圆周运动的规律

由t1＝t2′得vd＝2nπ＋ωπ－θ
所以v＝2n＋ω1dπ－θ(n＝0,1,2，…)．
答案 2n＋ω1dπ－θ(n＝0,1,2，…)
跟踪训练4 有一种大型游戏器械是一个圆筒形容器，
筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立．当圆筒开始转
动后，转速加快到一定程度时，地板突然塌落，游客发
本 现自己没有落下去．这是因为
关
的来源；
(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
易错易混辨析 6. 忽视圆周运动的周期性
例 4 如图 9 所示，半径为 R 的圆盘匀速转
动，在距半径高度 h 处以平行 OB 方向水
平抛出一小球，抛出瞬间小球的初速度
本
与 OB 方向平行,为使小球和圆盘只碰撞
课 栏
一次且落点为 B，求：
目
(1)小球的初速度大小；
开 关
(2)圆盘转动的角速度．
图9
误区警示 本题的常见错误是认为圆盘转动一周时,小球
恰好落在B点,即t1＝
2h g
,t2＝T,故得ω＝
2π T
＝2π
g 2h .
忽视了圆周运动的周期性，即t1这段时间内，只要B点转 动2π的整数倍角度，小球都可以与B点相碰．
正确解析 （1）设小球在空中的飞行时间为 t1，初速度
周期 描述物体做圆 周期 T:物体沿圆周运动一周所用 周期单位：s
和转速
周运动的 快慢
的时间． 转速 n:物体单位时间内转过的圈数
转速单位:r/s 或 r/min
向心 描述线速度方
加速度 向变化的 快慢
v2 an＝ r
方向:总是沿半径指向圆 心,与线速度方向垂直. 单位：m/s2
相互 关系
①v＝rω＝2Tπr＝2πrf
B．它们的周期相等，甲的半径大．
C．它们的角速度相等，乙的线速度小．
D．它们的线速度相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫
过的角度比乙的大．
答案 A．甲、乙线速度相等时，利用an＝vr2，半径小的
向心加速度大，所以乙的向心加速度大．
B．甲、乙周期相等时，利用an＝
4π2 T2
r，半径大的向心加
本
课 速度大，所以甲的向心加速度大．
2hg(n＝
1,2,3,4，…)．
答案 (1)R
g 2h (2)nπ
2hg(n＝1,2,3,4，…)
正本清源 1.多解原因:因匀速圆周运动具有周期性,使得
前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生,
本 这将造成多解.
课
栏 目
2.多解问题模型:常涉及两个物体的两种不同的运动,其中
开
关 一个物体做匀速圆周运动,另一个物体做其他形式的运动.
目源自文库
开
圆心的合力，该力就是向心力．
关
2．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、
摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分
力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力．
典例剖析
例2 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示
意图如图6所示,长为L的钢绳一端系着
本 座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘
向心力．Gtan θ＝m(2Tπ)2lsin θ
[知识梳理]
1．作用效果
产生向心加速度,只改变速度的 方向 ,不改变速度的 大小 .
本 课 栏 目
2．大小 F＝mvr2＝ mω2r ＝m4Tπ22r＝mωv＝4π2mf2r
开 关
3．方向
总是沿半径方向指向 圆心 ，时刻在改变，即向心力是一
个变力．
4．来源
课 栏
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
目 开
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
关
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
( CD )
D．物体做圆周运动时其向心力不改变线速度的大小
2．物体做匀速圆周运动时，如果向心力突然消失，则下
列说法正确的是
( B)
A．物体将继续在原来的圆周上运动
本
课 栏
B．物体将沿着圆周的切线方向飞出去
课
栏 A．游客处于超重状态
目
开 关
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力等于重力
( C)
D．筒壁对游客的支持力等于重力 解析 此题看似考查超重和失重，实际重点是对向心力
来源的分析，通过对游客的受力进行分析，就可判定C
正确．
[知识梳理]
1．匀速圆周运动与非匀速圆周运动
两种运动具体比较见下表.
项目 匀速圆周运动
非匀速圆周运动
本
课
线速度的大小 不变 线速度的大小不断变化
栏
定义
目
的圆周运动
的圆周运动
开
关
运动 F 向、a 向、v 均大小不 F 向、a 向、v 大小和方向
特点 变，方向变化，ω 不变 均发生变化,ω 发生变化
向心力
第 3 课时 圆周运动的规律
导学目标 1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.
2.理解向心力公式，掌握物体做离心运动的条件.
本
基础再现·深度思考
课 栏
一、描述圆周运动的物理量
目 [基础导引]
开 关
甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，以下各种情况下哪个
物体的向心加速度比较大？
A．它们的线速度相等，乙的半径小．
开 2．传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动
关
的物体上各点角速度相同；(2)皮带传动：不打滑的摩擦
传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小
相等．
考点二 圆周运动中的动力学问题分析
考点解读
1．向心力的确定
本
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
课
栏
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向
目 开
C．物体将沿着切线和圆周之间的某一条曲线向远离圆
关
心的方向运动
D．以上说法均不对
3．如图2所示，游乐场的旋转飞椅非常刺激有趣．随着旋 转速度越来越快，飞椅会逐渐远离圆柱．你能讲出其中
的道理吗？
本 课 栏 目 开 关
图2
答案 每个飞椅受力如图所示，向心力为
F＝mgtan θ，当旋转速度越来越大时，所 需向心力 F＝mv2/r 越来越大,所以 θ 角越 来越大，即飞椅会远离圆柱．
栏
目 开
C．甲、乙角速度相等时，利用an＝vω，线速度大的向
关 心加速度大，所以乙的向心加速度小．
D．甲、乙线速度相等时，利用an＝vω，角速度大的向 心加速度大．由于在相等时间内甲与圆心的连线扫过的
角度比乙大，所以甲的角速度大，甲的向心加速度大．
[知识梳理] 描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加
F 向＝F 合
由 F 合沿半径方向的分 力提供
2.离心运动
(1)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿
着 圆周切线方向 飞出去的倾向．
本 课
(2)受力特点(如图3所示)
栏 目 开
①当F＝ mrω2 时，物体做匀速圆周运动； 图3
关 ②当F＝0时，物体沿 切线方向 飞出；
③当F< mrω2 时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的
为 v0，圆盘的角速度为 ω，小球平抛时间 t1＝ 2gh.小球
本
水平方向分运动 v0t1＝R，可得 v0＝Rt1＝R
g 2h.
课 栏
（2）当 OB 再次与 v0 平行时,圆盘运动时间
目 开 关
t2＝nT(n＝1,2,3,4,…), T＝2ωπ,依题意 t1＝t2, 2gh＝2ωnπ,解得 ω＝nπ
②
关
联立①②两式，得
ω＝
gtan θ r＋Lsin θ
答案 ω＝
gtan θ r＋Lsin θ
方法突破 解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周
本
课 栏
期、轨道平面、圆心、半径等；
目
开
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的 合力 提供,
还可以由一个力的 分力 提供．
思考：向心力是按效果还是按性质命名的力？可以在受
力分析时加一个向心力吗？
本
课 栏
答案 向心力是效果力，受力分析时，不可在物体的相
目 开
互作用力以外再添加一个向心力．
关
三、圆周运动、向心运动和离心运动
[基础导引]
本 1．关于匀速圆周运动的下列说法正确的是
课
栏 边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转
目
开 关
动．当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳
图6
与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计
钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
解析 设转盘的转动角速度为ω时，
座椅到中心轴的距离
R＝r＋Lsin θ
①
本
课
对座椅进行受力分析，有
栏
目 开
F向＝mgtan θ＝mRω2
半径越来越大，沿切线方向飞出．
课堂探究·突破考点
考点一 圆周运动中的运动学问题分析
考点解读
本 课
1．对公式v＝ωr的理解
栏
目
当r一定时，v与ω成正比．
开
关
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比． 2．对a＝vr2＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
典例剖析
②an＝vr2＝rω2＝ωv＝4Tπ22r＝4π2f2r
思考：线速度和角速度的物理意义有什么不同？ 答案 线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，而
本
角速度是描述物体做圆周转动快慢的物理量．二者仅一
课
栏
目 开
字之差，运动快慢与转动快慢不一样．运动快慢是指物
关
体做圆周运动通过弧长的快慢，转动快慢是指物体与圆
所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd＝2∶1∶1∶1；再利用a＝vω，可
得aa∶ab∶ac∶ad＝4∶1∶2∶4.
答案 见解析
方法突破
1．高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大
本
小相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速
课 栏
度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等)．
目
例1 如图4所示装置中，A 、B 、C 三个轮
的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的
本
距离为r,求图中a、b、c、d各点的线速
课
栏 目
度之比、角速度之比、加速度之比．
图4
开 关
解析 va＝vc，而vb∶vc∶vd＝1∶2∶4，所以va∶vb∶
vc∶vd＝2∶1∶2∶4；ωa∶ωb＝2∶1，而ωb＝ωc＝ωd，
速度、向心力等，现比较如下表.
物理量 物理意义
定义和公式
方向和单位
本
线速度
描述物体做圆 物体沿圆周通过的弧Δ长l 与所用时
周运动的 快慢 间的比值，v＝ Δt
方向:沿圆弧切线方向. 单位:m/s
课 栏
描述物体与圆 运动物体与圆心连线扫过的角的
目 角速度 心连线扫过角
Δθ
单位：rad/s
开 关
度的 快慢 弧度数与所用时间的比值,ω＝ Δt
心连线扫过角度的快慢．
二、向心力
[基础导引]
分析图1中物体A、B、C的受力情况，说明这些物体做
本
圆周运动时向心力的来源，并写出动力学方程．
课
栏
目
开
关
图1
答案 (1)
，Ff为向心力，Ff＝mω2l
本 课
栏 (2)
目 开 关
(3)
，FN为向心力，FN＝mvR2 ，FT与G的合力或FT在水平方向的分力提供
解析
设子弹的速度为v，则子弹穿过纸筒的时间t1＝
d v
,在此
时间内筒转过的角度最小为θ，筒转动最短时间t2＝
π－θ ω
,由
本 课
等时关系t1＝t2，得
d v
＝
π－θ ω
，故v＝
ωd π－θ
，这是子弹的最大
栏 速度；
目 开 关
若在t1时间内筒转过的角度为2nπ＋(π－θ),则t2′＝2nπ＋ωπ－θ.
向心力．
④当F>mrω2时，物体逐渐向 圆心 靠近,做 向心 运动.
思考：1.物体做离心运动是因为受到离心力的缘故吗？
2．物体做离心运动时是沿半径方向远离圆心吗？
本 课
答案 1.物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作
栏 目
用，而是物体惯性的表现．
开
关
2．物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动
由于涉及两个物体的运动是同时进行的,因此求解的基本
思路是依据等时性建立等式求出待求量.
跟踪训练3 如图10所示，直径为d的纸筒以角速度ω绕
垂直于纸面的O轴匀速转动(图示为截面)．从枪口射出
本
的子弹沿直径穿过圆筒，在圆周上留下a、b两个弹孔.
课
栏 目
已知aO与bO的夹角为θ，求子弹的速度．
开
关
图10