第一章整式的乘除复习课

一、整式乘除中的运算法则
1.同底数幂的乘法的运算性质. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即， am·an＝am＋n (m，n都是正整数). (1)底数必须相同. (2)适用于两个或两个以上的同底数幂相乘.
2.幂的乘方.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.即：
(am)n＝amn(m，n都是正整数).
3.积的乘方. 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即，(ab)n＝anbn(n是正整数).
4.同底数幂的除法的运算性质. 同底数幂相除，底数不变，指数相减.即
am÷an＝am－n (a≠0,m，n都是正整数，m＞n).
(1)底数必须相同.(2)适用于两个或两个以上的同底数幂相除.
5.零指数幂.
因为am÷am＝1，又因为am÷am＝am－m＝a0,所以a0＝1.其中a≠0. 即：任何不等于0的数的零次幂都等于1. 对于a0：(1)a≠0.(2)a0＝1.
)
【解析】选C.A，B两个选项中，不是同类项的幂根本不能相加； C选项是幂的乘方的应用，是正确的；D选项根据同底数幂的除 法法则，应该是a6÷a3=a3,所以正确结果是C.
3.(2012·南宁中考)芝麻作为食品和药物，均被广泛使用， 经测算，一粒芝麻约有0.000 002 01千克，用科学记数法表 示为( ) (B)0.201×10-5千克 (D)2.01×10-7千克
注：(1)同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方要区分开，避免
用错公式.
(2)公式中的“a”“b”可以是单项式，也可以是多项式.
(3)对于幂的乘方，当有三重幂时也适用此性质. (4)对于积的乘方，积中有三个或三个以上的因式时也适用此性 质.
3.整式的乘法.
注：(1)对于含有负号的式子乘方时易出现符号错误.
幂的运算
【相关链接】 幂的运算包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘 方及零指数幂和负整指数幂的运算,它是整式运算的基础，如 单项式乘单项式的实质就是同底数幂的乘法.幂的运算是中考
命题热点之一，常以选择题、填空题的形式出现.
【例1】(2012·淮安中考)下列运算正确的是( (A)a2·a3=a6 (C)(a3)2=a9 (B)a3÷a2=a (D)a2+a3=a5
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，
即(a+b)(a-b)=a2-b2.
10.完全平方公式. 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)这两数 积的2倍,即(a±b)2=a2±2ab+b2.
11.单项式相除.
把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式
里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
1.计算-(-3a2b3)4的结果是( (A)81a8b12 (C)-12a6b7 (B)12a6b7 (D)-81a8b12
)
【解析】选D.-(-3a2b3)4=-(-3)4a8b12=-81a8b12.
2.(2012·内江中考)下列计算正确的是( (A)a2+a4=a6 (C)(a2)3=a6 (B)4a+3b=7ab (D)a6÷a3=a2
8.(2012·杭州中考)化简：2［(m-1)m+m(m+1)］［(m-1)mm(m+1)］.若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式 表示一个什么数？ 【解析】2［(m-1)m+m(m+1)］［(m-1)m-m(m+1)］， =2(m2-m+m2+m)(m2-m-m2-m)
=-8m3，原式=(-2m)3，表示3个-2m相乘.
(2)单项式乘以单项式时容易漏乘只在一个单项式中所含有的字
母.
(3)单项式与多项式相乘，漏乘多项式中的常数项. (4)对“项”的理解存在偏差，误认为项不包括系数的符号，计 算时符号出错.
4.乘法公式.
注：(1)公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或多项 式.
(2)完全平方公式可以用口诀记忆：首平方，尾平方，首尾乘积
(2)设第n个图形有2 013颗黑色棋子， 根据(1)得3(n+1)=2 013， 解得n=670， 所以第670个图形有2 013颗黑色棋子.
a=1,b=2.
【解析】原式=b2-2ab+4a2-b2 =-2ab+4a2, 当a=1,b=2时，-2ab+4a2=-2×1×2+4×12 =-4+4=0. 【归纳整合】在化简求值的运算中，要注意必须先化简再求值， 化简在整个题目中所占的分值比较重，而化简一般是整式的混 合运算,应注意其运算顺序.
答案：2m+4
整式的运算 【相关链接】 整式的运算包括整式的加减、乘除、幂的运算等.解决此 类问题的关键是严格按运算顺序计算，即：先算乘方，再算乘
除，最后算加减，如果有括号，应先算括号里面的.
【例3】(2012·嘉兴中考)计算：(x+1)2-x(x+2). 【教你解题】
确定运算顺序
先乘方、再乘除、最后加减
(A)2.01×10-6千克 (C)20.1×10-7千克
【解析】选A.0.000 002 01=2.01×0.000 001=2.01×10-6.
4.计算a3b2÷ab2=____. 【解析】a3b2÷ab2=(a3÷a)(b2÷b2)=a2. 答案：a2
5.(a-3b+2c)(a+3b-2c)=(_____)2-(____)2. 【解析】(a-3b+2c)(a+3b-2c) =［a-(3b-2c)］［a+(3b-2c)］ =a2-(3b-2c)2. 答案：a 3b-2c
按照法则运算
原式=(x2+2x+1)-(x2+2x) =x2+2x+1-x2-2x
计算最后结果
1
【命题揭秘】
结合近几年中考试题分析，整式的考查有以下特点：
1.命题内容以幂的运算和化简求值为主，有时也会出现考查整 式的有关概念的题目.幂的运算命题形式以选择题为主，而整 式的化简求值通常以解答题的形式出现. 2.命题的热点为幂的运算法则的考查以及整式的运算及进行整 式的化简和求值.
பைடு நூலகம்第一章
单元复习课
同底数幂的乘法 幂的运算 同底数幂的除法
幂的乘方
积的乘方
零指数幂和负整数指数幂 科学记数法
单项式乘以单项式
整 式 的 运 算
乘法分配率 整式的乘法 单项式乘以多项式 乘法分配率 多项式乘以多项式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 平方差公式
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6.单项式与单项式相乘. 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指 数不变,作为积的因式. 7.单项式与多项式相乘. 就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加.
8.多项式与多项式相乘.
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得
的积相加.
9.平方差公式.
2倍在中央. (3)完全平方公式常用的变形有以下几种： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab. (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). (a+b)2-(a-b)2=4ab. 这几种变形在计算求值、代数式变形中有着广泛的应用，要熟
练掌握.
5.整式的除法.
注：(1)单项式除以单项式漏掉某个同底数幂或只在被除式中出 现的字母. (2)多项式除以单项式时漏项造成错误.
9.(2012·宁波中考)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律
摆放：
(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？ (2)第几个图形有2 013颗黑色棋子？请说明理由.
【解析】(1)第1个图形需棋子6颗， 第2个图形需棋子9颗， 第3个图形需棋子12颗， 第4个图形需棋子15颗， 第5个图形需棋子18颗， „ 第n个图形需棋子3(n+1)颗. 答：第5个图形有18颗黑色棋子.
12.多项式除以单项式. 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
二、整式乘除法则的比较
1.同底数幂的乘法与除法比较.
注：(1)同底数幂相乘(相除)时，对于底数可以是一个数，一个
单项式，还可以是一个多项式.
(2)同底数幂相除时，因为零不能作除数，所以底数不能为0.
2.幂的乘方与积的乘方比较.
)
【思路点拨】根据幂的运算法则计算各个选项→得出结论 【自主解答】选B.因为a2·a3=a5 ，故A错 ；因为(a3)2=a6 ，故 C错；D中a3和a2不是同类项,不能合并，故D错.
乘法公式 【相关链接】 乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，即(a+b)(a-
b)=a2-b2和(a±b)2=a2±2ab+b2.这类公式是简便计算整式乘法
的有利工具，也是我们继续学习新知识的基础.解决此类问题
的关键是把握公式的结构特征，准确应用.
【例2】(2012·佛山中考)如图，边长为m+4的正方形纸片剪出 一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若 拼成的长方形一边长为4，则另一边长为_____.
【思路点拨】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减 去小正方形的面积，列式整理即可得解. 【自主解答】设拼成的长方形的另一边长为x， 则4x=(m+4)2-m2=(m+4+m)(m+4-m)， 解得x=2m+4.
6.(2012·潍坊中考) 如图中每一个小方格的面积为1，则可根 据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+„+(2n-1)=____(用n表示， n是正整数)
【解析】因为1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42，所以
1+3+5+7+„+(2n-1)=n2.
答案：n2
7.先化简，再求值：(4ab3-8a2b2)÷4ab+(2a+b)(2a-b),其中