特殊值法解数学题

用特殊值法解题

湖北省公安县斑竹当中学雷学池

特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用．

1．解选择题：

例1 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ]

A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c m

C．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n

解∵a＞b＞c＞0．m＞n＞0（m、n为整数）取特殊值，a=3，b=2，c=1，m=2，n=1得

a m

b n=32×21=18

b n

c m=21×12=2

c n a m=11×32＝9

∴a m b n＞c n a m＞b n c m

故选B．

2．确定多项式的系数

例2已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值．

解用特殊值法．

当x=-1时，原式为8=c①

当x=0时，原式为5=a＋b＋c②

当x=1时，原式为4=4a+2b＋c③

由①、②、③可知a=1，b=-4，c=8．

3．判断命题的真假

例3 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假．

解取特殊值，当a=1时，原式左边为9，右边为1，因为9≠1，故原命题是假命题．

4．解证定值问题

例4 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程

由①、②可得a=3，b=-2．

练习用特殊值法解下列各题：

2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？

值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值．

4．已知a＋b＋c≠0，求证：不论a、b、c取何实数时，三

答案

2．取x=0，左边为9，右边为8，9≠8．故不对．

式得

质证明．

巧取特殊值解选择题

山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅

我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例．

例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是

[ ]

（98年全国初中数学联赛）解：∵a＞b＞c，

∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）．

例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ]

A．都不小于0B．都不大于0

C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0

（94年全国初中数学联赛题）解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、（C）；

再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A）．故选（D）．

（94年全国初中数学联赛题）

则[ ]

A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜N

C．Q＜N＜P＜M D．N＜Q＜P＜M

（第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题）解：∵x＜y＜0，

∴可取x=-2，y=-1并代入上式，则

例5 如果a、b均为有理数，且b＜0，则a、a-b，a＋b的大小关系是[ ]

A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+b

C．a＋b＜a＜a-b D．a-b＜a＋b＜a

（95年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）解：∵a、b均为有理数，且b＜0，

∴可取a=1，b=-1并代入上式，得

a-b＝1-（-1）＝2，a＋b=1＋（-1）=0．∵0＜1＜2，∴a+b＜a＜a-b．故选（C）．

例6二次函数y=ax2＋bx＋c的图象经过点（-2，1）和（2，3），且与y轴的交点为P，若P点的纵坐标是小于1的正数，则a的取值范围是[ ]

（94年山东省初中数学竞赛题）