初三数学几何综合题及答案(终审稿)

初三数学几何综合题及

答案

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E

D

B

C E

D

B

C M

B

C

1. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME （1）如图1所示，若

AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系请给出证明过

程；

（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．

作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．

（1）MD=ME ．

解：∵△ADB 和△AEC 是等腰直角三角形，

∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° 在△ADB 和△AEC 中，

图1

图2

图3

，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD=CE，AD=AE，

∵M是BC的中点，∴BM=CM．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，即∠DBM=∠ECM．

在△DBM和△ECM中，，∴△DBM≌△ECM（SAS），

∴MD=ME．

（2）如图，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．

因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形

ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．

又∵M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．

∴，，MF∥AC，MG∥AB．

∴∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC．∴∠BFM=∠MGC．所以∠DFM=∠MGE．∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，∴，．∴MF=EG，DF=MG．

在△DFM与△MGE中，

，∴△DFM≌△MGE（SAS）．∴DM=ME．∠FMD=∠GEM ∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME

∵EG⊥AC∴∠EGC=90°

∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°∴∠DME=90°

∴DM⊥EM．

（3）如图所示：

△MDE 是等腰直角三角形．

2．如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是

________， AF

BE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转

α时（0180α<<），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果

成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），延长FC 交AB 于点D ，如果623AD =-，求旋转角α的度数．

（1）如图1，线段BE 与AF 的位置关系是互相垂直；∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ∴AC=2

，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴

=

；

故答案为：互相垂直；

；

D

αF

E

C

B

A

图3

图2

αF

E

C

B

A

F

E

C B A

图1

D

A

C

（2）（1）中结论仍然成立．证明：如图2，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，

∴EC=BC ，FC=AC ，∴=

=，∵∠BCE=∠ACF=α，∴△BEC∽△AFC，

∴

=

=

=

，∴∠1=∠2，延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M

∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2∴∠BCO=∠AMO=90°∴BE⊥AF；

（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60° 过点D 作DH⊥BC 于H∴DB=4﹣（6﹣2）=2

﹣2，∴BH=

﹣1，DH=3

﹣

，

又∵CH=2﹣（

﹣1）=3﹣

，∴CH=DH，∴∠HCD=45°，

∴∠DCA=45°，∴α=180°﹣45°=135°．

3.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且

CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是

_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，

D 、

E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证

明．②当

3BD CE

AC AD

==时， BPD ∠的度数____________________．

（1）等腰直角三角形 -------------------------------------------------------------------------------1分

（2） 45°. -------------------------------------------------------------------------------------------2分 证明：过B 点作FB ⊥AB ,且FB=AD . ∴90FBD A ∠=∠=︒,

∵BD=AC ， ∴△FBD ≌△DAC. ∴∠FDB=∠DCA ，ED=DC

∵∠DCA+∠CDA=90︒，∴∠FDB +∠CDA=90︒， ∴∠CDF=90︒，∴∠FCD=∠CFD =45︒． ∵AD =CE ，∴BF =CE

∵90FBD A ∠=∠=︒，∴180FBD A ∠+∠=︒. ∴BF ∥EC .

∴四边形BECF 是平行四边形． ∴BE ∥FC .

∴45BPD FCD ∠=∠=︒.-----------------------------------------------------------------------6分

（3）60︒．--------------------------------------------------------------------------------------7分