有两动点P 、Q ,点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O , C ）以每秒2个单位长度的速度， 匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点 C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点 D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为 t 秒，当t=2秒时PQ=25.
（1） 求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；
（2） 连接AQ 并延长交X 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F 连接EF ，则厶A EF 的面积S 是 否随t 的变化而变化？若变化，求出
S 与t 的函数关系式；若不变化，求出
S 的值.
（3） 在（2）的条件下，t 为何值时，四边形 APQF 是梯形？
【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的 性质，解一元二次方程。

【分析】（1）由勾股定理可求 PC 而得点C 的坐标，根据矩形的性质可得点 D 的坐标。

点P 到达终点所需 时间为8^2=4秒，点Q 到达终点所需时间为 4+1=4秒，由题意可知，t 的取值范围为：0 V t v 4。

（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出
S 关于t 的函数关系式，由于关系式为常数，所以
△ AEF 的面积S 不变化，S=32。

A .①②③⑤
C .①②③④⑤
D .①②③
B .①②③④
（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。

例3:（ 2012江苏苏州9分）如图，正方形 ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形 ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点 A 与点F 重合•在移动过程中，边 AD 始终与边FG 重合， 连接CG,过点A 作CG 的平行线交线段 GH 于点P,连接PD.已知正方形ABCD 的边长为1cm ，矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm.设正方形移动时间为 x （ s ），线段GP 的长为y （cm ），其中 0< x w 2.5
⑴试求出y 关于x 的函数关系式，并求出 y =3时相应x 的值； ⑵记△ DGP 的面积为S !,^ CDG 的面积为 $.试说明
S 2是常数;
⑶当线段PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段 PD 的长.
【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）根据题意表示出 AG 、GD 的长度，再由tan. CGD=tan . PAG 可解出x 的值。

（2） 利用（1）得出的y 与x 的关系式表示出S i 、S 2,然后作差即可。

（3） 延长PD 交AC 于点Q,然后判断厶DGP 是等腰直角三角形，从而结合x 的范围得出x 的值, 在
Rt △ DGP 中，解直角三角形可得出
PD 的长度。

三、其它定值问题： 典型例题：
例1 : （2012山东淄博4分）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开） ，再按图示方法 折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半•这样的图形有【
】
（A ）4 个
（B ）3 个
（C ）2 个
（D ）1 个
【考点】正方形的性质，折叠的性质，含 30度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定,
直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。

C B
锦元觀学工it 艾丝11
例2: （2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数
2 1
y=ax + —x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1 ）。

已知AM=BC 。

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（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线I过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。

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①若直线I丄BD，如图1所示，试求—一的值；
BP BQ
②若I为满足条件的任意直线。

如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。

【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。

（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD // BC,所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式。

（3 ）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。

①推出AC //直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出
11
1
BP BQ 5
1 1
②判定△ PAD DCQ，得到AP?CQ=25，利用这个关系式对1 1
进行分式的化简求BP BQ
1 1 1
值，结论为——+——=-不变。

BP BQ 5
练习题
1.如图①，将菱形纸片AB （E）CD （F）沿对角线BD （EF）剪开，得到△ ABD和厶ECF，固定△ ABD ,
并把△ ABD与厶ECF叠放在一起.
(1) 操作：如图②，将△ ECF 的顶点F 固定在△ ABD 的BD 边上的中点处，△ ECF 绕点F 在BD 边上方 左右旋转，设旋转时 FC 交BA 于点H ( H 点不与B 点重合)，FE 交DA 于点G ( G 点不与D 点重合). 求证：BH?GD=BF 2
(2) 操作：如图③，△ ECF 的顶点F 在厶ABD 的BD 边上滑动(F 点不与B 、D 点重合)，且CF 始终经 过点A ，过点 A 作AG // CE ,交FE 于点G ,连接DG . 探究：FD+DG=
.请予证明.
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端点B 、C 不重含)，过点D 作直线y x b 交折线OAB 于点E 。

2
(1) 记厶ODE 的面积为S .求S 与b 的函数关系式：
1
(2) 当点E 在线段 OA 上时，且tan / DEO= —。

若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形
2
O 1A 1B 1G •试探究四边形 O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重
叠部分妁面积；若改变•请说明理由。

3.如图，将△ ABC 的顶点A 放在O O 上，现从AC 与O O 相切于点A (如图1)
的位置开始，将△ ABC 绕着点A 顺时针旋转，设旋转角为 a (0°<a <120° ,旋转后AC , AB 分别与
O O 交于点E,F ,连接EF (如图2).已知/ BAC=60 , / C=90 , AC=8 , O O 的直径为8.
(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦 EF 的长②EF 的长③/ AFE 的度数 ④点O 到EF 的距离.
其中不变的量是 ____________ (填序号)；
⑵当BC 与O O 相切时，请直接写出:-的值，并求此时△ AEF 的面积.
2.如图所示
, 四边形
OABC 是矩形.点A 、C 的坐标分别为 (-3,0), (0, 1)，点D 是线段BC 上的动点(与
A
图①
图②
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图2。