014第十四章达朗伯原理

第14章 达朗伯原理（动静法）

§14-1 达朗伯原理

例 1. 质量10kg m =的物块A 沿与铅垂面夹角060θ=的悬臂梁下滑，如图所示。不计梁的自重，并忽略物块的尺寸，试求当物块下滑至距固定端O 的距离0.6m l =，加速度22m/s a =时固定端O 的约束反力。

解：取物块和悬臂梁一起为研究对象，受有主动力W ，固定端O 处的反力Ox F 、Oy F 及O M 。施加惯性力g F 如图所示，g F ma =，方向与a

图14-3

相反，加在物块上。

根据达朗伯原理，列形式上的平衡方程

0 sin 0

0 cos 0()0 sin 0

Ox g Oy g O i

O X F F Y F W F m F M Wl θθθ⎧=-=⎪

=-+=⎨⎪=-=⎩∑∑∑

可解得

sin 17.32N Ox g F F θ== cos 88N Oy g F W F θ=-= sin 50.92N m O M Wl θ==⋅

从本例可见，应用质点达朗伯原理求解时，在受力图上惯性力的

方向要与加速度方向相反，惯性力的大小为g F ma =，不带负号。 例1.如图所示，物块A 、B 的重量均为W ，系在绳子的两端，滑轮的半径为R ，不计绳重及滑轮重，斜面光滑，斜面的倾角为θ，试求物块A 下降的加速度及轴承O 处的约束反力。

图14-4

解：先取物块B 为研究对象，所受的外力为绳索的拉力T 、重力

W 、光滑斜面的约束反力B N ，虚加的惯性力为gB F ，如图所示。取图

所示坐标系，根据质点达朗伯原理，可列出平衡方程为 0Y '=∑ cos 0B

N

W θ-=

可得

c o s B N W θ

= 再取物块A 、B 及滑轮和绳索所组成的系统为研究对象。质点系

的外力有两个物块的重力W ，轴承O 的约束反力O X 和O Y ，及光滑斜面的约束反力B N 。虚加上惯性力gA F 和gB F ，如图所示。惯性力的大小为

gA gB W

F F a g

==

。 质点系的外力和惯性力组成一平面力系。选取图所示坐标系，并取O 点为矩心，根据质点系达朗伯原理，列平衡方程，并注意到cos B N W θ=有 0X =∑

cos sin 0O gB B X F N θθ--= （1）

0Y =∑ sin cos 0O

gA gB B Y

F W F W N θθ+---+= （2）

()0O

i

m F =∑ s i n

0g A

g B

W R W R F R F R θ-+

+

= （3）

由式（1）得 cos sin cos O W

X a W g

θθθ=

+ （4） 由式（2）得 2(1sin )(1sin )O W

Y a W g

θθ=-

-++ （5） 由式（3）得 (1sin )2

g a θ=- （6）

将式（6）代入式（4）、（5）得

(1sin )cos 2O W

X θθ=

+ 2(1sin )2

O W

Y θ=+

§14-2 刚体惯性力系的简化 §14-3 达朗伯原理的应用

应用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，首先应根据题意选取研

究对象，分析其所受的外力，画出受力图；然后再根据刚体的运动方式在受力图上虚加惯性力及惯性力偶；最后根据达朗伯原理列平衡方程求解未知量。下面通过举例来说明达朗伯原理的应用。

例1.如图所示，两均质杆AB 和BD ，质量均为3kg ，1m AB BD ==，焊接成直角形刚体，以绳AF 和两等长且平行的杆AE 、BF 支持。试求割断绳AF 的瞬时两杆所受的力。杆的质量忽略不计，刚体质心坐标为0.75m C x =，0.25m C y =。

图14-9

解：（1）取刚体ABD 为研究对象，其所受的外力有重力2m g ，两杆的约束反力AE F 和BF F 。

（2）虚加惯性力，因两杆AE 、BF 平行且等长，故刚体ABD 作曲线平动，刚体上各点的加速度都相等。在割断绳的瞬时，两杆的角速度为零，角加速度为ε，平动刚体的惯性力加在质心上，且

2g C m =-R a （3）根据达朗伯原理，列平衡方程

0F τ

=∑ 0

2sin 3020C mg ma -= 可得24.9m/s C a =

()0A

i

m F =∑ 000cos30120.75cos300.25sin300.750BF

g g F

mg R R ⨯-⨯-⨯+⨯=

可得45.5N BF F =

0n

F

=∑ 02cos300AE BF mg F F --=

可得 5.4N AE F =

例2.如图所示，质量为1m 和2m 的物体A 和B ，分别系在两条绳子

上，绳子又分别绕在半径为1r 和2r 并装在同一轴的两鼓轮上。已知两轮对转轴O 的转动惯量为J ，重为W ，且1122m r m r >，鼓轮的质心在转轴上，系统在重力作用下发生运动。试求鼓轮的角加速度及轴承O 的约束反力。

图14-10

解：（1）取整个系统为研究对象，系统上作用有主动力1W 、2W 、

W ，轴承的约束反力Ox F 、Oy F 。

（2）虚加惯性力和惯性力偶，重物A 、B 平动，因1122m r m r >，故重物A 的加速度1a 方向向下，重物B 的加速度2a 方向向上，分别加上 惯性力1g F 、2g F 。鼓轮作定轴转动，且转轴通过质心，加上惯性力偶

gO M ，如图所示。

（3）根据达朗伯原理，列平衡方程