1.-积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程

第十五章 积分方程

积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。

§1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程

一. 积分方程一般概念

1. 积分方程的定义与分类

[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程

()()()()(),d b

a x y x F x K x y αλξξξ=+⎰ (1)

称为积分方程。式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b )内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。

[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程

()()(),d b a

K x y F x ξξξ=⎰

第二类Fr 方程

()()()(),d b

a

y x F x K x y λξξξ=+⎰

第三类Fr 方程

()()()()(),d b

a

x y x F x K x y αλξξξ=+⎰

[n 维弗雷德霍姆积分方程]

111()()()()(),d D

P y P F P K P P y P P α=+⎰

称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是

(x 1,x 2, ,x n )和),,,(21

n x x x '''Λ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21

n x x x '''Λ是已知函数，f (P )是未知函数。 关于Fr 方程的解法，一维和n (>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr 方程。

[沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b 改成变动上限，上面三类Fr 方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。

由于第三类Fr 方程当α(x )在(a ,b )内是正函数时，可以化成

()()()d b a

x λξξ=+⎰

它是含有未知函数),()(x y x α以

)

()()

,(ξααξx x K 为积分方程的核的第二类Fr 方程。所以本章重点

研究一维第二类Fr 方程。

2. 积分方程与微分方程之间的关系

某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微分方程的初值问题：

2200()

()()()()d d d d ,y y

A x

B x y f x x x

y y y y αα⎧++=⎪⎨⎪''

==⎩

（2） 若从方程(2)中解出2

2d d x y

，然后在区间(a ,x )上对x 求积分两次，利用初始条件，经过简单

的计算不难得出*，

⎰'--+-=x

a

y A B x A x y ξξξξξξd )()]}()()[()({)(

00

0)]()([d )()(y x y y A f x x

a

+-'++-+⎰ααξξξ 令

)()]()()[(),(ξξξξξA A B x x K -'--=

和

00

00

)]()([d )()()(y x y y A f x x F x

+-'++-=⎰ααξξξ 上式就可写为如下的形式:

)(d )(),()(x F y x K x y x

a +=⎰ξξξ (3)

这是一个第二类沃尔泰拉方程，核K 是x 的线性函数。

例1 初值问题

⎪⎩⎪

⎨⎧='==+0

)0(,1)0()(d d 22y y x f y x y

λ (4)

变为积分方程

⎰⎰--+-=x

x

f x y x x y 0

d )()(1d )()()(ξξξξξξλ (5)

反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其第一次求导的结果中令x =a ,就得给定初始条件。在例1中，对(5)式求导，得出

⎰⎰+-=x x f y x

y

00d )(d )(d d ξξξξλ (6)

再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件

y (0)=1, 0)0(='y

对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。 例2 从问题

*

在计算过程中应用了公式

11

()d d ()()d (1)!x

x x n a a a n

n

f x x x x f n ξξξ-=--⎰⎰⎰L L 1424314243 （n ≥2） 当0)()()(1

==='=-αααn f

f f Λ时成立。