静电场的唯一性定理
chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以 猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其 正确性 c)如果我们针对这类边值问题， 找到一个试探的解， 但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件， 包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的 边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系， 如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一 开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足 的微分方程） ， 然后根据边值关系， 来确定这些系 数。 2、有导体存在时的唯一性定理 对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量， 通常求解这类问题时不 可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。 因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以 根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两 类问题： 第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；
b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定， 则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完 备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化 成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：
《电动力学第三版》chapter2_2唯一性定理
E2t E1t
D
2n
D1n
如果我们假设 E仍保持球对称性,即
E1
A r3
r
E2
A r3
r
(左半部) (右半部)
(A为待定常数),分界面两侧电场与界面相切,并有相同数值,因 而边值关系得到满足.
球对称的E在球面上处处与球面垂直,保证导体球面为等
势面. 为了满足内导体总电荷等于Q,我们计算内导体球面上
对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，将导 体看成是区域边界之一，即可证明电场被唯一确定.
对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表 面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定.
设区域V 内有一些导体,给定导体之外的电荷分布x 给定
各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的或/n值,则V内的电
有球对称性. 试解释之.
子区域 2
子区域 4
子区域 3
i ( S i i )d S i V i i d V(1)
i
V ii( )2dVV i(i 2)dV
i
i 2dV
Vi
i S i(i )d S i S i(i n i)d S 0 (2)(3)
i S i i d S i V i i 2 d V 0
场唯一地确定. 存在唯一的解,它在导体以外满足泊松方程
2/
在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件
Si ndSQ i, |Sii 常量
以及在V的边界S上具有给定的|s 或/n|s值.
证明: 设有 和 同时满足上述条件. 令 '''
2 0
|si 0,
dS 0 Si n
|s 0 或
第二章 静电场
关于静电场唯一性定理的讨论
关于静电场唯一性定理的讨论
静电场唯一性定理是物理学中一个重要的定理，它规定了一个静电场的特性，即在一个静电场中，任意一点的电场强度只能由一个确定的值确定。
它是由德国物理学家卡尔·冯·诺依曼提
出的，他在1914年的一篇论文中提出了这一定理。
该定理表明，在一个静电场中，任何一点的电场强度都可以由一个唯一的值来确定，这个唯一的值是由该点的电荷量和距离决定的。
这意味着，在一个静电场中，任何一点的电场强度都是可以由一个唯一的值来确定的，而不会受到其他因素的影响。
该定理在现代物理学中得到了广泛的应用，它可以用来解释电磁学中的许多现象，也可以用来描述物理系统中的电场分布。
此外，它还可以用来解释电磁辐射的传播机制，以及电路中的电流分布情况。
2.6 静电场边值问题 唯一性定理
V/m
CQU
2.6.3 唯一性定理
1、唯一性定理 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程 满足给定边界条件的电位微分方程（ 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的， 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定 理。 2. 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性 解的正确性： • 可判断静电场问题的解的正确性： 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。 解析解等）提供了思路及理论根据。
S
第三类 边界条件
(ϕ + β ∂ϕ ) = f3 ( s) ∂n S
第四类 边界条件
ϕ S = f1 ( s)
求解边值问题注意事项： 求解边值问题注意事项：
CQU
点电荷的场
1．根据求解场域内是否有 ρ 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 ．根据求解场域 求解场域内是否有 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 泊松方程还是 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求 若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域， 分区求 场域内有两个 不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 分界面上的衔接条件来确定积分常数 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有 对于开域问题 限分布时，应有： 限分布时，应有：
1.8 静电场的唯一性定理
ρ ∇ U = − →泊 方 , 松 程 ε0
2
静电场 ＋边界条件 的边值 2 问题 or ∇ U 0 →拉 拉 方 ＝ 普 斯 程
物理系：杨友昌 编
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
唯一性定理
• 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒 对于静电场，给定一组边界条件， 定电场分布？——回答：否！ 电场分布？ 回答： 回答 • 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 电场的分布唯一 • 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至 关重要 • 理论证明在电动力学中给出，p67 给出普物方式的论证 理论证明在电动力学中给出， • 论证分三步：引理 论证分三步：引理——叠加原理 叠加原理——证明 叠加原理 证明
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的 以及各导体的形状、相对位置（ 以及各导体的形状、相对位置（统 称边界条件），求空间电场分布， ），求空间电场分布 称边界条件），求空间电场分布， 即在一定边界条件下求解 泛 定 方 程
Q Q ' r' Q ' + = 0⇒ = ⇒r'Q= −rQ' r r' r Q
2
R b R ' － 有b = ⇒Q = ± Q= ± Q 取 ？ a a a cos θ的系数 三角形
相似
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
静电场边值问题唯一性定理
场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。
关于静电场的唯一性定理
关于静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理被称为静电学中的一颗明珠。
说说静电场唯一性定理的重大意义。
静电场的唯一性定理是以库仑定律为基础推导出来的一个极为重要和有用的定理，它是静电学中极有品位和令人赞叹的定理。
静电场的唯一性定理有许多种表述。
其中一种常见的表述是：若区域V 内给定电介质分布和自由电荷分布()r ρ ，在V 的边界面S 上给定电位S ϕ或者电位的法向空间变化率Sn ϕ∂∂，若区域内有导体存在，如果还给定各导体的电位或者各导体所带的自由电量，则V 内的静电场就唯一地确定了。
静电场的唯一性定理表明，一定的空间区域外界的电荷对该区域内静电场的影响，完全体现在该区域的边界面上。
只要一定的空间区域内的电介质的分布和自由电荷的分布给定了，同时该区域边界面上的电位或者电位沿边界面的法线方向的空间变化率的分布给定了，那么不论外界的电荷分布怎样改变，该区域内的静电场都是唯一确定的。
因此，静电场的唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度以及设计静电场指明了方向。
（镜像法就是建立在唯一性定理的基础之上的。
）更重要的是它具有十分重要的实用价值。
无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、边值关系和给定的边界条件，则该解就是唯一的正确解。
因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足泊松方程、边值关系和边界条件。
满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
如果有人精于设计和求解静电场，那么他已经是一个有名望的专家学者了，并且享有丰厚的报酬。
因此，虽然静电学是电磁场理论中相对比较简单的一门学问，请同学也不要小看它。
一个外行人，有谁会相信上述有名望的专家学者的工作基础就是高中生都明白的库仑定律呢？大理大学工程学院教授罗凌霄2020年3月20日。
工程电磁场第二章静电场(二)解读
第2章 静电场(二)2.1 静电场的唯一性定理及其应用静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。
静电场求解方法：(1) 直接由电场强度公式计算；(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。
E ⇒-∇=⇒-=∇ϕϕερϕE 2唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。
2.1.1 唯一性定理静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。
2.1.2 导体边界时，边界条件的分类(1) 自然边界条件：有限值参考点=∞→ϕr r lim(相当于指定电位参考点的值)(2) 边界衔接条件：σϕεϕεϕϕ=∂∂-∂∂=nn 221121(该条件主要用于求解区域内部)(3) 导体表面边界条件(a) 给定各导体表面的电位值。
(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。
该条件相当于给定了第二类边界条件。
在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。
S n ∂∂-=ϕεσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部)q dS r S=∂∂-⎰)(11ϕε (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。
相当于给定了第三类边界条件。
思考？为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。
条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。
2.1.3 静电场唯一性定理的意义唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据2.1.4 等位面法1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。
2 等位面法成立的理论解释：等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：(1)边界k 的等位性不变；(2)边界k 内的总电荷量不变。
唯一性定理
静电场的基本问题：
求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面 上满足边值关系，在所研究的整个区域边界上满足边 界条件的电势的解
2 i
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
V
j S
i
Sij evn
除此之外，要完全确定V内静电场的解，还必须给出 整个区域边界S上的一些条件。
1
到底需要给定哪些条件，才能求得静电场的解，并且 解是唯一的？
Ra
(2) 介质内无自由电荷分布； (3) R=a处导体球带总电量Qf 该定解问题有唯一解。
9
1. 给出边值关系和边界条件 设左、右介质的电势分别为 1 和 2
Ñ dS Qi
Si n
根据唯一性定理，只要能找到一个满足上面定解条件 的特解，那该解就一定是该问题的唯一解。
10
2. 提出尝试解
C与 0为待定系数，且 0与外球壳半径a’有关 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数
2 0 Qf 2 1 2 a2
相同
v
2
0Q f
1 2 a2
（, 右半球）
P1
v P2
15
所以，由于有束缚电荷的存在，在内导体球壳两半球 面上束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场 强度E是球对称的。
首先判断该问题是否满足唯一性定理。 1. 给出边值关系和边界条件 2. 提出尝试解 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数 4. 求电场和球壳上的电荷分布
Ñ i
Vi
i
2dV
v
Si i dS i
2 0
Vi i 2 dV
积分区域包括沿区域V的边界S上的面积分和沿各分区的分界面Sij的面积4分
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。
它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。
在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。
静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。
他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。
根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。
结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。
当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。
除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。
由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。
总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。
通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。
- 1 -。
静电场的唯一性定理_工程电磁场_[共5页]
![静电场的唯一性定理_工程电磁场_[共5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/c5edc5c8fc4ffe473268ab5b.png)
（2-8-12） （2-8-13）
讨论的是同一个体系，必有： ∇ ⋅ D ' = ∇ ⋅ D '' = ρ
则式（2-8-13）第一项为零，得 ∇ ⋅ Z (r) = −(E '− E '') ⋅ (D '− D '')
对上式两边积分
∫∫∫ ∇ ⋅ Z(r)dV = −∫∫∫ (E '− E '') ⋅ (D '− D '')dV
分布在有限区域的无界电场问题，在无限远处（ r → ∞ ）应有
lim[rϕ] = 有限值
r→∞
（2-8-9）
这表明 rϕ 在无限远处是有界的，即电位 ϕ 在无限远处取值为零 ϕ r→∞ = 0 。 当场域中存在多种介质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边
界条件。
2.8.3 静电场的唯一性定理
（2-8-10）
构造如下的函数：
Z (r) = (ϕ '− ϕ '')(D '− D '')
（2-8-11）
在给定边界所包围的体积内对上式进行体积分，并利用散度定理得
∫∫∫ ∇ ⋅ Z(r)dV= ∫∫∫ ∇ ⋅[(ϕ '− ϕ '')(D '− D '')]dV
V
V
利用矢量恒等式 ∇ ⋅ (ϕ A) = ∇ϕ ⋅ A + ϕ∇ ⋅ A ，则 ∇ ⋅ Z (r=) (ϕ '− ϕ '')(∇ ⋅ D '− ∇ ⋅ D '') +(∇ϕ '− ∇ϕ '') ⋅ (D '− D '')
关于静电场中唯一性定理的证明
关于静电场中唯一性定理的证明
静电场中唯一性定理：满足静电场的**Maxwell方程组的唯一解，取决于指定的边界条件而不受初始条件的约束。
为了证明该定理，我们首先考虑Maxwell方程组：
$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
可以看出，这套方程是由边界条件决定的，其解也是由边界条件决定的。
为证明唯一性定理，我们使用变分法从而得出以下**Euler-Lagrange方程组：
$\frac{\partial L}{\partial \vec{E}}-\frac{\partial}{\partial
\vec{x}}\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial\vec{E}}{\partial
x})}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial\frac{\partial
\vec{E}}{\partial t}}=0$
其中，$L$表示Lagrange函数，它是由Maxwell方程组构成的。
由此，我们可以得出雅可比方程：
这组方程有两个基本性质，一是称为“唯一性原理”，一是称为“不变性定理”。
不变性定理：对于给定的满足Maxwell方程组的特定边界条件，解不会随着时间变化而变化。
这两个定理说明，解是唯一的，而且不受初始条件的限制，而只受边界条件的约束。
因此，以上证明了静电场中唯一性定理。
26静电场边值问题唯一性定理
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件Dirichlet)
已知边界上的电位分布 |s f1(s)
2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann)
已知边界上电位的法向导数(对于导体，即电荷面密度
，或电力线)
n
S
f2 (s)
3）第三类边界条件（若宾条件 Robin)
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
(2)利用边界条件求得积分常数，得到电位的解
(3)再由 E 得到电场强度 E 的分布。
2.6.2 唯一性定理 1、唯一性定理
在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或 拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2. 唯一性定理的重要意义 • 可判断静电场问题的解的正确性： • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。
例2.6.3 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
图 2.6.7 平板电容器外加电源U0
思路：将边界条件代 入，看是否满足
A、
1
U0 d
x2
B、
2
U0 d
x U0
C、
3
U0 d
x U0
答案：（ C ）
作业： 2.12，2.15，2.17，2.19
导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。
解：根据场分布对称性，确定场域。
场的边值问题
2
2
x 2
2
y 2
0
（阴影区域， 1/4原区域）
( xb,0 yb及yb,0xb) U0
图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 x2 y2 a2 ,x0, y0
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是指：在相同的静电场中，对任意一点，总的电场强度和电场的方向唯一确定，其相应的力场强度和力场方向也唯一确定。
一、定理内容
1、静电场唯一性定理指出：在同一个静电场中，总的电场强度以及它的方向，是唯一确定的。
2、电场强度和方向唯一确定，则相应的力场方向及强度也唯一确定。
3、对于任何一点，在同一个静电场中，电场强度和力场强度（方向）都是唯一确定的，而不用管附近是否有其它电荷存在。
二、定理的严谨性
静电场唯一性定理可以从两个层面上来说明它的严谨性：
1、在相同静电场中，总电场强度和电场方向是唯一确定的，这样在相同的静电场中，不管电荷位置以及大小如何变化，都会得到相同的电场结果。
2、只要电荷总量不变，就可以确定电场强度，而不用考虑附近有没有
其它电荷的存在，所以，电场的强度和方向都是唯一确定的。
三、定理的应用
1、用来研究静电场：静电场唯一性定理是用来研究电场的重要定理，
可以用来评估复杂的电场结构，也可以用来求解各类电力学问题，如：电场及电动势分布，电容电感等问题。
2、在分析电场结构时有重要作用：静电场唯一性定理在分析电场结构
时有重要作用，它可以把电场潜力和电场强度根据电荷分布范围与数量，用一种抽象的模型来简化整个计算过程，以达到某种理想的数值
结果。
3、研究电场特性时也有用：静电场唯一性定理也用在研究电场特性时，由于电场强度和方向都是唯一确定的，所以，在研究电场物理学时，
可以从多种不同的角度出发，以简化分析，缩小计算空间，这样可以
得出更加准确的结果。
第二章第二节 唯一性定理
ϕi ' = ϕ j '
∂ϕ j ' ∂ϕ i ' εi =εj ∂n ∂n
ϕi ' ' = ϕ j ' '
∂ϕ j ' ' ∂ϕ i ' ' εi =εj ∂n ∂n
Vj
因此，在介质分界面上， 因此，在介质分界面上，ϕ也满足
Vi
ϕi = ϕ j
∂ϕ j ∂ϕ i εi =εj ∂n ∂n
——（2.5）
运用唯一性定理讨论几个问题
例一： 例一：有一个中性的导体球壳 A，在此球壳内放 置一带电体 M，其荷电为 Q。证明： 1) 球壳外的电场只与 Q有关， 与 M在球壳内的位置无关； 2) 球壳 A的外表面上的电荷为 均匀分布，与 M在球壳内的 位置无关。
S
M
证明： 证明： 所研究的区域为球壳外的区域， 其界面为 S∞ 和 S 。 边界 S∞ 上的电势为零； 而对于界面S，由于感应使得 S的内表面的电量为 -Q，则界面 S上的总电量为 +Q，这一结论不 论M在球壳内何处，只要在球壳 内即成立。
∫
Si
ϕ∇ϕ ⋅ dS = −ϕ i ∫ ∇ϕ ⋅ dS
Si
V V’
=0
而对于外边界面 S，根据（2.13） 外边界面 可知，
i
Si
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
S
n S
对于区域 V 的外表面 S
ϕ S = 0 或者 ∂ϕ ∂n S = 0 ——（2.13）
V
因此，对 V’ 的整个界面
V’
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
2 i Vi i
Vj
但是被积函数始终满足
Vi
静电场唯一性定理
王向斌 静电场唯一性定理的部分内容表述
若真空区域所有边界面的条件确定了,则该真空区域的静电场 就唯一确定了. 根据此定理,不论真空区域以外(含边界)的电荷分布如何变化, 只要边界条件维持不变,则真空区域电场维持不变. (但是区域 以外的电场可能会发生变化.) 换言之,不论真空区域以外的实 际点荷分布如何,我们可以在真空区域之外构造一种简单的电 荷分布,只要它能够满足给定的真空区域边界面条件,我们就可 以按这种人为构造的电荷分布计算真空区域内的电场. (但不能 用此法计算真空区域以外的电场.) 根据此定理,只要找到一个电势函数, 能满足区域真空条件和 边界条件的要求,则真空区域内的电场可由该函数算出. (真空区域以外的电场不可以.)
思考题: 上述封闭面S在引理和定理中,是否必需是导体面? 还是任何满足面上电势要求的数学面都可以? 思考题: 在哪里用到或者隐含用到了势函数满足区域真空条件?
应用
静电屏蔽,电像法, 其他计算问题 思考题: 电像法中,像电荷为什么必需在真空区域以外? 思考题: 课本的电像法例题中,利用了唯一性定理.究竟是怎样与 唯一性定理的边界条件一一对应的? 即,接地的无限大金属板以及 题中的点电荷应该理解成唯一性定理的哪一个边界面?
引理2: 引理1中,若封闭面S是带电量为0的等势面,结论依然成立.
唯一性定理的部分内容的证明
条件: 静电场情况; 封闭面S, 该面电势函数确定;S面内部最多有3类区域: 真空区域, 电势确定的的导体区域,和带电量确定的导体区域.
依据唯一性定理, 上述真空区域的电场唯一确定. 思路: 真空区域若有两个势函数,函数1和函数2都满足边界条件 和区域真空条件, 把这两个势函数之差看成第三个势函数,由于 每个势函数边界条件都一样, 第三个势函数的边界条件必然是 引理1中的边界条件,因而第三个势函数在真空区域是等势区域, 此即说明函数1和函数2在真空区域最多只相差一个常数,因此给 出相同的电场. 思考题: 为什么两个电势函数之差这样一个数学函数一定可以 看成一个电势函数?
电磁学8 静电场的唯一性定理
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足
势处处为0
证明（反证）
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 Uk (k 1,2) 有两种恒定的电势分布U I和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分
布
UI UII EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
电量与场 强、电势
第k个导体上的电量
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
静电场的唯一性定理
静电场若干关系
电场的若干关系
U 2 0
当 0
U 2 0
E U
（1）
Laplace equation
静电场若干关系
对静电场E
Ò
Eds
2Udv
如果
E F
则有
E F E • gradΒιβλιοθήκη 静电场若干关系 Green函数
当E为一数函数之梯度
E grad
由Gauss定理有
grad 2 •
静电场边界条件的唯一性定理
魏国华
0710261
南开大学物理学院
2008年6月
静电场边界条件的唯一性定理
所谓唯一性定理，就是在一个空间内，导体的 带电量或者电势给定以后，空间电场分布恒定、 唯一。边界条件可以是各导体电势，各导体电 量或部分导体电量与部分导体电势之混合，这 样根据高斯公式，泊松方程、拉普拉斯方程可 证明空间电场分布。
Ò grad • ds (2 • )dv
s
v
Ò grad • ds (2 • )dv
s
v
静电场边界条件定理1
因此
(2 2)dv
v
( grad grad) • ds s
静电场边界条件定理1
定理一： 有函数U满足（1）且满足空间边界面S上
所确定的U值，则该函数唯一。 证：若有U1，U2都 满足，则在S面上，
y
A
r a 1•
r
OO c
b
B•
x
一球接地，半径a,球外距球心b 处有电荷e，求球外电势之分布
唯一性定理之应用2
易知电势分布关于OB对称，如图，
只需求X-Y面,再将y 2变y 2 z 2即可
设C c,0 是(b, 0)的像点，其关系
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r
e e U ( p) d 4 0 S 4 0
北京大学物理学院王稼军编写
2005.2
: (r, n)夹角
P点的电场强度
cosdS d , / 2, cos 0, d 0 2 r S 正电荷一侧： cosdS d , / 2, cos 0, d 0 2 r S
说明场分布是唯一的
北京大学物理学院王稼军编写 2005.2
解释静电屏蔽
唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
极大
几个引理
极小
引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则
ΦE E dS 0, 但面内无电荷，矛盾
S
U指向P点, E U背离P点
若有极小，同样证明
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
引理二：若所有导体的电势 为0，则导体以外空间的电 势处处为0
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！ 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 理论证明在电动力学中给出，p59 给出普物 方式的论证 论证分三步：引理——叠加原理——证明
4
P ＋
立体角
P －
立体角
电偶极层两侧的电 势跃变： e e e U ( p ) U ( p ) ( ) 4 4 0 4 0 0
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
பைடு நூலகம்设对应同一组边值 U k (k 1,2) 有两种恒定的电势分布 U I 和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分 布
U I U II EI EII
说明场分布是唯一的
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
曲面S对场 电偶极层的电势和场强只与对场点 点P所张的 所张的立体角有关 立体角 几何上决定，电偶极层两侧立体角 有的跃变 e E U ( p) 负电荷一侧： 4
0
电偶极层两侧 的电势跃变
具体考察图中两点 当该两点趋于偶极 层表面时，相对应 的立体角之差：
电像法——解静电问题的一种特殊方法
在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布 基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
解： 任一P点的电势
q q' U ( x, y, z ) ( ) z0 4 0 r r ' 其 中r ' x 2 y 2 ( z a) 2；
1 4 0
r ' r l cos ,
: (r , n)夹 角
U ( p)
e dS'
r'
S'
( e )dS 1 1 1 e dS 4 0 S ' r 4 0 S r ' r 1
北京大学物理学院王稼军编写
2005.2
1 1 1 1 l cos 1 l cos r ' r l cos r (1 r ) r r
r x 2 y 2 ( z a) 2 1 1 1 U ( x, y, z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 x y ( z a) x y ( z a)
1
导体上电荷的面密度 e n D n 0U
相似
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求p点电势
1 Q Q' 1 UP 4 0 r r ' 4 0 Q RQ r ar'
其中r ' R 2 b 2 2 Rb cos ；r R 2 a 2 2 Ra cos
给定每个导体上总电量的情形
第k个导体上的电量
电量与场 强、电势 的关系
设对 应同 一组 边值 有两 种恒 定电 势分 布
U Qk e dS 0 En dS 0 dS n Sk Sk Sk
与电势参 考点有关， 不影响电 势梯度
U 0 dS 0 U U I U II 常量 EI EII n Sk
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
引理二
( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
q a U e 0 3 2 2 2 z 2 z 0 (x y a ) 2
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
l
2
真空中有一半径为R的接地导体球，距球心 为a(a>R)处有一点电荷Q,求空间各点电势
寻找像电荷
对称性分析，确定像 电荷位置 使球面上电势＝0 任取 P点，利用叠加 原理求出像电荷位置
证明（反证）
即意味着空间 电势有极大值， 违背引理一
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体
的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
讨论：由Gaoss定理收敛于球面上的电通量为－Q’， Q’=球面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场吸引从 接地处传至导体球上，|Q’|<Q,Q发出的电力线只有一部 分收敛于导体球，剩下的伸展至无穷
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
电偶极层
设想一厚度均匀的曲 面薄壳，两面带有符 号相反的面电荷 e ——电偶极层，如图， 求P点的电势和场强
R 2 b 2 2 Rb cos Q R 2 a 2 2 Ra cos Q'
对所有都成立，
Q Q' r ' Q' 0 r ' Q rQ' r r' r Q
R2 b R 有b Q' Q Q 取－？ 即要求与无关，要求 2 2 a a a cos 的系数 bQ aQ ' 三角形
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：
1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k （或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足 4：给定每个导体的电势为0
1 l cos 1 1 l cos 代入U ( p) 2 2 r r r' r r 面元dS在垂直 于矢径r方向 el cosdS 1 的投影 U ( p) 2 cos dS 4 0 r d S 2
定义电偶极层强度：——单位面积上的 电偶极矩 e e l