3 几种几何曲线

xn1 b
x
.
.
1. 曲边梯形的面积 f (i) y y=f (x)
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
3 积零为整
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
o
a
x i i x i 1
x
.
4 取极限
令分法无限变细
b
主
1 曲边梯形的面积
目
录（1–25 ）
2 求曲线 y 2 2x与 y x 4 围成的面积 2 3 求抛物线 y x 4 x 3 与其在点 (0,3)和点( 3,0)处的 切线所围 成图形的面积 4 曲边扇形的面积 5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线 7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆的渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线 13 阿基米德螺线 14 双曲螺线
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
7. 旋轮线是最速降线
x=a (t – sint) y=a (1– cost)
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
A
.
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
y
.
o
a
a
x
来看动点的慢动作
8. 心形线 (圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
y
o
a
a
x
2a
来看动点的慢动作
.
8. 心形线 (圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
7. 旋轮线是最速降线
x=a (t – sint) y=a (1– cost)
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
.
7. 旋轮线是最速降线
x=a (t – sint) y=a (1– cost)
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
A
B
滑板的轨道就是这条曲线
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
.
8. 心形线 (圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
y
o
a
a
x
8. 心形线 (圆外旋轮线)
求曲线 r 3cos θ 及 r 1 cos θ 分别所围成的图形的公 共部分的 面积 16 求曲线 r 2sin θ 及 r 2 cos2 θ 分别所围成的图形的 公共部分的面 积
15
17 圆ρ 1被心形线 ρ 1 cosθ 分割为两部分，求这两 部分的面积。 a2 2 2 2 2 2 2 2 2 18 求由双纽线 ( x y ) a ( x y ) 所围而且在圆周 x y 2 内部的面积。 19 平行截面面积为已知的立体的体积。 20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得 一圆柱楔。求其体积。 21 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正 劈锥体的体积。 22 旋转体体积(y =f(x)绕x轴) 23 旋转体体积(x =g(y)绕y轴）
4 4 4 4
直角系方程
( x 2 y 2 ) 2 2a 2 ( x 2 y 2 )
P


F ( a ,0)
r

F (a,0)
0
2a
. .
x
.
.
. . . . . .
3 5 7 , , 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 4 4 4 4
12. 例 求双纽线 r 2 2a 2 cos 2 所围面积
–a
o
a x
来看动点的慢动作
y
9. 星形线 (圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
–a
o
a x
来看动点的慢动作
.
y
9. 星形线 (圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
x y a
或
x a cos . – a y a si n3
y
P
r = a (1+cos )
0 2
0 r 2a
o
r

x
2a
.
y
9. 星形线 (圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
a 4
–a
o
a x
y
9. 星形线 (圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
.
[ , ]
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：
dS ( ) d
S
d
dS
o


. . .
3 作定积分 r
S


[ ( )] d
5. 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
a
x
5. 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
记
n

i 1
b
.
a
f ( x ) dx
.
.
2.
y
求曲线 y x 与 y x 4 围成的面积
4
解方程组：
y x y x
。
。
得交点：(8, 4)， (2,–2)
问题：选谁为积分变量？
0
4

x
–2
y S (y )dy
18
其交点的横坐标为
o

3
x
S =


3 2 0
[4 x 3 ( x 2 4 x 3)]dx

[ x ( x x )]dx

–3

4. 曲边扇形的面积
r =( )
元素法
1 取极角为积分变量， 其变化区间为[,]
+d
单摆
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
x=a (t – sint) y=a (1– cost)
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。
.
在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
7. 旋轮线是最速降线
x=a (t – sint) y=a (1– cost)
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
.
x
来看动点的慢动作
5. 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。 x = a (t – sint) t 的几何意义如图示 y = a (1– cost) 当 t 从 0 2，x从 0 2a y 即曲线走了一拱
2a
a
t
a
0
a
2a
x
.
6. 旋轮线也叫摆线
单摆
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
13.
阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
.
13.
阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
.
请问：动点的轨迹什么样？
再看一遍
–4
3. 求抛物线 y x x 与其在点 (0,)和点(3,0)处的
切线所围成图形的面积
。
y
由 y x
得两切线的斜率为 l1 l2 故两切线为
k , k l : y x
x
。 。
l : y x ,
.
.
.
1. 曲边梯形的面积 f (i) y y=f (x)
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
S
x
.
3 积零为整
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
4 取极限
令分法无限变细
o
a
x i i x i 1
b
S = lim f ( i )x i .
x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
当 t , ( x, y ) (0,0)
当 t 0, 也有 ( x, y) (0,0)
故在原点，曲线自身相交. 4. 当 t 由 , 动点由(0,0) (,-) 当 t 由 , 动点由( ,) (0,0)
11.狄卡儿叶形线
3at x t3 1 3at 2 y t3 1
x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
12. 双纽线 FF 2a , 到F与F 距离之积为a2的点的轨迹 ( a 2 )
3
.
2 3
2 3
2 3
P

o
a x
0 2
.
10. 圆的渐伸线
x a(cost t sint ) y a(sint t cos t )
一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹
y
0
a
x
10. 圆的渐伸线
x a(cost t sint ) y a(sint t cos t )
24 旋转体体积（柱壳法）
25 旋转体的侧面积
.
1. 曲边梯形的面积 f (i) y y=f (x)
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
3 积零为整
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
x i i x i 1
2 r 2 a 2 2ra cos 2 r 2 a 2 2ra cos
( ) 2 (r 2 a 2 ) 2 4r 2 a 2 cos2 a 4
即
r 2a cos 2
2 2
cos 2 0
y
3 5 7 (0, ) ( , ) ( . ,2 )
+
lim r 0
θ
极点是曲线的渐近点 y rsin a si n lim y a
一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹
y
0
a
.
x
10. 圆的渐伸线
x a(cost t sint ) y a(sint t cos t )
一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹
y
M (x,y)
a
t
0
t a
.
x
试由这些关系推出曲线的方程
11.狄卡儿叶形线
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
分析
1. 曲线关于 y= x 对称 2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0 3. 令 y = t x, 得参数式
3at x t3 1 3at 2 y t3 1
(- t , t -1)
x=a (t – sint) y=a (1– cost)
6. 旋轮线也叫摆线
单摆
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
x=a (t – sint) y=a (1– cost)
.
6. 旋轮线也叫摆线
单摆
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
x=a (t – sint) y=a (1– cost)
.
6. 旋轮线也叫摆线
由对称性
Байду номын сангаас
S


r ( )d a cosd 2a 2
y
4
0
2a
x
. . . .
13.
阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
13.
阿基米德螺线 r =a
0
r
.
13.
阿基米德螺线 r =a
0
r
.
13.
阿基米德螺线 r =a
0
r
.
13.
阿基米德螺线 r =a
这里 从 0
+
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数
0
r
.
13.
阿基米德螺线 r =a
当 从 0
–
0
r
.
14.
双曲螺线 r
a

这里 从 0
再看一遍
.
一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹
y
0
a
x
10. 圆的渐伸线
x a(cost t sint ) y a(sint t cos t )
一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹
y
0
a
.
x
10. 圆的渐伸线
x a(cost t sint ) y a(sint t cos t )