《电动力学》第24讲 §4.4 分离变量法

其特解之一为：
2


4
V
1
( x ')
r
dV
有限区域分布电荷，选无限远处电势为零时的解。
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§2.4 分离变量法

对一般情况，设泊松方程的解为：

则，
即：
1 ( x ') ' dV 4 V r '0
2

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§2.4 分离变量法

Pn（cosθ ）为勒让德函数
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§2.4 分离变量法

n=0时，
n
bn (an R n 1 ) Pn (cos ) R n b0 a0 R 点电荷的势
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§2.4 分离变量法
n

Pn（cosθ ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。
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§2.4 分离变量法

Pn（cosθ ）为勒让德函数
P0 ( x) 1 P0 (cos( x)) 1 P1 ( x) x P1 (cos( x)) cos( x) 1 2 1 P2 ( x) (3x 1) P2 (cos( x)) (3cos 2 ( x) 1) 2 2 1 3 1 P3 ( x) (5 x 3x) P3 (cos( x)) (5cos3 ( x) 3cos( x)) 2 2 1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1) l 2 l ! dx
1 Q 4 r
2
Q 4 r E
2
j E
I 4 r 2 j
I 4 r j 4 r E Q
2
1 I 4 r
1 ( 4 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 1 ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
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§2.4 分离变量法

拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法
求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在
该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用 的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用 球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用 （R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。
I
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上一讲习题解答

1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） 0 0 ，应有 三对像电极（即三个像电流）。
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上一讲习题解答

1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体 。为 满足器壁（边界上）0 0 ，应有三对像电极（即 三个像电流）。
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上一讲习题解答

2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流 为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三 对像电极（即三个像电流）
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本讲主要内容

分离变量法求解泊松方程
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§2.4 分离变量法

我们知道静电场标势所满足的泊松方程为：
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2

1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
' 0

泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解
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§2.4 分离变量法

在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。
例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板
上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜 内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表 面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如 果我们选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较 简单的拉普拉斯（Laplace）方程 。
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( R R0 ) ( R R0 )
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§2.4 分离变量法

边界条件包括：
bn 1 (an R n1 ) Pn (cos ) R n 0
n


（1）无穷远处， E → E0
1 |R E0 R cos E0 RP 1 (cos )
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上一讲习题解答

1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上）0 0 ，应有 三对像电极（即三个像电流）。
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上一讲习题解答

2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即 三个像电流）
n
(2)
1 1 (3cos 2 ( x) 1) D33 3 12 0 R 2
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§2.4 分离变量法

例1
电容率为 ε
的介质球置于均匀外电场 E0中，
求电势。 （取介质球球心处电势为零。）
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§2.4 分离变量法

解
介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚

设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充 满电导率为 的液体，取该两平面为 xz面和 yz 面，在 ( x0 , y0 , z0 ) 和 ( x0 , y0 , z0 ) 两点分别置 正负电极并通以电流 I ，求导电液体中的电 势。
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上一讲习题解答

解：无限空间时

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§2.4 分离变量法

拉氏方程在球坐标系中的通解为
bnm m ( R, , ) (anm R n 1 ) Pn (cos ) cos m R n.m d nm m n (cnm R n 1 ) Pn (cos )sin m R n,m
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上一讲习题解答

2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即 三个像电流）
I 4 ( 1 ( x x )2 ( y y )2 ( z z ) 2 0 0 0 1 ( x x )2 ( y y )2 ( z z )2 0 0 0
n

式中 a
n m
,b
n m
,c
n m
和 d
n m
为任意常数，在
具体问题中由边界条件定出。Pnm（cosθ ） 为缔和 勒让德（Legendre）函数。
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§2.4 分离变量法

若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不
依赖于方位角φ ，这情形下通解为
bn (an R n1 ) Pn (cos ), R n
n


（2）取介质球心处电势为零。
2 |R 0 0
c0 0
n 1
d n 0 (n 0,1, 2,...)
n
2 cn R Pn (cos )
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§2.4 分离变量法

边界条件包括：

（3）在介质面上： （R=R0）
bn P (cos ) ( R R0 ) 1 (cos ) n 1 n 1 a0 E0 RP n 0 R 2 cn R n Pn (cos ) ( R R0 ) n 1 1 2 1 |R R0 2 |R R0 0 R R R0 R R R
《电动力学》第12讲
第二章 静电场（4）
§2.4 分离变量法
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月23日
上一讲复习

1、电像法的适用条件

我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影 响用导体内部某个或某几个假想电荷来代替。注意 我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布 （在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然是只 有一个点电荷Q），因而并不影响泊松方程，问题的 关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能 够满足边界条件，则我们所设想的假想电荷就可以 用来代替导体面上的感应电荷分布，从而问题的解 可以简单地表示出来。
0
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§2.4 分离变量法
bn n a E R P (cos ) P (cos ) c R 0 0 1 n 0 P n (cos ) n 1 n 0 n 0 R0 n 1 b n 1 E P (cos ) (n 1) n P (cos ) nc R Pn (cos ) 0 1 n 0 n2 n R0 0 n 1 n 0 b0 b0 P0的系数： a 0 + 0 2 0 R0 R0


1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2