中考数学专题复习——存在性问题

中考数学专题复习——存在性问题
一、二次函数中相似三角形的存在性问题
1. 如图，把抛物线y = x 2向左平移1 个单位，再向下平移4 个单位，得到抛物线y =（x -h ）2 +k . 点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D.
2. 如图，抛物线经过 A （﹣2，0）， B （﹣3，3）及原点 O ，顶点为 C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形， 求点 D 的坐标；
（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点 P ， 使得以 P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
所得抛物线与x 轴交于 A ，B 两点 1）写出h 、k 的值；
2）
判断△ACD 的形状，并说明理由； 3）在线段 AC 上是否存在点 M ，
使△AOM∽△ABC？若存在，
二、二次函数中面积的存在性问题
3.如图，抛物线y = ax2+ bx（a >0）与双曲线y = k相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且tan ∠ AOX ＝ 4 ．过点 A 作直线AC ∥ x轴，交抛物线于另一点 C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．
4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a>0）经过梯形ABCD的四个顶
点，
A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；（3 分）
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2 分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4 分）
（4）在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说
明理由。

三、二次函数中直角三角形的存在性问题
5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线y=
x2+bx+c经过 A，B两点，抛物线的顶点为 D．
1）求b,c的值；
2）点 E是直角三角形 ABC斜边 AB上一动点（点 A、B除外），过点 E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段 EF的长度最大时，求点 E的坐标；
3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点 P，使△EFP是以 EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由.
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题
6.如图，直线y =3x+3交x轴于 A点，交y轴于B 点，过 A、B两点的抛物线交x轴于另一点C
（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式 ;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使△ ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题
7．如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A（- 1，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点
C；
2
（1）求该拋物线的解析式，并判断△ ABC的形状；
（2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题
8．如图，抛物线经过原点O 和x 轴上一点A（4，0），抛物线顶点为 E，它的对称轴与x 轴交于点D．直线 y=﹣2x﹣1 经过抛物线上一点 B（﹣2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P 的坐标；
（3）点 Q是平面内任意一点，点 M从点 F出发，沿对称轴向上以每秒 1个单位长度的速度匀速运动，设点 M的运动时间为 t秒，是否能使以Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由．
七、二次函数中与圆有关存在性问题9.已知：抛物线y=x2+（1-2m）x-6+4m与 x 轴交于两点 A（x1，0）， B（x2，0）（x x，x10），
1 2x
2 它的对称轴交x 轴于点 N（x3，0），若 A，B 两点距离不大于 6，
（1）求 m 的取值范围；（2）当 AB=5 时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在 m的值，使过点 A和点 N能作圆与 y轴切于点（0，1），或过点 B和点 N能作圆与 y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的 m的值，若不存在试说明理由
定值问题：
1.如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC．CD 上滑动，且E、F不与B．C．D 重合．
（1）证明不论E、F 在BC．CD 上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不
变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知， y =（x -h ）2 +k 的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ∴ h = -1，k = -4。

（2）由（1）得 y =（x +1） -4.
当y =0时，（x +1）2 -4=0． 解之，得x = -3，x =1 ∴ A （ -3， 0），B （1， 0）.
又当x =0时， y =（x +1）2-4=（0+1）2-4=-3，
∴C 点坐标为（0，－3）。

又抛物线顶点坐标 D （－1，－4）， 作抛物线的对称轴x = -1交x 轴于点 E ，
DF⊥ y 轴于点 F 。

易知
在 Rt △ AED 中， AD 2=22+42=20 ，在 Rt △ AOC 中， AC 2=32+32=18 ，
在 Rt △ CFD 中， CD 2=12+12=2 ， ∴ AC 2 ＋ CD 2 ＝ AD 2 。

∴△ ACD 是直角三角形。

3）存在．作 OM∥BC 交 AC 于 M ，Ｍ点即为所求点。

由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC = 18 =3 2 由△AOM∽ △ABC，得AO = AM 。

即3=AM ,
AM =9 2。

AB AC 432 4
过 M 点作 MG ⊥ AB 于点 G ，
OG=AO －AG=3－ 9= 3。

又点 M 在第三象限，所以 M （－ 3 ，－ 9 ）。

44 4 4
9 4
2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为 y =ax 2 +bx +c （a 0），
4a -2b +c =0
∵抛物线过 A （﹣2，0）， B （﹣3，3）， O （0，0）可得9a -3b
+c =3 ，
c =0
∴抛物线的解析式为y = x 2 + 2x 。

（2）①当 AE 为边时，∵A、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2， 则 D 在 x 轴下方不可能，∴ D 在 x 轴上方且 DE=2 ，则 D 1 （ 1 ， 3 ）， D 2 （﹣ 3 ， 3 ）。

②当 AO 为对角线时，则 DE 与 AO 互相平分。

∵点 E 在对称轴上，且线段 AO 的中点横坐标为﹣1， 由对称性知，符合条件的点 D 只有一个，与点 C 重合，即 C （﹣1，﹣1）。

故符合条件的点 D 有三个，分别是 D 1（1，3）， D 2（﹣3，3）， C （﹣1，﹣1）。

（3）存在，如图：∵B（﹣3，3）， C （﹣1，﹣1），根据勾股定理得： BO 2=18，CO 2=2，BC 2=20，∴BO 2+CO 2=BC 2．∴△BOC 是直角三角形。

假设存在点 P ，使以P ，M ，A 为顶点的 三角形与△BOC 相似， 设 P （ x ， y ），由题意知 x >0， y >0，且 y =x 2 +2 x ， 即 x +2=3 （ x +2 x ）得： x 1=1 ， x 2= ﹣ 2 （舍去）． 3 当 x =1 时， y =7 ，即 P （ 1 ， 7 ）。

3 9 3 9
即： x +2 x =3（ x +2）得： x 1=3， x 2=﹣2（舍去）
当 x =3 时， y =15 ，即 P （ 3 ， 15 ）． 故符合条件的点P 有两个，分别是P （ 13 ， 79 ）或（3，15）。

3、【答案】解：（1）把点B （－2，－2）的坐标代入y = k 得，-2=k ，∴k ＝4。

x
-2
∴双曲线的解析式为： y = 4。

a =1
解得b =2 。

c =0
①若△AMP∽△BOC，则A B M O PM
CO
②若△PMA∽△BOC，则，B C O O PM
BO
x
设 A 点的坐标为（ m ， n ）．∵ A 点在双曲线上，∴ mn ＝ 4 。

又∵tan∠AOX＝4，∴错误!未找到引用源。

＝4，即 m＝4n。

∴n2＝1，∴n＝±1。

∵A 点在第一象限，∴n＝1，m＝4。

∴A 点的坐标为（1，4）。

把 A、B点的坐标代入y = ax2+bx得，a+b=4，错误!未找到引用源。

解得，a＝1，b＝3。

4a-2b= -
2
∴抛物线的解析式为：y = x2+ 3x。

（2）∵AC∥ x轴，∴点C 的纵坐标y＝4，
代入y =x2+3x得方程，x2+3x-4=0，解得x 1＝－4，x 2＝1（舍去）。

∴C 点的坐标为（－4，4），且 AC＝5。

4. （1）、因为点 A 、B 均在抛物线上，故点 A 、B 的坐标适合抛物线方程
a = 1 解之得：
c a ==1
-4；故y =x 2-4为所求
2）如图2，连接BD ，交 y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点
2k +b =0
设BD 的解析式为y =kx +b ，则有
2-k k ++b b ==0-3
故 BD 的解析式为 y =x -2；令x =0,则 y =-2，故M （0,-2）
（3）、如图 3，连接 AM ，BC 交 y 轴于点 N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，AMB = 90
易知BN=MN=1， 易求AM =2 2,BM =2 S
V ABM
= 2 2
2 = 2；设P (x ,x -4) ， 依题意有： 1 AD g x 2-4 =4
2，即：
1
4g x 2-4 =4
2
解之得： x =
2 2 ， x = 0 ，故符合条件的P 点有三个：
P 1(2 2,4),P 2(-2 2, 4), P 3(0,- 4)
4a +c =0 a + c = -3 k = 1 b =-2
5. 解答：解：（1）由已知得：A （﹣1，0）， B （4， ∵二次函数 y=x 2
+bx+c 的图象经过点 A （﹣1，0）， ∴
，解得： b= ﹣ 2 ， c= ﹣ 3 ；
（2）如图：∵直线 AB 经过点 A （﹣1，0）， B （4， ∵二次函数 y=x 2﹣2x ﹣3，∴设点 E （t ，t+1），则 F （t ，t 2﹣2t ﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t ﹣2t ﹣3）=﹣（t ﹣ ） + ，
5）， B （4，
5），∴直线 AB 的解析式为：y=x+1，
）过点 E 作 a⊥EF 交抛物线于点 P ，设点P （m ，m 2
﹣2m ﹣3）
则有：m 2
﹣2m ﹣ ∴当 t= 时，EF 的最大值为 ，∴点 E 的坐标为
（ ， ）； （3）①如图：顺次连接点 E 、B 、F 、D 得四
=；
解得：m 1=
，m 2=
），
，∴P 1（ ， ），P 2（
ⅱ）过点 F作b⊥EF交抛物线于 P3，设 P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n﹣2=﹣，解得：n1= ，n2= （与点 F 重合，舍去），∴P3（，），
综上所述：所有点 P的坐标：P1（，），P2（能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．，）， P3 （，）
∴如图对称轴与x 轴的交点即为 Q 1 ∵OA =OQ ，BO ⊥AQ
∴AB =Q B
∴ Q （ 1 ， 0 ）·························· 6 分 当Q 2 A =Q 2 B 时，设Q 2的坐标为（1，m ） ∴22
+m 2
=12
+（3﹣m ）2
∴m=1
∴ Q （ 1 ， 1 ）·························· 8 分 当Q A = AB 时，设Q （1，n ） ∴22
+n 2
=12
+32
∵n>0 ∴n= 6 ∴ Q （1， 6 ）
∴符合条件的Q 点坐标为Q 1（1，0）， Q 2（1，1）， Q 3（1， 6 ）·10分
6.
解：（1）∵当x =0 时，y =3 当y =0时，x =﹣1 ∴ A （﹣1，0）， B （0，
3）
∵C （3，0）·························· 1 分 设抛物线的解析式为 y =a （x +1）（ x ﹣3） ∴3=a×1×（﹣3） ∴a=﹣ 1
4分
2
1 1
7、答案：［解］（1）根据题意，将A（-1，0），B（2，0）代入y= -x2+ax+b中，得-4-2a+b=0
2 - 4 + 2a + b = 0解这个方程，得a=32，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+ 23x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1）。

∴在△AOC中，AC= OA2+OC2= （1）2+12= 5。

在△BOC中，BC= OB2+OC2= 22+12= 5。

AB=OA+OB= 1+2= 5，∵AC2+BC2= 5+5= 25=AB2，∴△ABC是直角三角形。

2 2 4 4
(2) 点D的坐标为 ( 3， 1) 。

2
(3)存在。

由 (1) 知，AC⊥BC。

若以BC为底边，则BC//AP，如图1 所示，可求得直线
BC的解析式为y= -1x+1，直线AP可以看作是由直线
2
BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -1x+b，
2
把点A(-1，0)代入直线AP的解析式，求得b= -1，
24
∴直线AP的解析式为y= -12x-14。

∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，
∴点P的纵坐标相等，即-x2+ 3x+1= - 1x- 1，解得x1= 5，
2 2 4 2
x2= - 1(舍去)。

当x= 5时，y= - 3，∴点P( 5，- 3)。

2 2 2 2 2 2 若以AC为底边，则BP//AC，如图2 所示。

可求得直线AC的解析式为y=2x+ 1 。

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为
y=2x+b，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b= -4，∴直线BP的解析
式为y=2x-4。

∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，即-x2+ 3x+1=2x-
4，解得x1= - 5，x2=2(舍去)。

22
当x= - 5时，y= - 9 ，∴点P的坐标为 ( - 5，- 9) 。

22
综上所述，满足题目条件的点P为 ( 5，- 3) 或 ( - 5，- 9) 。

2 2 2
8．解：（1）∵点 B （﹣2，m ）在直线y=﹣2x ﹣1 上∴m=3 即B （﹣2，3） 又∵抛物线经过原点 O∴设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx
∵点 B （﹣2，3）， A （4，0）在抛物线上
．∴设抛物线的解析式为
2）∵P（x ，y ）是抛物线上的一点，∴
若 S
△ ADP =S △ADC ，
∵ ， ， 又∵点 C 是直线 y=﹣2x ﹣1 与 y 轴交点， ∴C（0，1），∴OC=1，
∴
解得：
．
∴点 P 的坐标为 ． （3）结论：存在． ∵抛物线的解析式为
点 F 是直线 y= ﹣ 2x ﹣ 1 与对称轴 x=2 的交点，∴ F （ 2 ，﹣ 5 ）， 又∵A（4，0），∴AE= ．
如右图所示，在点 M 的运动过程中，依次出现四个菱形： ①菱形 AEM 1Q 1． ∵此时 DM 1=AE= ，∴M 1F=DF ﹣DE ﹣DM 1=4﹣ ，∴t 1=4﹣ ； ②菱形 AEOM 2
∵此时 DM 2=DE=1，∴M 2F=DF+DM 2=6，∴t 2=6；
③菱形 AEM 3Q 3．
∵此时 EM 3=AE= ，∴DM 3=EM 3﹣DE= ﹣1， ∴M 3F=DM 3+DF=（ ﹣1）+5=4+ ，∴t 3=4+ ； ④菱形 AM 4EQ 4．
此时 AE 为菱形的对角线， 设对角线 AE 与 M 4Q 4交于点 H ，
则AE⊥M 4Q 4， ∵易知△AED∽△M 4EH ，
∴ ，即 ，得M 4E= ，
∴DM 4=M 4E ﹣DE= ﹣1= ，
44
∴M 4F=DM 4+DF= +5= ，∴t 4= ．
4 4 4
综上所述，存在点 M 、点Q ，使得以 Q 、A 、E 、M 四点为顶
点的四边形是菱形； 时间 t 的值为：t 1=4﹣ ，t 2=6，t 3=4+ ，t 4= ．
，解得：
，即 或 ，
，∴顶点 E （2，﹣1），对称轴为 x=2；
DF=5．
x
9. 解：(1)令y=0，则x2+(1-2m)x-6+m= 0 ∵x x，且10，∴x 0，x 0
2）当 AB=5 时，5-2m=5，∴m=0 ∴抛物线的解析式为：
由AB ≤ 6 ，且x x 0，
得：
4m-60
5-2m6
3
m
2
1 m -
2
-1m3
2
2 m - 1
则OG =1，ON = 2m-1
2
②若 N在 x轴的负半轴
上，
由切割线定
理：
x 轴的正半轴上，3）N（x3，0）是抛物线与 x
，OB = 2OG2=ON·OB∴1=2m2-1· 2 ∴m=1
则ON =1-22m，OA =3-2m
2+ 3 2- 3
，m2= ∵
2
2
2
由切割线定理：OG2=ON·OA∴1=1-2m
2
(3- 2m)
1m 3 ∴ m= 2+ 3(舍去) ∴
22
m=
2 - 3
∴m
2
的值为 1 或
y=x2+x-6
定值问题
1.【答案】解：（1）证明：如图，连接AC ∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，
∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。

∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。

∴∠ACF=60°，
AC=AB。

∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，
∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）。

∴BE=CF。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。

理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。

∴S 四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。

作AH⊥BC 于H 点，则BH=2，
=12BC AH=12BC AB2-BH2= 4 3。

S四边形AECF = S ABC
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF 的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，。