高数大作业

xe x ( B 0 B1 x )；
C.
x 2 e x ( B 0 B1 x )； D.
x
Be x；
9． 微分方程 y y y xe cos x 的特解形式应设为(
D
)
A. e x ( B0 B1 x ) cos x；
B . e x ( B0 B1 x ) sin x；
1 2 2
二阶常系数非齐次微分方程求特解的一般步骤: (待定系数法)
(1) f ( x ) e x Pm ( x ),
0 不 是 根 k 1 是 单 根 2 是 重 根
特解可设为：y x k e xQm ( x );
( 2) f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ],
2
x 用常数变易法求非齐次方程 y 2 xy e cos x 的通解。
2
解：令 y C ( x )e
x2
, 则 y C ( x )e
x2
2 xC ( x )e
x2
代入非齐次方程，整理得 C ( x ) cos x 两边积分， 得 C ( x ) sin x C 于是原方程的通解为
解得
所以非齐次的通解为
三、计算题
3. 求 y ( y ) y 的通解。
3
dp dp dp y p , 代入原方程得 p p 3 p 解： 令y p( y ), 则y dy dy dy
整理得
1 dp dy ， 2 1 p
积分得
p
dy tan( y C 11 ) dx
2 6a 2 整理 y y 2 x x
2 dx x
解得
2
( x, y)
6a 2 x dx ye [C 2 e dx] x 2a 2 2 x [C 3 ] x
由
a 2 y (1)
得
2
a 2 C 2a 2
xy a 2 ( 2 x 3 )
所以
D. e x [( B0 B1 x ) cos x (C 0 C 1 x ) cos x ]；
C. Axe x cos x；
一、选择题
10． y 2 y x 的特解形式应为(
2
D
)
A.
C.
xAx 2；
B.
Ax 2；
x ( B 0 B1 x B 2 x 2 )；
5． 已知 e
ky
u u e x 0
cos y e x (C x ) 0
dx (1 xe m y )dy 0 为全微分方程，则参数 k, m 应满足条件
k m1
三、计算题
x 1． 已知一阶线性齐次微分方程 y 2 xy 0 的通解为 y Ce ，
故设非齐次的特解形式为
y wk.baidu.comA cos 2 x B sin 2 x
得
( B 3 A) cos 2 x ( A 3 B ) sin 2 x 4 sin 2 x 2 6 A ,B 5 5
y C 1 e x C 2 e 2 x 2 cos 2 x 6 sin 2 x 5 5
0
一、选择题
2 5. 解微分方程 y yy 0 时,令 y p 原微分方程化成的方程为（
2 由于 y p ,故 p yp 0
B）
A.
C.
B.
由于 y pp , 故p yp 0 ; 以上答案都不对;
y p 积分得 y 1 p 2 , 故 p 1 p 3 0 ;D . 由 2 2
y y x
( x, y)
Y y y ( X x ) ，
y 轴上截距为 y y x 所以由题意得
y xy y x 3a 2且 a 2
2
y ( 1 ),
四、应用题
求一曲线，使其任意点的切线与二坐标轴和过切点且平行于纵轴的直线所
2 2 围成的梯形面积等于常数 3a ,且过点 (1, a ) （如图） 。
6． 下面关于齐次与非齐次线性方程解的说法不正确的是（
B）
i
A.
若 y i ( x ) ( i 1,2, , k ) 是齐次的解,则
C C y ( x ) 仍是齐次的解(
i 1 i i
k
是常数);
B. C.
若 y i ( x ) ( i 1,2, , k ) 是非齐次的解,则
C
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根;
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
y py qy 0
特征根的情况
r 2 pr q 0
通解的表达式
r2 实根r1 r2
实根r1 复根r1, 2
i
y C 1e r x C 2 e r x y ( C 1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1
1

3 x(e ) , 2

1 1 2 C 1 x (1 ln y ) 。 ln y 2
三、计算题
5.通过适当的变换求方程 ( x y y 1)dx xdy 0 的通解
2 2
解: 令 u xy ,则 u y xy 代入化简得 u 1 u ,变量可分离,解之得
2
u tan( x C ), 所以原方程的通解
xy tan( x C )
四、应用题
求一曲线，使其任意点的切线与二坐标轴和过切点且平行于纵轴的直线所
2 2 围成的梯形面积等于常数 3a ,且过点 (1, a ) （如图） 。
Y y y ( X x )
解：设曲线为 y y( x ) ， 在 ( x , y ) 点的切线为
y e (sin x C ).
x2
三、计算题
2. 求 y y 2 y 8 sin 2 x 的通解。
解： 对应于齐次的特征方程为 所以齐次的通解为
r 2 r 2 0 ， r1 1, r2 2
y C 1 e x C 2 e 2 x 由于0 2i 不是特征根，
i 1
k
i
y i ( x ) 仍是非齐次的解( C i 是常数);
若 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是非齐次的两个解,则 y1 ( x ) y 2 ( x ) 是齐次的解; 非齐次的通解等于齐次的通解加上非齐次的一个特解;
D.
一、选择题
7． 微分方程 y y shx 的特解形式应设为(
一、选择题
3．设 f ( x ) 二阶导数连续且满足微分方程 y y e ， x 是 y f ( x ) 的一个极值点,
x2
0
则 f ( x) （
A. C.
A）
0
在 x 的某邻域内是凹函数; 在 x 的某邻域内单增;
0
B. D.
在 x 的某邻域内是凸函数;
0
在 x 的某邻域内单减;
三，3
改变积分 1 dx2 x
2
2 x x2
f ( x, y )dy 的次序.
解 积分区域如图
由y 2 x x 2 得y 2 2 x x 2 x 2x 1 1 y
f ( x) xf ( x) 2 f ( x)

2x
0
1 t f ( )dt ，则 f ( x ) x 2
y cx
xy y
2． 以 y e 2 x ( 3 cos x 4 sin x ) 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
e cos x; e sin x是解 2 i是特征根
x (ln x ln y )dy ydx 0
B0 B1 x B 2 x 2； D . dy e dx y
y2 3 x
11．已知一阶微分方程①
0
②
③
y ln ydx ( x ln y )dy 0
dy x y1 ④ ，则下列说法中正确的是（ dx x y 2 3
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点、偏导数不存在 点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小 值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者 即为最小值. 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P ) 为极小(大) 值
3.
f (P ) 为最小(大) 值
z 4 x2 y2
2x
2x 3． 已知 y y 2 xe 且 y(0) 1, 则 y
y 4 y 5 y 0
2
y 3e 2( x 1)e
x
特征方程：r 4r 5 0
2x
4． y sin y cos y e 0, 则隐式通解为
x
u cos y
3 x ( e ) 的特解。 2
dx 1 1 解：原方程可化简为 x , dy y ln y y
1 y ln y dy xe {C1 e dy} y 1 1 2 1 1 2 {C1 ln y C 2 } {C ln y} ln y 2 ln y 2

y ln y dy
x 4 x y y
2 2
zx 令 z y
0 0
(0,0)
4 x2 y2
4，
y f ( x y ) f ( x y)
2 2
1 y(0) 2, f ( 2) , f (4) 1 2
y x f ( x 2 y 2 )( 2 x 2 yy) f ( x y )(1 y)
C
）
A.
①②是齐次方程，③④是一阶线性方程；
B. C. D.
以上都不对; ①③是齐次方程，②④是一阶线性方程； ①可分离变量②是齐次方程③是一阶线性方程④是全微分方程；
二、填空题
1． 已知连续函数 f ( x ) 满足关系式 f ( x )
xf ( x)
2x
2x 0
t f ( )dt 2
C
)
A. C.
Ae x Be x； B . Axe x Be x； D .
x
Ae x Bxe x； x ( Ae x Be x )；
8． 微分方程 y 2 y y xe
的特解形式应设为（
C）
A. e x ( B 0 B1 x )； B .
(1 ( 特解：y x k e x [ Rm ) ( x ) cos x Rm2 ) ( x ) sin x ];
0 i不是根 k 1 i是单根
一、 选择题
1．函数 y C 1 e x C 2 (其中 C 1 ,C 2 是任意常数)是微分方程 y y 0 的（
cot( y C 11 )dy dx
积分得 ln sin( y C 11 ) x C 22
化简得
y arcsin( C 2 e x ) C 1 , 其中C 2 e C 22 , C 1 C 11
三、计算题
4.求 y ln ydx ( x ln y )dy 0,
D）
A. 通解;
B. 特解; C . 不是解; D. 是解,但即不是通解也不是特解;
u xy
2．微分方程 xy y
1 的隐式通解为（ 2 2 x y
D）
B. x 2 y 3 x C；
D. x 3 y 3 3 x C；
A. x 2 y 2 2 x C； C . xy 2 3 x C；
0 f (02 [ y(0)]2 )( 0 2 y(0) yx 0 ) yx
f (0 y(0))(1 y 0 ) x
f (4) 4 y 0 f ( 2)(1 y 0 ) x x 4 y 0 1 (1 y ) x x 0 2
C a
从而
高数一下模拟试题
二，1
曲面的切平面
F ( x, y, z ) 0, n Fx , F y , Fz


切平面：Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) F y ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0