数学分析试题库--选择题.docx
数学分析题库(1-22章)
一.选择题
I2x — 1
1.函= V16-X2 +arcsin --------------------------- 的定义域为( )?
7
(A)［2,3］；⑻［—3,4］； (C)［-3,4)；(D)(—3,4).
2.函数y = xln(x + 7x2 +1) (-co < x < +oo)是().
(A)偶函数；⑻奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)不能断定.
￡
3.点x = 0是函数y = e x的( ).
(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)第二类间断点.
4 .当XT 0时，tan2兀是().
(A)比sin5兀高阶无穷小;(B) 比sin 5x低阶无穷小;
(C)与sin 5兀同阶无穷小；(D) 与sin 5x等价无穷小.
5 ? lim( *尸的值(
).
X-1
(A) e; (B)—;
(C)e2；(D)0.
e
6 .函数f (x)在x=x()处的导数f (x0)可定义为( ).
(B)lim/(X + AY)~/(X)
x-x0
Xf 0 心
(C)iim/(K°); (D)
心TO Ax 山 a 2 A X
7.若lim'Qx) —/(0)= 1,则广(o)等于( ).
5 x 2 7
(A)4; (B) 2; (C) — ; (D)—,
2 4
8.过曲线y = x + e「的点(0,1)处的切线方程为( ).
(A)y +1 = 2(x - 0) ; (B) y = 2x +1 ; (C) y = 2x-3(D) y -1 = x.
9.若在区间(Q,b)内，导数广(x)>0,二阶导数厂(x)〉0,则函数于(兀)在区间内
是( ).
(A)单调减少，曲线是凹的；(B)单调减少，曲线是凸的；
(0单调增加，曲线是凹的；(D)单调增加，曲线是凸的.
10.函数f(x) = -x3 -3x2+9x在区间［0,4］上的最大值点为( ).
(A)4; (B)0; (C)2; (D)3.
11.函数y = f(x)由参数方程K = 5e 确定，则鱼=(
[y = 3e' dx
3
3 3 (A) -e 2f ;
(B)-e z : (C)
；
(D)
5
5
5
12设y , g 为区间(a, b)上的递增函数，则(p(x) = max{/(x), g(x)}是(a, b)
上
13. limV?(V? + 1 -)=(
)
(A)丄；
(B) 0;
(C) CO ;
(D) 1;
2
14.极限limxsin —=(
)
5 X
(A) 0 ; (B) 1 ;
(C) 2 ;
(D) +oo.
15.狄利克雷函数
1
X 为有理数
D(x)= <
X 为无理数
的间断点有多少个( )
(A) A 没有；
(B)无穷多个；
(C) 1 个； (D) 2 个.
16.下述命题成立的是( )
(A) 可导的偶函数其导函数是偶函数； (B) 可导的偶函数其导函数是奇函数； (C) 可导的递增函数其导函数是递增函数; (D) 可导的递减函数其导函数是递减函数.
17.下述命题不成立的是(
)
(A) 闭区间上的连续函数必可积； (B) 闭区间上的有界函数必可积； (C) 闭区间上的单调函数必可积； (D)
闭区间上的逐段连续函数必可积.
18 极限 lim(l -x)x =(
)
x->0
(A) e ; (B) 1;
(C) e _l ; (D) e 2.
ein x
19. x = 0 是函数 f(x)=—的(
)
x
(A)可去间断点；(B)跳跃间断点；(C)第二类间断点；(D)连续点. 20. 若f (x) X 次可导，是奇函数又是周期函数，则下述命题成立的是(
)
(A)广'(X )是奇函数又是周期函数；
(B) f\x)是奇函数但不是周期函数;
).
3 —e 5
(A) 递增函数
(B) 递减函数; (C) 严格递增函数;
(D) 严格递减函数.
(C) f\x)是偶函数且是周期函数；(D) f\x)是偶函数但不是周期函数.
22. 点(0, 0)是曲线y = x 3的
(A)极大值点；
(B)极小值点;C.拐点；
23. 设 f(.r)-3A ',则 lim 几X )—几°)等于
( )
xw x-a
(A) 3° In3 ;
(B) 3° ;
(C) In3 ;
(D)—.
In 3
24. 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即(
)
(A) 它们都给出了 §点的求法；
(B) 它们都肯定了 E 点一定存在，且给出了求《的方法；
(C) 它们都先肯定了匸点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的 公
式计算E 的值；
(D) 它们只肯定了 &的存在，却没有说出&的值是什么，也没有给出求&的方法. 25. 若/(%)在(a,b)可导且 /(?) = /(&)，则()
(A) 至少存在一点§w(a,b),使广? = 0； (B) 一定不存在点§w(a,b),使广忆)= 0； (C) 恰存在一点gw(a,b),使广($) = 0； (D)
对任意的(?,&),不一定能使广?=0 .
26.已知/Xx)在［a,b ］可导，且方程f(x)=0在(a,b)有两个不同的根a 与0 ,那么在 (a,b)内(
)广(x) = 0.
(A) 必有； (B) 可能有; (C) 没有； (D) 无法确定
27.如果/'(x)在［a,b ］连续,在(a,b)可导,c 为介于 a,b 之间的任一点，那么在(a,b)
(C)
xsinx-cosx xcosx-sinx
x 2
xcosx + sinx
(D)
xsinx + cosx
()
D.使导数不存在的点.
21.
= xsin-,则广(x)等于 X
(A)
)找到两点x2 , X],使/(x2) - /(%!)= (x2 - X])广(
(A)必能；(B)可能；
(C)不能；(D)无法确定能.
28.若/"(X)在［a,b］±.连续,在(a,b)内可导,且
x G(a,b)时,广(x)〉0,又/(?)<0,则( ).
(A)/Xx)在［a,b］上单调增加,且f(b)>0；
(B)/Xx)在［a,b］上单调增加,且f(b)<0；
(C)/"(x)在［a,b］上单调减少，且f(b)<0；
CD) /'(X)在［a,b］±.单调增加，但/Xb)的正负号无法确定.
29.广(仓)=0是可导函数/Xx)在仓点处有极值的( ).
(A) 充分条件；
(B) 必要条件
(C) 充要条件；
(D) 既非必要又非充分条件.
30.若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则( ).
(A)极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
(B)极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
(C)极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；
(D)极大值必大于极小值.
31.若在(a,b)内，函数/'(%)的一阶导数广(%) >0 ,二阶导数f"(x)<0,则函数/'(x)在
此区间内( ).
(A)单调减少，曲线是凹的;
(B)单调减少，曲线是凸的;
(C)单调增加，曲线是凹的;
(D)单调增加，曲线是凸的.
32.设lim/(x) = limF(x) = 0 ,且在点a的某邻域中(点a可除外)，f(x)及F(x)都%—x—>a
存在，且F(X)K0,则1讪公9存在是lim心◎存在的( ).
2a F(X)"—a F(X)
(A)充分条件；(B)必要条件；
(C)充分必要条件；(D)既非充分也非必要条件?
cc coshx-1 / 、
33. lim ------------------- =( ).
5 1 - cos X
(C) 1； (D)
2
)
(B) limx”=a ； n —>co
(D)数列｛x”｝可能收敛，也可能发散
( )
(D)
存在｛x n ｝的一个子列｛x ｝,使得lim x n = oo k ks *
36.
设/■在X 。存在左、右导数，则/■在勺
( )
(A)可导；(B)连续；(C)不可导；(D)不连续。
37. 设广(北)工0，记 A_x = x - x 0,则当 Ax T 0 时，dy (
)
(A) 是心的高阶无穷小；(B)与心是同阶无穷小； (0与心是等价无穷小；(D)与心不能比较。 38. 设x n (A)都收敛于a (B)都收敛但不一定收敛于a (0可能收敛，也可能发散； (D)都发散。 39. 设数列｛*”｝收敛，数列 ｛儿｝发散，则数列｛*”儿｝ ( ) (A)收敛； (B)发散； (0是无穷大； (D)可能收敛也可能发散。 40. 设函数于在(a —3,a + 5) 上单调，则f(a + O)与/'(a —0) ( ) (A) 都存在且相等； (B)都存在但不一定相等； (C) 有一个不存在； (D)都不存在 41. 设/?在[a,b]±.二阶可导,且 f">0, 则 F(x)= 3 — E 在(a,b)上 ( ) x-a (A)单调增；(B)单调减；(C)有极大值；(D)有极小值。 42. 设于在[a, b] ±可导，x 0 G [a, b]是/的最大值点，贝!J ( ) (A) 0； (B)—丄; 2 34. 设 lim \x n \=a ,贝ij n —>oo (A)数列｛?｝收敛； (C) limx H = -a ； M —>00 35. 设｛x”｝是无界数列，则 (A) limx”=8； n —>oo (B) limx”=+8； n —>oo (c) limx”=-8； n —>oo (A)/，(x o)=O； (C)当x0 e (?, b)时，/f(x0) = 0 ；(D)以上都不对。 43.设数列x”,儿满足lim x n y”=0,则( ) n—>+oo (A)若x”发散，则儿必发散；(B)若x”无界，则儿必有界； (0若x”有界，则儿必为无穷小；(D)若丄为无穷小，则儿必为无穷小X” 44.设x”=“(T)",则数列｛*”｝是( ) (A)无穷大；(B)无穷小；(C)无界量；(D)有界量。 n Jr 45.设x n = zzsin—,则数列｛x”｝是( ) (A)收敛列；(B)无穷大； (0发散的有界列；(D)无界但不是无穷大 46.设/■是奇函数，且lim^^ = 0 ,贝U ( ) (A)兀=0是/的极小值点；(B)兀=0是/的极大值点； (C)y = f(x)在兀=0的切线平行于兀轴； (D)y = f(x)在兀=0的切线不平行于兀轴 r oo 兀" ^-dx收敛 x + 1 (A) p >1；(B) p 48?当( )时，广义积分f —cZx收敛。 山x + 1 (A) p>-l；( B) p < -1 ；(C) p <0；(D) p <-l o 49.设级数工"”与工叫都发散，贝U级数工("”+叫)( ) (A)绝对收敛；(B)可能收敛，可能发散； (C) 一定发散；(D)条件收敛. 50.设正项级数收敛，则级数丫"；( ) (A)绝对收敛；(B)可能收敛，可能发散； (0 一定发散；(D)条件收敛. oo r\ 51.级数工 幺3“+ 5 ( ) (A)绝对收敛；(B)可能收敛，可能发散; (0 一定发散；(D)条件收敛. 52.设/(x) = e*,g(x) = lnx 则厂[g'(x)]=() 1 v1丄 x —e 1 ■— e x (A)幺；(B)兀;(C)厂；(D) * 53.函数x在卩‘习上满足Lagrange中值定理纟= 3 (A)-l; (B)l; (C) 2 ；(D) V2. 54.设fW = x2001 +sinx 则严(0)=() (A)0 ; (B)l : (C)2001! ; (D) 20011+1. 55.设丿可导，则狞是比Z ()的无穷小量. (A)高阶；(B)低阶；(C)同阶；(D)等阶. 56、设/(X)在[O, 上具有_阶导数，且有-Xf，(x)->)<0 (°，Q)上() (A)递增；(B)递减；(C)有极大值；(D)有极小值. 57、当凶很小时，( ) 1 + —.r (A) 1 + x ; (B) x；(C) 2 ；( D) I' 58、函数/W=-X3+3X2+1的凸区间是() (A)卜?j] ;(B) [7+°°)；(C)卜OH ; (D) 59.函数列｛s”(x)｝在。上收敛于s(x)的充要条件是：( ) (A)Vxw￡>, limk(x)-s(%) = 0； n—>co I ' ，' 丿1 (B)V 自然数p 和VxeD ,有lim[s”+p(x) —s”(x)] = 0；则函数X在[l,+8) (C)和VxwD, BN,当n>N ,对任意自然数p,有|s”(x) +??? + $”+”(x)| <￡； (D)V& > 0,mN > 0,当"〉N 时，有(x)-5(x)| < ￡,x e D ； 00 (E) ￡ W +》［￡ W —九一1 W］在D上收敛于/⑴。 n=2 00 60.函数项级数工冷(兀)在D上一致收敛是指：() n=l (A)\/s > O^DVx e D , m自然数N,当n>N时，对自然数p有 | 叫W +…+"“+P(X)|<￡； (B)V&〉0 和 0 自然数p, 32V >0,当"〉N 时，有|“”(x) + -?+ “”+p(x)|<￡， Vx G ￡> ； (C)V E >O,mN〉0,当m>n> N时，对一切XE D ,有” “(对+ …+ 冷+卩(兀)| <「 (D)VN >0,* >0,当m>n> N 时,对一切xeD ,有”“(兀)+ —u n+p (x)| < ￡； (E)函数列5n(x) = ^^(x)在￡＞上一致收敛。k=l 61.函数项级数工冷(兀)同时满足下列哪些条件时，在(Q,?内有逐项求导公式成 立，即n=l L -.f 00 00 工"”(X)=!X(x)；() _ n=l 」”=1 (A)在(a,b)内某点收敛； (B)\/n,"”'(x)在仏b)内连续； 00 (c)工"”(X)在(a,b)内内闭一致收敛； n-\ (D)在(a,方)内内闭一致收敛; 00 (E)?”'(x)在(a,b)内处处收敛。 n=l 62.设｛/…(%)｝和｛g”(x)｝都在D上一致收敛，则( ) (A)｛九(x) + g”(x)｝在D上一致收敛； (B)｛九(x)/ g”(x)｝在D上一致收敛,其中设g”(x) M 0 ； (°｛^(Eg,*)｝在D上一致收敛； ⑴)｛|/”(x)| + |g”(x)|｝在 D 上一致收敛； (E) ｛^(x)九(x)｝在D上一致收敛，其中％(x)是定义在D上的有界函数。 00 63.设函数项级数工|"”(x)|在D上一致收敛，下述命题成立的是() n=l 00 (A)工彳(x)在D上一致收敛； n=l 00 (B)工"”(*)在￡)上一致收敛； n=l 00 (C)若在。上，工"”(x) = s(x), S(x)在。上不连续，则对旳，"”(X)在D上不连续; n=l 00 (D)存在正数列［M n］,使\u n(x)\ n=l (E)若D = ［a,b］,又对 0", "”(x)在［a,b］上可积，则［工"”(x)dx =工［(x)dx n=l n=l 00 64.幕级数工a”x"的收敛半径为( ) n=0 (A) R =； n^oo V I I ⑻R = ^11111^0^ ； (C)R = Sup|￡a”x"在琼收敛 I n=0 (D)R =inf 在琼发散 I n=0 (E)7? = lim 65.设幕级数工a”x"的收敛半径为R() n=0 (A)则该幕级数在［~R,R］上收敛； (B)则该幕级数在(-R,R)上收敛； (C)则该幕级数的收敛域为(-R,R)； 00 00 (D)若工a”R"和工a”(-町'都收敛，则该幕级数的收敛域为［~R,R］； n=0 n=l 00 (E)若R = 0,则工a”x"无收敛点. n=0 00 66.设幕级数—切"的收敛半径为7?() n=0 (A)则此级数在(心—7?,心+7?)内内闭一致收敛； (B)若此级数在两端点收敛，则它在它的收敛域上是一致收敛; (C)则此级数在(X Q-R,X Q+R)内一致收敛； (D)则lima/^ = R； 00 (E)则工a” (x-x0)H在［x0,x0 +7?)内收敛. n=0 oo 67.设幕级数工a”(x-心)"的收敛半径为7?() n=0 (A)若该级数在x0 +7?点收敛，则它在(x0 -7?,x0 +/?］±连续; (B)则此级数在(x0-7?,x0+/?)可逐项可导和逐项求积； 00 (C)则此级数与工〃色(兀-兀0)" 1有相同的收敛域； n=l (D)则此级数与工上」(—兀o)有相同的收敛域; n=0 〃 + 1 00 (E)则此级数与工”a”(x-Xo)"', n=l _oo n 丫厶(兀-兀0厂有相同的收敛半径. n=0 〃 + 1 00 00 68.设幕级数工a”x"和工b”x"的收敛半径分别为R,QM ( ) n=0 n=0 oo (A) E(-iy a n x n收敛半径为R； n=l oo (B)工a”x"收敛半径为仮; n=l oo (C)工(a”+b”)x"的收敛半径为min(7?,2)； n=0 oo (D)工a”b”x"的收敛半径为EQ； n=0 oo (E)工a”/"的收敛半径为7?. n=0 69. 设函数/'(x)是以2兀为周期的周期函数，且在上有 /? =1-X 1 + X -71 < X< 0 Q 则/(X)的傅立叶级数在兀二兀处收敛于() (A) 1 + 龙；(B) 1- n\ (C) 1; (D) 0 . 70.下列等式中()是错误的 (A) sin kx cos kxdx = 0; (C)￡sin2nxdx = TI\ 71.已知函数f(x) = x2在［-1, (B)ldx = 2%; (D) | conkx sin nxdx = 0.. 丄;T 1 ］上的傅立叶级数是 1 4 总(—1)" —H——7 / ——厂COS H7TX 3 ”2 台“2 该级数的和函数是s(x),则() (A) s(l) = l,s(2) = 4; (C)5(1)=|,5(2)=0；(B)5(1) =|,5(2) = 4; (D)5(1) = 1,5(2) = 0. /、 ［ 2x +1, - 3 < x < 0, 72. 函数f(x)= ‘展开为傅立叶级数，则应() x, 0 < x < 3. (A) 在［-3,3)外作周期延拓,级数在(-3,0), (0,3)上收敛于f(x): (B) .作奇延拓，级数在(-3,0), (0,3)上收敛于f(x)； (0作偶延拓，级数在［-3,3］ ±收敛于f(x): (D)在［-3,3)作周期延拓,级数在［-3,3］收敛于f (%). 00 73. 设函数/(x) = x 2,0 < x < 1, 5(x) = ^b n smnm.x w R,其中 n=l = 2 f f (x) sin ruixdx, n = 1,2, ??? JO 则 S(—*)=() (A)-(B)-丄；(C)-; (D) 2 4 4 2 74. 极限 lim f(x,y) = A 的涵义是( ) (x,刃T (Xo ，y ) (A) 对 > 0,，总九〉0,,当 0 < p <6 时，有 |/(x, y)-A < ; (B) 若3^ > 0,,对 V 》〉0,,当 Ovpv 》时，有 \f(x,y)-A< s\ ; (C) 对每个 0 <￡V1,总 3^ > 0,当 Ovpv 》时，有 |/(x,y)-A< ； (D) 若 3^ > 0,, Vg 〉0,当 Ovqv/ 时，有 |/(x,y) - A < . 75. 设 lim/(x,0) = 0, lim/(0, y) = 0, lim f(x,y) = 0,贝II lim f(x,y)=( ) XT O y->0 x->0 (x,y)^(O,O) ' y-kx->0 (A)存在且等于0; (B)不存在； (C) 存在可能不为0 ; (D)可能存在，也可能不存在. 76. 函数 f(x,y)在 P 0(x 0,y 0)间断，则( ) (A) 函数在P 0(x 0,y 0)处一定无定义； (B) 函数在P 0(x 0,y 0)处极限一定不存在； (0函数在P 0(x 0,y 0)处可能有定义，也可能有极限； (D) 函数在P 0(x 0,y 0)处一定有定义，且有极限，但极限值不等于该点的函数值. (A) 1; (B)不存在； (C)丄； (D) 0. 2 78.下面断语正确的是( ) (A) 区域上的连续函数必有界； (B) 区域上的连续函数必有最大值和最小值； (C) 区域上的连续函数必一致连续； (D) 在区域DuW 上连续，片巴为D 的内点，且/(片) )存在，则称这极限值为函数f(x,y)在P Q (x 0,y Q )处对x 的偏导数, (A )Hm 于(％ +心,儿+ —几弘，儿). A XT O 心 77. lim O,y)—(0,0) (B) lim g +心,刃-于仕0，儿). 山TO Ax ' (C) lim /(X 。+ 心,儿)— /(%，儿). &TO A X ' (D) lim /^+Ar,y)-f(x,y) 山TO 心 80. 设函数z = f(x,y)在(“)，)7。)处不连续，则/(x,y)在该点处( ) (A)必无定义； (B)极限必不存在； (0偏导数必不存在； (D)全微分必不存在. 81. 设函数 f(x,y)在 P 0(x 0,y 0)处可微，且 f x (x 0,y 0) = f }. (x 0, y 0) = 0,则/'(x,y)在该 点处( ) (A)必有极值，可能为极大值，也可能为极小值； (B)可能有极值也可能无极值； (C) 必有极大值； (D)必有极小值. 82. 对于函数 f (x,y) = x 2 - y 2,点(0,0)( ) (A)不是驻点； (B)是驻点却非极值点； (C) 是极小值点； (D)是极大值点. 83. 函数< =/(X, y)在(心,儿)处连续是函数在(x 0, y Q )可微的( ) (A)必要条件； (B)充分条件； (0充要条件； (D)既非充分又非必要条件. 00 84. 幕级数工"(" + l)x"的收敛区间是()， n-\ (A) ( — 1,1)； (B) ( — 1,1]； (C) [-1,1)； (D) [-1,1] 00 00 85. 级数工"”收敛和级数工“”之间的关系是(), n=l ”=104 (A)同时收敛且级数的和相同；(B)同时收敛或同时发散，其和不同； (C)后者比前者收敛性好 些；(D)同时收敛但级数的和不同. 86. 若 L 是右半圆周 x 2 + y 2 = R 2,x>0 ,则积分 | -^x 2 + y 2ds =() 88. 设区域D 为圆域：厶+为。的边界，逆时针方向，ZT 为D 的边界，顺 时针方向，则下面不能计算区域。面积的是() —xdy - ydx : (D) -￡ ydy-xdx. 2 2 (A)R ； (B) 2兀R ; (C) nR ; 87. 下列积分与路线有关的是() (A) - y)(dx - dy)； (0 [ (2x + siny^dy + xcosydx: (D) TT R-. (B ) + siny^dx + xcosydy ； (D) + y\dx + dy). (A) -x 2 dx ; (B) jjjcr ; (C) D 89. j(x + y)ds=_其中厶是以O(0,0),4(1,0),B(0,l)为顶点的三角形() (A) 1+ V2 ; (B) 1； (0 V2; (D) 0. ，其中 L 为直线 AB, A(1,1),B(2,3) () 94. ^yzdxdy =()其中S 是球面x 2 + y 2 + z 2 = 1的上半部分并取外侧为正向. s (A) 2TI ; (B) n ; (0 1 ; (D) 0. 95. ￡ ydx + xdy =(),其中 L: x 2 + y 2 = 1 (A) 0; (B) 1; (C) 2; ](x+y + z)dS = (),其中 Y 是左半球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2, y <0 ; (A)—%。3 ; (B) 7ra 3 ; (C) 0 ; (D) 27ra 3. 97、由光滑闭曲面S 围成的空间区域的体积是() (A) ^xdxdy + ydydz + zdzdx ; (B) — <^xdxdy + ydydz + zdzdx ; s 3 s (C) <^xdydz + ydzdx - zdxdy ; (D) — <^xdydz + ydzdx 一 zdxdy . s 3 s [(/ + y2)ds=(),其中工是区域｛(W )l + b "51｝的边界. 91. (A) 1; (B) 2; (0- ; (D) 3. 2 jj(x + y)dxdy =() D (A)-- 2 其中D 是山圆周x 2+y 2 =x + y 所围区域. (B) 71 ; (D) 0. 92. 已知无界区域上的二重积分 n 川产收敛’则〃的取值范围为() %2+/>1 十 y 丿 (A) m > 1; (B) m < 1 ; (C) m > 2 ; (D) m<2. 93. f(x,y)dy 交换积分顺序后，正确的是() (D) 3. 96. (B) (0 (D) (A) — ( V2 +1 ) ; (B) — (V2 +1) ; (C) TT(sp2 +1 ) r(i,i) 99. (x- y)(dx - dy)^ () (A)-l; (B)l; (C)0 ; (D)2. 100. 「(6,8)xdx + ydy '(i,o) (A) 6; (B)7; (C)8 ; ),沿不通过原点的路径. (D)9. (D)彳(d —1). 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续. 数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ） 数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3. 数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷） 一、叙述题（每题5分，共10分） 1.上确界； 2.区间套的定义。 二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导； （6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导； （7）求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且 1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-. 数学分析（1）复习题（一） 一、按要求写出下列定义的数学描述（4?/5=20/） 1、A x f x ≠+∞ →)(lim 的X -ε正面描述为 2、由Cauchy 收敛准则，若数列{}n x 收敛，则 3、η为非空数集S 的下确界即 4、a 为无限集合S 的聚点即 5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题（8?/6=48/） 1、求2 1 0)sin (lim x x x x →. 2、求)sin 2 sin 1(sin lim 2 2 2 n n n n n +???++++∞ →π π π . 3、确定x x x f sin )(=的间断点并判断其类型. 4、设x x x x f x x sin )(sin +=，求)(x f '. 5、x y 3sin =，求)(n y . 6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式. 7、设)7ln 12(4-=x x y ，试确定其凹凸区间及拐点. 8、确定,,b a 使函数???≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续. 三、证明题（4?/8=32/） 1、用δε-定义证明.10 3 1lim 2 3 =+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成 立： .ln )()()(a b f a f b f ξξ'=- 3、证明：若f 在[]b a ,上连续，)(lim x f x +∞ →存在且有限，则f 在[)+∞,a 上一致连续. 4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞ →x f x 证明0) (lim =+∞ →x x f x . 数学分析（1）复习题（二） 一、单项选择题（5?/3=15/） 1、=∞→n n n 2lim （ ） A.0；B 、2 1；C 、1；D 、2. 2、设函数是n 次多项式，则=+)()1(x f n （ ） A 、n ；B 、n+1；C 、0；D 、1. 3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→x x f x sin ) (lim 0 ( ). A. 2 1 ； B 、0； C 、2； D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义，则下列命题哪一个为假？（ ） A.f 在点x 可微，则f 在点x 连续； B 、f 在点x 不连续，则f 在点x 一定不可导； C 、f 在点x 连续，则f 在点x 可微； D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微. 5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上，它们在定义区间上是一致连续的 吗？（ ） A.两个都是一致连续的； B 、两个都不是一致连续的； C 、f 是一致连续的，g 不是一致连续的； D 、f 不是一致连续的，g 是一致连续的. 二、填空题（5?/3=15/） 1、如果要使函数x x x f 1 sin )(=在点0=x 连续，需重新定义=)0(f 2、设1)(0='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) ()(lim 000 3、函数???≤>+=,1,, 1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导，则=+2013b a 4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，则=')0(y 5、设???-=-=t y t t x cos 1sin ，则 == 2 π t dx dy 数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0< 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z= x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3 4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 《数学分析》考试试题 一、叙述题 1叙述闭区间套定理； 2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限x x x x )1 1(lim -+∞→ ； 2 求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f ) ( ； 4 求不定积分?-+dx e e x x 1arctan 2 ； 三、讨论题 1讨论函数=)(x f ?????≤0 , 00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明21121lim =-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根； 3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{} k n x 也收敛于a 。 （十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈?,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( ) 3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时, ),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( ) 4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( ) 大连理工大学2001年硕士生入学考试 数学分析试题 一. 从以下的1到8题中选答6题 1. 证明:2 ()f x x =在区间[0,]M 内一致连续(M 为任意正数),但是在[0,)+∞不一致 连续 2. 证明:若()f x 在[,]a b 内连续,那么()f x 在[,]a b 内Riemann 可积. 3. 证明:若1α>,那么广义积分1 sin x dx α+∞ ? 收敛 4. 证明:若()f x ,()g x 为区间(,)a b 上的连续函数,对任意的(,)(,)a b αβ?有: ()()f x dx g x dx β β α α =??,那么, ()()f x g x ≡于(,)a b 5. 证明:若1 n n a ∞ =∑收敛,那么 1 nx n n a e ∞ -=∑在[0,)+∞一致收敛 6. 已知：2 ,0 ()0,0 x e x f x x -?≠?=?=??，求"(0)f 7. 已知：()() 1(,)()2 2x at x at x at x at u x t d a φφψαα+-++-= + ?. 其中, ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算 22 222 (,)(,)u x t u x t a t x ??-?? 8. 计算,半径为R 的球的表面积 二. 从9到14题中选取6题 9.已知: lim '()0x f x →∞ =,求证: () lim 0x f x x →∞ = 10.证明: ()a f x dx +∞ ? 收敛,且lim ()x f x λ→+∞ =,那么0λ= 11.计算曲面积分: 333 S I x dydz y dzdx z dxdy = ++??, 其中S 为旋转椭球面222 2221x y z a b c ++=的外侧 12.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: ()()n n S x f x =对于任意小于1的正数δ,在区间(0,1]δ-一致收敛,但是不在(0,1)一致收敛 13.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: 1 0lim ()0n n f x dx →∞ =? 14.证明:若()[,]n u x C a b ∈，1,2,...,...n =且1 ()n n u b ∞ =∑发散,那么1 ()n n u x ∞ =∑不在[,)a b 一致收 敛 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数学分析 参考答案 一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立 )()()(a F b F dx x f b a -=? 2、,0.0>?>?N ε使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a 21 3、设2R D ?为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ??,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ?+?+?+?=?则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ?+?为在点),(000y x P 处的全微分 二、1、分子和分母同时求导 316sin 2lim sin lim 54060202==→→?x x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为： 3 1)(102=-?dx x x （3分） 所求的体积为：103)(105ππ=-?dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1) 1()(n n n n x x f ，1) 1(1)2)(1(1 lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分） ),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞ =-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==?x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： y u ??=z x x z y ln （3分）=???y x u 2zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分） 11 )1 11(lim !)1()! 1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n n n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解： ???+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对?--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时 ?--101dx e x x p 收敛（4分）；?+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ?+∞--11dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分收敛 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=， 取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不 相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页数学分析试题库--证明题
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