解析几何答案-第四章

第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

§ 4.1柱面

1、已知柱面的准线为：

⎩

⎨

⎧=+-+=-+++-0225

)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程

⎨

⎧=+-+=-+++-0

225

)2()3()1(222z y x z y x 中消去x 即：2+y （2

而0M 2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 22

2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{

}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：

⎪⎩⎪

⎨⎧+==-=⇒

⎪⎩

⎪

⎨⎧-==+=t z z y

y t

x x t

z z y y t

x x 220

0000

而0M 在准线上，所以：

⎩⎨

⎧+=-++=-)

2(2)2(2

2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******

22=--+++z x xz z y x

此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为

()

(,0,0,0的圆心为

,152(0-

M 4}Z Y ,,，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

S v u Y x +=)(

与

⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。

证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，

S v M M ='

即S v M O OM ='-

亦即S v u Y Y =-)(，S v u Y Y +=)( 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即：

{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=

⎪

⎨⎧+=+=∴Yv u y y Xv u x x )()( 1即：2+x 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12

22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

2

2

1133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使

⎪⎩⎪

⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30

00 将它们代入准线方程，并消去t 得：

044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x

此为要求的锥面方程。

3、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）

圆锥的轴l 与k j i ,,等角，故l 的方向数为1:1:1 ∴与l

平面+y x )1,0,0(，此即为要求的圆锥面的方程。

4、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：

1

42221-=

-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：

0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x

即： 01122=-++z y x

该平面与轴的交点为)9

37,920,911(

，它与)1,2,3(的距离为： 3

116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d

∴要求圆锥面的准线为：

⎪⎩⎪⎨⎧

=-++=

-+-+-0

11229116)937()920()911(222z y x z y x 对锥面上任一点),,(z y x M ，过该点与顶点的母线为：

,)2t -

Z 40+=0512=x

5}00,,z y ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

0()(1)v u v γγγ=+-

与

000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z

=+-⎧⎪

=+-⎨⎪=+-⎩

式中，u ,证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=，它与顶点A 的连线交准线于

((),(),())M x u y u z u '=，即OM ()u γ'=。

//AM AM '，且0AM '≠（顶点不在准线上） AM vAM '∴=

即00(())v u γγγγ-=- 亦即0()(1)v u v γγγ=+-

此为锥面的矢量式参数方程。

若将矢量式参数方程用分量表示，即：

000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-

⎪⎩

⎪

⎨⎧-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(z

v u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。

§ 4.3旋转曲面

1、求下列旋转曲面的方程：

22255224444480x y z xy yz xz x y z ++++-+---=

此为所求的旋转面方程。

（2）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：

111222222111()()2()0

(1)(1)(1)

(2)

x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩

因1M 在母线上， 1111

211

x y z -∴

==

- (3) 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：