2020版高考数学一轮复习教案 第4章_第1节_平面向量的概念及线性运算(含答案解析)

第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节　平面向量的概念及线性运算
[考纲传真]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.
了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a ＋
b ＝b ＋a ；(2)结合律：
(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )
减法
求a 与b 的相反
向量－b 的和的运算叫做a 与b
三角形法则
a －
b ＝a ＋(－b )
的差
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
(1)|λa |＝|λ||a |；
(2)当λ>0时，λa 的方向
与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0
λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb
3.共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .[常用结论]
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋A n －1A n ＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而
A 1A 2→ A 2A 3→ A 3A 4→ A 1An →
成的向量和为零向量．
2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则＝(＋)．
OP → 12OA → OB →
3.＝x ＋y (x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1.OA → OB → OC →
4．△ABC 中，＋＋＝0⇔点P 为△ABC 的重心．
PA → PB → PC →
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )(2)
若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .
( )
(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．
( )
(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则＝(＋)．
( )
AD → 12AC → AB →
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改编)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )
A.＝
B.与共线EF → CD →
AB → DE →
C.与是相反向量
D.＝||BD → CD →
AE → 12AC →
D [选项D 中，＝，故D 错误．]
AE → 12AC →
3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [由a ＋b ＝0得a ＝－b ，根据向量共线定理知a ∥b ，但a ∥b D ⇒/a ＋b ＝0，故选A.]4．(教材改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若＝a ，＝b ，用a ，b 表示为
AB → AD → MD →
( )
A.a ＋b
B.a －b 121
21
21
2C ．－a －b
D ．－a ＋b
1212
1212
D [＝＝＝＝－a ＋b ，故选D.]
MD → 12BD → 12(AD → －AB → )
1
2(b －a )1212
5．(教材改编)化简：
(1)(＋)＋＋＝________.
AB → MB → BO → OM →
(2)＋＋－＝________.
NQ → QP → MN → MP →
(1)　(2)0　[(1)原式＝＋＋＋＝.
AB → AB → BO → OM → MB → AB → (2)原式＝＋＝0.]
NP → PN →
平面向量的有关概念
1．给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且＝，则ABCD 为平行四边形；
AB → DC →
③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；
④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
A [①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A ，B ，C ，D 是不共线的四
AB → DC → AB → DC → AB → DC →
点，所以四边形ABCD 为平行四边形．
③是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
④是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．]
2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]
[规律方法]　辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量是长度都是一个单位长度的向量.,(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是
0，规定零向量与任何向量共线.
平面向量的线性运算
【例1】　(1)在四边形ABCD 中，＝，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中
BC → AD →
点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )
A.＝＋
B.＝＋AF → 13AC → 23BD →
AF → 23AC → 13BD → C.＝＋ D.＝＋AF → 14AC → 23BD →
AF → 23AC → 14BD →
(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC .若＝λ1＋λ2
1
223DE → AB →
(λ1、λ2
为实数)，则λ1＋λ2的值为________．AC →
(1)B (2)　[(1)在四边形ABCD 中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD 为平
12BC → AD →
行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF ∽△BEA ，则＝，所以＝＝
DE → 13EB → DF → 13AB → CF → 23CD → 2
3
＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选(
OD → －OC → )
23BD → －AC → 2BD → －AC → 3AF → AC → CF → AC →
BD → －AC → 323AC → 1
3BD →
B.
(2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，
DE → DB → BE → 12AB → 23BC → 12AB → 23BA → AC →
16AB → 23AC → 1623即λ1＋λ2＝.]
1
2
[规律方法]　向量的线性运算的求解方法
(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则( )
BC → CD →
A.＝－＋
B.＝－AD →
13AB → 43AC → AD → 13AB → 43AC → C.＝＋ D.＝－AD → 43AB → 13AC →
AD → 43AB → 13AC →
(2)在△ABC 中，点M ，N 满足＝2，＝.若＝x ＋y ，则x ＝
AM → MC → BN → NC → MN → AB → AC →
________；y ＝________.
(1)A (2)　－　[(1)因为＝3，
1216BC → CD →
所以＝，
CD → 13BC →
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A.
AD → AC → CD → AC → 13BC → AC → 13AC → AB →
13AB → 43AC →
(2)由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x ＋y
MN → MC → CN → 13AC → 12CB → 13AC → 12AB → AC → 12AB → 16AC → AB → ，所以x ＝，y ＝－.]AC →
1216
共线向量定理的应
用
【例2】　设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；
AB → BC → CD →
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
[解]　(1)证明：∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，
AB → BC → CD →
∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )BD → BC → CD →
＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5.
AB →
∴，共线，又∵它们有公共点B ，AB → BD →
∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，
∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.[规律方法]　共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A ，B ，C 三点共线．
AB → AC →
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
(1)已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )
AB → BC → CD →
A ．A ，
B ，
C 三点共线 B ．A ，B ，
D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线
D ．B ，C ，D 三点共线
(2)(2019·黄山模拟)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )
A ．－4
B ．－ C. D ．4
1
4
1
4(1)B (2)B [(1)∵＝＋＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2，∴，共线，又有公共
BD → BC → CD → AB → BD → AB →
点B ，
∴A ，B ，D 三点共线．故选B.
(2)由题意知m ＝k n ，即4a ＋b ＝k (a －λb )．∴Error!解得Error!故选B.]
1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
＝( )EB →
A.－
B.－34AB → 14AC →
14AB → 34AC → C.＋ D.＋34AB → 14AC →
14AB → 34AC →
A [由题可得＝＋＝－(＋)＋＝－，故选A.]
EB → EA → AB → 14AB →
AC → AB → 34AB → 14AC →
2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则＋EB → FC
→
＝( )
A. B.BC →
12AD → C. D.AD →
12BC →
C [如图，＋＝＋＋＋EB → FC → EC → CB → FB → BC
→
＝＋＝(＋)EC → FB → 12AC → AB →
＝·2＝.]
12AD →
AD → 3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.
　[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，
12
即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴Error!解得Error!]。