8.二次型与二次曲面

a=b ？ a=b=c ？ a=b ？
b=c ？
a=b ？
(二)、λ1 、λ2 不为零,λ3 = 0
λ1 x2+λ2 y2= c z + d y2 o x2 5 2p + 2q = z ( p、q同号) 椭圆抛物面 y2 = z ( p、q同号) o x2 双曲抛物面 6 2p - 2q 2 2 2 2 x y x y o o 8 a 2 - b 2 =1 7 a 2 + b 2 =1
x2 + y2 + z2 =1 例1:求曲线C: x2 + y2 -x =0 在xOy , zOx 坐标面上的投影.
(z≥0) ,
解:
x2 + y2 + z2 =1 在xOy面上的投影为 x2 + y2 -x =0 往zOx 面上投影: x2 + y2 + z2 =1 (消去y) x2 + y2 -x =0 z2 + x = 1 y =0 x2 + y2 -x =0 z =0
柱面特点: 含有两个变量的方程在空间表示柱面. C: f ( x,y )=0 ( z为母线) S: f (x,y)=0
z=0
柱面名称:与母线名称对应.
(1).椭圆柱面
x2 y2 2 1 2 a b
z
当 a=b 时,为圆柱面:
x2 y2 a2
o x
y
(2).双曲柱面
z
x2 z2 2 2 1 a b
2 2
√2 2 0 √2 2
0
1
0
,
f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z -2=0 .
√2 x + √2 y x = 取: 2 1 2 1 y= z1 √2 x -√2 y z= 1 1 8 x12+4 y12-2 z12+8√2y1-4z1 -2=0
2 2
(2). (配方) 8 x12+4 ( y1 +√2) 2-2( z1+1) 2= 8 取平移变换 8 x22+4 y22-2 z22= 8 x1 x2 2 2 z y 2 2+ 2 x =1 y + √ 2 即 y2 = 1 , 2 2 4 z1 +1 z2 单叶双曲面.
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
M(x,y,z) S
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2
展开: x2+y2+z2 -2x0 x-2y0y-2z0z + x02+y02+z02 -r2 =0
球面方程特点: (i) 三元二次方程; (ii) 二次项x2、y2、z2系数相同; (iii)无混合二次项xy、yz、zx.
绕 x 轴一周 o
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
准线
x
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
例3: 判断下面二次曲面为何种二次曲面
f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z -2=0 . 6 0 2 解: A= 0 -2 0 , λ =8 , 4 , -2 ,
√2 2 P=(P1,P2,P3)= 0 √2 2
2 0 6
√ 2 √ 2 x x = x + y1 1 (1). 取 x 1 即: 2 2 y =P y1 , y= z1 z1 z √2 x - √2 y z= 1 1
x2 y2 z2 + 2 - 2 =0 2 a b c 二次锥面 x2 y2 z2 - 2 - 2 =1 2 a b c 双叶双曲面 x2 y2 = z ( p、q同号) 2p 2q 双曲抛物面
o y2 = 2px 9
7
o
x2 y2 + 2 =1 2 a b 椭圆柱面
8
o
x2 y2 - 2 =1 2 a b 双曲柱面
x
绕 x 轴一周
0
y
(2-1)双叶旋转双曲面
x y 双曲线 a b z
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
(2-1)双叶旋转双曲面
x y 双曲线 a b z
x
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
z
x2 y2 z2 1 2 2 a b
PQ 2b 叫螺距
.
0
t
N
a
y
P
x
2. 空间曲线C在平面π上的投影: 以空间曲线C为准线,母线垂直于π的柱面与π的交线. F(x,y,z)=0 (1). 求 G(x,y,z)=0 在xOy面上的投影:
f (x,y)=0 F(x,y,z)=0 (消去z) f ( x,y ) = 0 ( 柱面 ) G(x,y,z)=0 z=0 x= x( t ) x= x( t ) (2). y= y( t ) 在xOy面上的投影为 y= y( t ) z= z( t ) z= 0
x = acos t z = bt y= 0
8.5
二次曲面
一.二次方程的化简和分类
Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Eyz+2Fzx+Gx+Hy+Lz +M=0
1.化简:
(1).用正交变换去掉混合二次项,得 λ1 x12+λ2 y12+λ3 z12+G1x1+H1y1+L1z1 +M1=0 (2).用平移变换(配方法)尽量去掉一次项.
x2 y2 z2 - 2 - 2 =1 2 a b b
x2 + y2 = k2 z2
x2 y2 - 2 =1 2 a b
二.空间曲线:
1. 方程: • 一般式方程: 如: • 参数式方程: F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 x2 + y2 =1 x + y + z =3 x= x( t ) y= y( t ) z= z( t ) t T
0
y
.
(2-2)旋转单叶双曲面
双曲线
x y 2 2 1 b a z 0
2 2
y
绕 y 轴一周
o
a
x
(2-2)旋转单叶双曲面
双曲线
x y 2 2 1 b a z 0
2 2
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
(2-2)旋转单叶双曲面
双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
p=q ？
(马鞍面)
(三)、λ1 不为零, λ2 = λ3 = 0
λ1 x2= b y + c z + d o y2 = 2px 9
( b 、c不全为零) 柱面
2 2 2 x y z o o + + = 1 1 a2 b2 c2 4 椭球面 o y2 z2 o x2 3 2 a2 + b2 - c2 =1 单叶双曲面 o y2 o x2 5 2p + 2q = z ( p、q同号) 6 椭圆抛物面
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
z1 z
C
2
y1 x y
2
o
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0
x
旋转曲面特点:
C中轴坐标(z) 不变,另一坐标(y)变为除轴坐标外 两坐标的正负算术平方根. 反过来,方程中若有两个变量以平方和形式出现, 这个方程的图形一般是旋转曲面.
f ( y, z ) 0 母线 C x 0
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
z 得旋转抛物面
x 2 y 2 2 pz
.
.
o
y
绕y轴旋转一周又如何?
x
生活中见过这个曲面吗？
卫星接收装置
.
(4)圆锥面
直线
x
y kx z = 0
绕 x 轴一周 o
y
(4)圆锥面
直线
x
y kx z = 0
绕 x 轴一周 o
z
y
.
(4)圆锥面
直线
x
y kx z = 0
2.简化后的三元二次方程分类
(一)、λ1 、λ2 、λ3全不为零
λ1 x2+λ2 y2+λ3 z2= d 2 2 2 o x + y + z =1 椭球面 1 a2 b2 c2 y2 z2 o x2 2 a2 + b2 - c2 =1 单叶双曲面 y2 z2 o x2 3 a2 - b2 - c2 =1 双叶双曲面 y2 z2 o x2 4 a2 + b2 - c2 =0 二次锥面
反过来,具备这三个条件的方程,其图形是球面:
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0
(配方法)
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=k
k>0
k=0
球面方程
点球面
k<0
虚球面
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
(3)旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 绕 z 轴一周 x0
z
o
y
(3)旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 绕 z 轴一周 x0
z
.
o
y
x
(3)旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 绕 z 轴一周 x0
z
解 由
z 2 x 2 y 2 2 2 z x y
L
1
投影柱面
x2 y2 1
所求投影曲线为
得交线L：
x y 1 z 1
2 2
x2 y2 1
x2 y2 1 . . . z 0
o
.
.
x
z =0
2
y
x = acos t 例2: 求螺旋线C: y = asin t 在坐标面上的投影. z = bt 解: 往xOy 面上投影: x = acos t y = asin t z= 0 往yOz 面上投影: y = asin t z = bt x= 0 往zOx 面上投影:
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0
x2 y2 (1) 2 2 1 a b z0
旋转曲面名称: 与母线名称对应.
绕 x轴
x a2
2

2
y2 z2 b
2
1 1
绕y轴
x z a2
2

y2 b
2
---旋转椭球面
(2-1)双叶旋转双曲面
x2 y2 1 双曲线 a 2 b 2 z 0
螺旋线
圆柱面
x2 y2 a2
z
M(x,y,z) x = acos t y = asin t z = bt
（移动及转动都是 等速进行，所以 z与t成正比。)
当 t 从 0 2， 螺线从点P Q
M
点P在圆柱面 上等速地 绕z轴旋转；
Q
同时, 又在平行于 z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是 圆柱螺线。
抛物柱面
马鞍
二. 描 图
在平面直角坐标系中,对二元方程f (x,y)=0,用“描点法” --用平行于坐标轴的线去截曲线f (x,y)=0 ,根据截点的 取值和变化规律推断曲线的形状;
在空间直角坐标系中,对三元方程F(x,y ,z)=0,用“截痕法” --用平行于坐标面的平面截割所研究的曲面F(x,y ,z)=0, 根据截痕(线)的形状和变化规律推断曲面的形状.
图例
求曲面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影。
z
解 由
z 2 x 2 y 2 2 2 z x y
得交线L：
x2 y2 1 z 1
1
o
.
x
y
图例
求曲面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影。
哈尔滨工业大学数学系
第 八 章
二次型 与 二次曲面
8.4
空间中的曲面和曲线
图形
方程 F(x,y,z)=0
两个基本问题: (1).给出图形,建立方程 ; (2).已知坐标满足的方程,研究其表示的曲面图形.
1.球面
已知球心M0 (x0,y0,z0),半径r , 求球面S方程.
|M0 M| = r , 即