八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷（培优篇）（Word版含解

析）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】

【分析】

（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；

（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．

【详解】

（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.

∵MD=ME，

∴∠MAD=∠MAE，

∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，

即∠BAM=∠CAM.

在△ABM和△ACM中，

AB=AC，

∠BAM=∠CAM，

AM=AM，

∴△ABM≌△ACM（SAS），

∴MB=MC.

（2）MB=MC．

理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.

∵CE∥BD，

∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.

∵M是ED的中点，

∴MD=ME.

在△MCE和△MFD中，

∠MCE=∠MFD，

∠MEC=∠MDF，

MD=ME，

∴△MCE≌△MFD（AAS）.

∴MF=MC.

∴在△MFB和△MCG中，

MF=MC，

∠FMB=∠CMG，

BM=MG，

∴△MFB≌△MCG（SAS）.

∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，

∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.

∴∠GCB=90°.

在△FBC和△GCB中，

FB=GC，

∠FBC=∠GCB，

∴△FBC≌△GCB（SAS）.∴FC=GB.

∴MB=1

2GB=

1

2

FC=MC.

（3）MB=MC还成立．

如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.

∵CE∥BD，

∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.

又∵M是DE的中点，

∴MD=ME.

在△MDB和△MEF中，

∠MDB=∠MEF，

∠MBD=∠MFE，

MD=ME，

∴△MDB≌△MEF（AAS），

∴MB=MF.

∵CE∥BD，

∴∠FCM=∠BGM.

在△FCM和△BGM中，

CM=MG，

∠CMF=∠GMB，

MF=MB，

∴△FCM≌△BGM（SAS）.

∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.

∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.

在△CFB和△BGC中，

CF=BG，

∠FCB=∠GBC，

CB=BC，

∴△CFB≌△BGC（SAS）.

∴BF=CG.

∴MC=1

2CG=

1

2

BF=MB．

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．

2．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：

（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．

（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°

【解析】

【分析】

（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；

（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；

（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.

解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，

∴∠ABD=∠BAD，

∴△ABD为等腰三角形，

∴∠BDC=72°=∠C，

∴△BCD为等腰三角形；

（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：

（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：

①当分割的直线过顶点B时，

【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；

【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；

【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况

△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，

∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；

△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，

∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；

△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°

∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；

②当分割三角形的直线过点D 时情况和过点B 一样的； ③当分割三角形的直线过点A 时，

此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°， 最大角的值为132°；

综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°. 【点睛】

本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.

3．已知：AD 是ABC ?的高，且BD CD =. （1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；

（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ?沿BE 折叠得到'A BE ?，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点

G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.

图1. 图2. 图3.

【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF . 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；

（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ?是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1

'2

ABE A BE ABF ∠=∠=

∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；

（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点

N ，可证得

Rt BEM Rt CEN ???，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长. 【详解】

解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD = AB AC ∴=

BAD CAD ∴∠=∠；

图1

（2）解：在图2中，连接CE

ED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴?是等边三角形

60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=

由折叠性质可知1

'2

ABE A BE ABF ∠=∠=

∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠

BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=?=

图2

（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N

'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==

AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=

在Rt EFM ?中，

906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=

令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=- 同理1

2

FN EF m =

=，2124CF FG m ==- 在Rt BEM ?和Rt CEN ?中，EM EN =，BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴???

BM CN ∴=

BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+ 解得1m = 8CF ∴=

图3

故答案为（1）见解析，（2）BFC ∠= 60（3）8CF =. 【点睛】

本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.

4．如图，在ABC ?中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ??∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度 （2）若2ACB B ∠=∠， ①求证：2AB CF =

②若

,CF a EF b ==，直接写出BD

CD

= （用含

,a b 的式子表示）

【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b

a b

- 【解析】 【分析】

（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；

（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则

,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，

由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；

②证明AHF DCF ?，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由

//AH BC 得出

AH AE a b

BC BE a b

-==+，进而得出结论．

【详解】

解：（1）∵9628

BAC B

??

∠=∠=

，，

∴180962856

ACB

∠=?-?-?=?，

∵CE为三角形的角平分线，

∴

1

28

2

ACE ACB

∠=∠=?，

∵AD CE

⊥，

∴902862

CAF

∠=?-?=?，

∴966234

BAD

∠=?-?=?．

故答案为：34；

（2）①证明：∵22

ACB B BCE

∠=∠=∠

∴B BCE

∠=∠

∴BE CE

=

过点A作//

AH BC交CE与点H，如图所示：

则,

H BCE ACE EAH B

∠=∠=∠∠=∠

∴AH=AC，H EAH

∠=∠

∴AE=HE

∵AD CE

⊥

∴HF=CF

∴AB=HC=2CF；

②在AHF

△和DCF中，

H DCF

HF CF

AFH DFC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴AHF DCF

?

∴AH=DC

∵,

CF a EF b

==

∴HF CF a

==，由①得AE HE HF EF a b

==-=-，BE CE a b

==+∵//

AH BC

∴AH AE a b

BC BE a b -==+ ∴CD a b

BC a b

-=+ ∴

2BD b

CD a b

=-． 故答案为：2b

a b

-． 【点睛】

本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．

5．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，ABC ?是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线

BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ?的一条特异线，则BDC ∠= 度．

（2）如图2，ABC ?中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ?的一条特异线；

（3）如图3，若ABC ?是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．

【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B 度数为：135°、112.5°或140°. 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A ，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；

（2）通过证明△ABE 与△AEC 为等腰三角形求解即可；

（3）根据题意分当BD 为特异线、AD 为特异线以及CD 为特异线三种情况分类讨论即可. 【详解】 （1）∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ， ∵BD 平分∠ABC ，

∴∠ABD=∠CBD=1

2

∠ABC，

∵BD是△ABC的一条特异线，

∴△ABD与△BCD为等腰三角形，

∴AD=BD=BC，

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，

设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，

即：x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠BDC=72°，

故答案为：72；

（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴△EAC为等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，

∴△EAB为等腰三角形，

∴AE是△ABC的一条特异线；

（3）

如图3，当BD是特异线时，

如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；

如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；

如果AD=DB ，DC=DB ，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；

如图4，当AD 是特异线时，AB=BD ，AD=DC ， 则：∠ABC=180°?20°?20°=140°； 当CD 为特异线时，不符合题意；

综上所述，∠B 度数为：135°、112.5°或140°. 【点睛】

本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

6．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设(090BAC θθ∠=?<

活动一、如图甲所示，从点1A 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（12A A 为第1根小棒） 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”） （2）设11223AA A A A A ==，求θ的度数；

活动二：如图乙所示，从点1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A 为第一根小棒，且121A A AA =． 数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒，则213A A A ∠= ，423

A A A ∠= ，43 A A C ∠= ；（用含θ的式子表示）

（4）若只能摆放5根小棒，则θ的取值范围是 ．

【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°． 【解析】 【分析】

（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；

（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案；

（3）由121A A AA =，得∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，从而得213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，同理得

423 A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ，43 A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ；

（4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案． 【详解】

（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可， ∴小棒能无限摆下去， 故答案是：能；

（2）∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3， ∴∠A 2A 1A 3＝45°， ∴∠AA 2A 1+θ＝45°， ∵AA 1＝A 1A 2

∴∠AA 2A 1＝∠BAC=θ， ∴θ＝22.5°； （3）∵121A A AA =， ∴∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，

∴213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ， ∵3122A A A A =，

∴213A A A ∠=231A A A ∠=2θ，

∴423

A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ， ∵3342A A A A =，

∴423

A A A ∠=243 A A A ∠=3θ， ∴43

A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ， 故答案是：2θ，3θ，4θ；

（4）由第（3）题可得：645

A A A ∠=5θ，65 A A C ∠=6θ， ∵只能摆放5根小棒， ∴5θ＜90°且6θ≥90°， ∴15°≤θ＜18°． 故答案是：15°≤θ＜18°．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解题的关键．

7．已知如图1，在ABC ?中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是

AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G . （1）求证：AE CG =.

（2）如图2，直线AH 垂直于直线CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M ，求证：

BE CM =.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）首先根据点D 是AB 中点，∠ACB =90°，可得出∠ACD =∠BCD =45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE =CG ；

（2）根据垂直的定义得出∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，再根据AC =BC ，∠ACM =∠CBE =45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE =CM ． 【详解】

（1）∵点D 是AB 中点，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =45°，∴∠CAD =∠CBD =45°，∴∠CAE =∠BCG ． 又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90°． 又∵∠ACE +∠BCF =90°，∴∠ACE =∠CBG ．

在△AEC和△CGB中，∵

CAE BCG

AC BC

ACE CBG

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；

（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC．

在△BCE和△CAM中，

BEC CMA

ACM CBE

BC AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

8．如图，已知ABC

?()

AB AC BC

<<，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边BC上找一点M，使得：将ABC

?沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点C能重合，请在图①中作出点M；

（2）在边BC上找一点N，使得：将ABC

?沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边AC上的点D处，且ND AC

⊥，请在图②中作出点N.

【答案】（1）见详解；（2）见详解．

【解析】

【分析】

（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即可；

（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即可．

【详解】

（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：

（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：

【点睛】

本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．

9．如图所示，已知ABC ?中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动. （1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？ （2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ?？

（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ?，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？

【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动

10

3

秒后，可得到等边三角形AMN ?；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ?，此时M 、N 运动的时间为40

3

秒． 【解析】 【分析】

（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ?+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ?，如图①，

1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图

②，假设AMN ?是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ?是等边三角形，再证

ACM ?≌ABN ?（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、

N 运动的时间y 秒时，AMN ?是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；

【详解】

解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,

1102x x ?+=

解得：10x =

（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ?，如图①

1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-

∵三角形AMN ?是等边三角形 ∴102t t =- 解得103

t =

∴点M 、N 运动

10

3

秒后，可得到等边三角形AMN ?. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形， 由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处， 如图②，假设AMN ?是等腰三角形， ∴AN AM =， ∴AMN ANM ∠=∠， ∴AMC ANB ∠=∠， ∵AB BC AC ==， ∴ACB ?是等边三角形， ∴C B ∠=∠， 在ACM ?和ABN ?中，

∵AC AB C B AMC ANB =??

∠=∠??∠=∠?

， ∴ACM ?≌ABN ?（AAS ）， ∴CM BN =，

设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ?是等腰三角形， ∴10CM y =-，302NB y =-，CM NB =，

10302y y -=-

解得：40

3

y =

，故假设成立. ∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ?，此时M 、N

运动的时间为

40

3

秒．

【点睛】

考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.

10．（阅读理解）

截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.

解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝B D ．连接AE ，根据∠BAC ＋∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE ,易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.

根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是___________ （拓展延伸）

（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝A C ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由; （知识应用）

（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm ，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ 的长为________cm.

【答案】（1）DA DB DC =+；（22DA DB DC =+，理由见详解；（3）