【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件：专题8第二讲 极坐标与参数方程

解决这类问题一般有两种思路： 一是将极坐标方程化为直角坐标 方程， 求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标； 二是利用相关点法， 即将动点的极坐标表示为相关点的极坐标，再代入极坐标方程中即 可．
例3
求直线 (t 为参数)被曲线 ρ＝ 3 y ＝－ 1 － t 5
4 x＝1＋ t， 5
π 2cosθ ＋ 所 4
x＝ρcos θ， 思路分析：利用公式 可得． y＝ρsin θ
解析：把 ρ＝2cos θ－4sin θ两边都乘 ρ，得 ρ2＝2ρcos θ－ 4ρsin θ，即 x2＋y2＝2x－4y，即 x2＋y2－2x＋4y＝0.
π 1． 在坐标中， 圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到直线ρ sinθ ＋ ＝2 2 4
例 2 如图所示，AB 是半径为 1 的圆的一条直径，点 C 是此圆 上的任意一点，作射线 AC，在 AC 上存在一点 P，使得 AP· AC＝1. 以点 A 为极点，射线 AB 为极轴建立极坐标系，求出动点 P 的轨迹 方程．
思路分析：点 P 随着点 C 的运动而运动，而点 C 的轨迹的形状 是已知的圆，故可以先写出圆的方程，再采用代入法即可示得点 P 的轨迹方程． 解析：在圆上任取一点 M，设 M(ρ，θ)，则∠AMB＝90°，从 而|AB|cos θ＝ρ，即圆的方程为 ρ＝2cos θ.设 C(ρ1，θ1)，P(ρ2， θ1)，将 C(ρ1，θ1)代入圆的方程，得 ρ1＝2cos θ1. 1 由题意，可得 ρ1ρ2＝1.所以 ρ1＝ . ρ2 代入ρ1＝2cos θ1 并化简，得 2ρ2cos θ1＝1. 1 所以动点 P 的轨迹方程为 ρcos θ＝ . 2
1 圆心到直线的距离为 d＝ ，弦长＝2 r2－d2＝2 10
1 1 7 － ＝ . 2 100 5
解决参数方程、极坐标方程为背景的问题时常常要先化 为直角坐标系中的普通方程，然后数形结合求解．
x＝－1＋2cos θ ， 3．若圆的方程为 (θ 为参数)，直线的方程为 y ＝ 3 ＋ 2sin θ y＝t－1， (t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B) y＝3t－1
2 ρ 2－2ρ0cos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
①当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； ②当圆心位于 M(a，0)，半径为 a：ρ＝2acos θ ；
π ③当圆心位于 M a， ，半径为 a：ρ＝2asin θ . 2
4．参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点 进行． 5．利用参数方程解决问题，竞争是选准参数，理解参数的几何 意义． 6．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可 以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．
2． 从极点 O 作直线与另一直线 ρcos θ ＝4 相交于点 M， 在 OM 上取一点 P，使|OM|· |OP|＝12，求点 P 的轨迹方程． 解析：设动点 P 的坐标为(ρ，θ)，M(ρ0，θ)． 12 ∵|OM|·|OP|＝12，∴ρ0ρ＝12，即 ρ0＝ . ρ 12 又 M 在直线 ρcos θ＝4 上，∴ cos θ＝4. ρ ∴ρ＝3cos θ，即是点 P 的轨迹方程．
几个特殊位置的直线的极坐标方程： ①直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π －θ0； ②直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ ＝a；
π ③直线过 M b， 2 且平行于极轴：ρsin θ ＝b.
3．圆的极坐标方程． 若圆心为 M(ρ0，θ 0)，半径为 r 的圆方程为：
的距离为 2． 解析：由 ρ＝4cos θ，化为直角坐标方程为 x2＋y2－4x＝0，共
π 2 2 圆心是 A(2，0)． 由 ρsinθ＋ ＝2 2得 ρsin θ＋ ρcos θ＝ 2 2 4
2 2，化为直角坐标方程为 x＋y－4＝0.由点到直线的距离公式，得 |2＋0－4| ＝ 2. 2
随堂讲义
专题八 选修专题 第二讲 极坐标与参数方程
从历年高考题全国卷可知，极坐标与参数方程 在选考题中相对容易，选此题同学较多，且重点考 查参数方程与普通方程互化，极坐标与普通坐标的 互化，另重点考几类曲线的参数方程与极坐标方程， 应争取拿满分！ຫໍສະໝຸດ Baidu
例1
把极坐标方程 ρ＝2cos θ －4sin θ 化成直角坐标方程．
A．相交过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离
1． 求曲线的极坐标方程的步骤： (1)建立适当的极坐标系， 设 P(ρ， θ )是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上 任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式；(3)将列出的关系式进行 整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 2．直线的极坐标方程． 若直线过点 M(ρ0， θ 0)且极轴到此直线的角为α ， 则它的方程为 ρ sin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
截得的弦长． 思路分析：将参数方程化为普通方程之后再数形结合求解．
解析： 将方程 ρ＝ 3 y ＝－ 1 － t， 5
4 x＝1＋ t， 5
2 2
π 2cosθ＋ 分别化为普通方 4
1 1 2 程为 3x＋4y＋1＝0，x ＋y －x＋y＝0，圆心 C2，－2，半径为 ， 2