九年级数学：用逼近法求一元二次方程的近似解
九年级数学：用逼近法求一元二次方程的近似解知|识|目|标
通过观察二次函数图像与x轴的交点坐标,能估算一元二次方程的近似根．
目标会用逼近法判断一元二次方程的近似根
例 1 教材练习针对训练小明在学习了利用图像法求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2＋2x－10的图像,由图像可知,方程x2＋2x－10＝0有两个根,一个在－5和－4之间,另一个在2和3之间．利用计算器进行探索,得到下表,则方程的一个近似根是( )
x －4.1－4.2－4.3－4.4
y －1.39－0.76－0.110.56
A．x≈－4.1 B．x≈－4.2
C．x≈－4.3 D．x≈－4.4
例 2 教材补充例题利用二次函数的图像求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(结果精确到0.1)．
知识点用逼近法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解
[点拨] 由函数图像我们发现一元二次方程的根两边的自变量对应的函数值的符号恰好相反,由此得到函数值相反的两个自变量之间一定含有一元二次方程的根．
用图像法解一元二次方程体现了数形结合的思想方法．我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的联系,一方面,我们可以利用二次函数的图像求一元二次方程的根；另一方面,也可以借助求一元二次方程的根来判断图像的位置,使所画的抛物线比较准确．那么如何运用二次函数的图像求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根呢？
详解详析
【目标突破】
例1[解析] C在x由－4.1向－4.3变化的过程中y值一直在增大,并越来越接近0,当x＝－4.4时,y值大于0,则方程的一个根在－4.3和－4.4之间．因为x＝－4.3时的y值比x＝－4.4时的y值更接近0,所以方程的一个近似根为x ≈－4.3.故选C.
例2[解析] 对于y＝－x2＋2x－3,当函数值为－8时,对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根,故可通过作出函数图像来求方程的实数根．
解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图像,如图所示．
由图像可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y ＝－8的交点的横坐标,左边的交点的横坐标在－2与－1之间,右边的交点的横坐标在3与4之间．
(1)先求出－1与－2之间的根,利用计算器进行探索：
因此x≈－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个实数根．
(2)另一个根可以类似地求出：
因此x≈3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个实数根．
故一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x
1≈－1.4,x
2
≈3.4.
【总结反思】
知识点中点
[小结]
[反思] 有以下几种方法：方法一：直接作二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像,则图像与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
方法二：先将一元二次方程变形为ax2＋bx＝－c,再分别作抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝－c,则直线y＝－c与抛物线y＝ax2＋bx的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
方法三：先将方程变形为ax2＝－bx－c,再分别作抛物线y＝ax2和直线y＝－bx －c,则两图像交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
第2课时一元二次方程的根及近似解
第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义. 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题. 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为x2+82=102. 整理，得x2-36=0. 列表： 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.
根据题意，得x（x+2）=120. 整理，得x2+2x-120=0. 列表： 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围. 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ （1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评： 的解. （2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知，深化理解 1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可. 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根. 2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式
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二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解 自学评价 1 ?二次函数的零点的概念 一元二次方程a* + /zx + c = O (a H O)的根也称为二次函数y = ax2 + bx + c ( a HO)的零点. 2.二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系 (1) 一元二次方程ax2+bx^-c = O (aHO)有两个不相等的实数根禹，勺。判别式△ >0 O 对应的二次函数y = ax1 -\rbx^-c (aHO)的图象与兀轴有两个交点为(x p0), (兀2,0)O对应的二次函数y = ax2 +bx + c (aHO)有两个不同的零点西，x2； (2)一元二次方程ax2+bx-hc = 0 (Q HO)有两个相等的实数根x, = x2<=>判别式 A = 0 o对应的二次函数y = ax2 +bx + c ( a ^0)的图象与兀轴有唯一的交点为(西，0) O对应的二次函数y = ax2+bx + c (a H0)有两个相同零点x} = x2: (3)—元二次方程祇？+加+ c = 0 (G HO)没有实数根O判别式AvOo对应的二次 函数y = ax2 + + c ( a HO)的图象与x轴没有交点 <=>对应的二次函数y = ax2 +加+ c (a H0)没有零点. 3.推广 ⑴函数的零点的概念 一般地，对于函数y = f(x) (xeD),我们把使/(x) = 0的实数兀叫做函数y = f(x) (XG ￡))的零点. ⑵函数的零点与对应方程的关系 方程/(x) = 0有实数根。函数y =于(兀)的图象与x轴有交点 o函数y =广(兀)有零点. 【精典范例】 例1：求证：一元二次方程2X2+3X-7= 0有两个不相等的实数根. 例2：右图是一个二次函数y = f(x)的图象. (1)写出这个二次函数的零点； (2)写出这个二次函数的解析式； (3)试比较/(-4)/(-1), /(0)/(2)与0的大小关系. 例3：当关于兀的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： (1)方程兀彳―祇+ /一7 = 0的两个根一个大于2,另一个小于2； (2)方程cvc2+3x + 4a = 0的两根都小于1； 1 若方程2or2-x-l=0在(0,1)内恰有 一解，则d的取值范围是( ) A. a <-l B. a > 1 C. D. 0 < 6Z < 1
二次函数求一元二次方程的近似解
用二次函数求一元二次方程的近似解 在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，令y=0，则为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，即抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点的横坐标，就是 相应一元二次方程的实数根．那么怎么用二次函数来估计一元二次方程的解呢？我们先看一个简单的例子 例1．利用二次函数图象求一元二次方程2 530x x -+=的近似解 分析：如图1，首先画出二次函数253y x x =-+的图象，由图象可知方程有两个根一个在0和1之间，一个在4和5之间，下面具体探究一下： 点评：通过例1的整个探究过程什么发现：用二次函数的图象估计一元二次方程： 20ax bx c ++=的根，主要步骤为： （1）准确画出)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象，其中要先确定抛物线的顶点，再在顶点两侧取相对称的点（至少描五点来连线； （2）确定抛物线与x 轴的交点在一哪两个数之间； （3）列表格，在第（2）步中确定的两个数之间取值，进行估计，通常只精确到十分位即可 下面，我们在来研究比较复杂一点的问题 例2．利用二次函数图象求一元二次方程2 238x x -+-=-的近似解 分析：由于2 23y x x =-+-的函数值为-8时，对应点的横坐标即为一元二次方程 2238x x -+-=-的近似解，故可通过作出函数图象来估计方程的近似解 解：在平面直角坐标系内作出函数2 23y x x =-+-的图象，如图2，又图象可知方程 2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点，左边的交点横 坐标在-1与-2之间，另一个交点横坐标在3与4之间 图1
利用函数的图象求一元二次方程近似根
21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时） 实验中学-余志高 一、教材分析： 《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。 二、教学目标 【知识与技能】 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的 情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解 集 .经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验． 【过程与方法】 经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系. 利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想． 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点 【重点】 用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【教学方法】 学生合作交流学习法 三、教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就
图像法解一元二次方程
图像法解一元二次方程浅析 教学目标 （1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标； （2）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 （3） 总结出二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 重点和难点: 重点：（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标； （2）总结出二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个 数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 难点： 一元二次方程的图象解法 一、预习交流： 画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．
小结：二次函数与一元二次方程有密切的联系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即是对应的一元二次方程的两根,根的判别式决定着二次函数与x轴交点的个数和一元二次方程根的情况。
二．例题欣赏： 分析：先画图像，再观察图像，找出图像与x轴的公共点，最后再求出方程的根的近似值。
三、课堂小结：二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系： 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程 ax2+bx+c= 0根的判别式 Δ=b2-4ac 四、当堂达标： 1 .如果关于x的一元二次方程x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点. 2.已知抛物线y=x2 –8x + c的顶点在x轴上，则c =＿＿.
3.抛物线y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点. 5，那么二次4.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= 3 函数y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿. 五、课外作业： 1、必做题：习题 A组1——3. 2、选做题：习题 B组.
北师大版初三数学上册一元二次方程的近似解
第2课时一元二次方程的解 ?预习导学 Mi iM Mi iM tM. Mi iM 1使一元二次方程左右两边_______________ 的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 2. 对于一元二次方程ax2+ bx+ c= 0（a丰0来说，求近似解的过程就是找到这样的x,使ax2+ bx+ c的值接近____ ，则可大致确定x的取值范围. 电IX内精练 知识点一：一元二次方程的解 1. 下列各数中是X2—3X + 2= 0的解的是（） A . —1 B . 1 C.—2 D . 0 2. 已知m是方程x2—x—1 = 0的一个根，则代数式m2—m的值是（） A . —1 B . 0 C. 1 D. 2 3. ______________________________________________________________ 已知关于x的一元二次方程2x2—mx—6 = 0的一个根是2，贝V m= ___________________________________ . 4. ______________________________________________________________ 写出一个根为x=—1的一元二次方程，它可以是________________________________________________________ . 5. ________________________________________________________________ 若x= 1是关于x的一元二次方程x2+ 3mx+ n = 0的解，贝V 6m+ 2n= ________________________________ . 6. 关于x的一元二次方程（a —2）x2+ x+ a2—4= 0的一个根为0,贝V a = ___ . 7. 小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2—■<— 5 = 0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中， 她知道方程的解是x= 5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少. 知识点二：估算一元二次方程的近似解 &已知x2—101 = 0,那么它的正数解的整数部分是（） A . 8 B . 9 C . 10 D . 11
一元二次方程的近似解
第2课时一元二次方程的解 1．使一元二次方程左右两边___________的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，求近似解的过程就是找到这样的x，使ax2＋bx＋c的值接近____，则可大致确定x的取值范围． 知识点一：一元二次方程的解 1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是() A．－1B．1C．－2D．0 2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是() A．－1 B．0 C．1 D．2 3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝____． 4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是__________________． 5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则6m＋2n＝____． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝____． 7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少． 知识点二：估算一元二次方程的近似解 8．已知x2－101＝0，那么它的正数解的整数部分是() A．8 B．9 C．10 D．11 9．方程x2－2x－2＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是() A．－2 用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 课标要求 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 中招考点 用二次函数图象求一元二次方程的近似解． 例1 阅读材料回答问题： 有如下一道题：画图求方程22 +-=x x 的解.两位同学的解法如下： 甲：将方程22+-=x x 化为022=-+x x ，画出22-+=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解． 乙：分别画出函数2x y =和2+-=x y 的图象，观察它们的交点， 把交点的横坐标作为方程的解． 你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流． 归纳反思 上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2x y =的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解．所以建议同学们以后尽量用乙的方法. 例2利用函数的图象，求下列方程的解： （1）0322=-+x x ； （2）02522 =+-x x ． 解：（1）先把方程化成x 2=-2x+3. 如图：在同一直角坐标系中分别画出 函数2x y =和32+-=x y 的图象， 得到它们的交点（-3，9）和（1，1）， 则方程0322=-+x x 的解为x=–3或x=1． （2）先把方程02522=+-x x 化为 012 52=+-x x ，然后在同一直角 坐标系中画出函数2 x y =和12 5-=x y 的图象，如图，得到它们的交点（21，4 1）和（2，4）， 则方程02522=+-x x 的解为 21，2． 归纳反思 一般地，求一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的近似解时，通常先把方程化成a c x a b x --=2的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x 2和a c x a b y --=两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解． 例3 利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)213,22.y x y x ?=-+???=? （2）236,2.y x y x x =+??=+? 分析：（1）可以通过直接画出函数2 321+-=x y 和2x y =的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同 样解决． 解：（1）在同一直角坐标系中画出函数2 x y =和2321+-=x y 的图象，如图.得到它们的交点（23-，4 9）和（1，1）， 则方程组?? ???=+-=22321x y x y 的解为: 12213,1,29 1. .4 x x y y ?=-?=????=??=?? （2）在同一直角坐标系中画出函数x x y 22 +=和63+=x y 的图象，如图.得到它们的交点（-2，0）.（3，15）， 则方程组???+=+=x x y x y 26 32的解为???==???=-=15 3,022211y x y x ． 作品编号：51897654258769315745896 学校：五朱角市鸟砟镇四灵小学* 教师：猴挪黑* 班级：占卜参班* 第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义. 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题. 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为x2+82=102. 整理，得x2-36=0. 列表： 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m. 根据题意，得x（x+2）=120. 整理，得x2+2x-120=0. 列表： 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围. 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评： （1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解. （2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 编号：54158543442893744576892562 学校：观音市阳沅镇普贤学校* 教师：黑白双雄* 班级：白云伍班* 第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义. 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题. 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为x2+82=102. 整理，得x2-36=0. 列表： 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m. 根据题意，得x（x+2）=120. 整理，得x2+2x-120=0. 列表： 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围. 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ （1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评： 的解. （2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知，深化理解 1．有一个算式分子都是整数，满足≈1.16，那么你能算出他们的 分子依次是哪些数吗？ 在我们的教科书中选取了一些具体值并将它们代入要解的一元二次方程中，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，进而逐步估计出一元二次方程的近似解．下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法，以方程x2﹣3x﹣1=0为例，因为x≠0， 所以先将其变形为x=3+，用3+代替x，得x=3+=3+．反复若干次用3+代替x，就得到x=形如上式右边的式子称为连分数． 可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的对整个式子的值的影响将越来越小，因此可以根据需要，在适当时候把忽略不计，例如，当忽略x=3+中的时，就得到x=3；当忽略x=3+中的时，就得到x=3+；如此等等，于是可以得到一系列分数； 3，3+，3+，3+，…，即3，=3.333…，≈3.3.=3.303 03…，…． 可以发现它们越来越趋于稳定，事实上，这些数越来越近似于方程x2﹣3x﹣1=0的正根，而且它的算法也很简单，就是以3为第一个近似值，然后不断地求倒数，再加3而已，在计算机技术极为发达的今天，只要编一个极为简单的程序，计算机就能很快帮你算出它的多个近似值． 考点：估算一元二次方程的近似解。 专题：阅读型。 分析：首先确定式子的取值范围，再将不等式去分母，得出 121.275＜35?（）+21?（）+15?（）＜122.22，利用除法运算的性质得出符合要求的值． 解答：解：由题意可知1.155＜＜1.164． ∴121.275＜35?（）+21?（）+15?（）＜122.22． 由于（）的数都是整数， ∴35?（）+21?（）+15?（）=122，而122被3除余2，122被5除余2，122被7除余3， 故三个括号内由左到右依次填：1、2、3，即=1.16． 九年级数学：用逼近法求一元二次方程的近似解知|识|目|标 通过观察二次函数图像与x轴的交点坐标,能估算一元二次方程的近似根． 目标会用逼近法判断一元二次方程的近似根 例 1 教材练习针对训练小明在学习了利用图像法求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2＋2x－10的图像,由图像可知,方程x2＋2x－10＝0有两个根,一个在－5和－4之间,另一个在2和3之间．利用计算器进行探索,得到下表,则方程的一个近似根是( ) x －4.1－4.2－4.3－4.4 y －1.39－0.76－0.110.56 A．x≈－4.1 B．x≈－4.2 C．x≈－4.3 D．x≈－4.4 例 2 教材补充例题利用二次函数的图像求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(结果精确到0.1)． 知识点用逼近法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解 [点拨] 由函数图像我们发现一元二次方程的根两边的自变量对应的函数值的符号恰好相反,由此得到函数值相反的两个自变量之间一定含有一元二次方程的根． 用图像法解一元二次方程体现了数形结合的思想方法．我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的联系,一方面,我们可以利用二次函数的图像求一元二次方程的根；另一方面,也可以借助求一元二次方程的根来判断图像的位置,使所画的抛物线比较准确．那么如何运用二次函数的图像求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根呢？ 详解详析 【目标突破】 例1[解析] C在x由－4.1向－4.3变化的过程中y值一直在增大,并越来越接近0,当x＝－4.4时,y值大于0,则方程的一个根在－4.3和－4.4之间．因为x＝－4.3时的y值比x＝－4.4时的y值更接近0,所以方程的一个近似根为x ≈－4.3.故选C. 例2[解析] 对于y＝－x2＋2x－3,当函数值为－8时,对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根,故可通过作出函数图像来求方程的实数根． 解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图像,如图所示． 由图像可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y ＝－8的交点的横坐标,左边的交点的横坐标在－2与－1之间,右边的交点的横坐标在3与4之间． (1)先求出－1与－2之间的根,利用计算器进行探索： 因此x≈－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个实数根． (2)另一个根可以类似地求出： 因此x≈3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个实数根． 故一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x 1≈－1.4,x 2 ≈3.4. 【总结反思】用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
九年级数学上册第2课时 一元二次方程的根及近似解
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知识点126 一元二次方程的近似解 解答题
九年级数学：用逼近法求一元二次方程的近似解