立体几何共线共点共面问题

立体几何中的共点、共线、共面问题

一、共线问题

例1、若ΔABC所在的平面与ΔA1B1C1所在平面相交,并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O,求证:

(1)AB与A1B1、BC与B1C1、AC与A1C1分别在同一平面内;

(2)如果AB与A1B1、BC与B1C1、AC与A1C1分别相交,那么交点在同一直线上(如图)、

例2、点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上,且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR ∩BD＝Y、求证:X、Y、Z三点共线、

例3、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线。

二、共面问题

例4、直线m、n分别与平行直线a、b、c都相交,交点为A、B、C、D、E、F,如图,求证:直线a、b、c、m、n共面、

例5、证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内、

已知:如图,直线l1,l2,l3,l4两两相交,且不共点、

求证:直线l1,l2,l3,l4在同一平面内

例6、 已知:A 1、B 1、C 1与A 2、B 2、C 2分别就是两条异面直线l 1与l 2上的任意三点,M 、N 、R 、T 分别就是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点、求证:M 、N 、R 、T 四点共面、

例7、 在空间四边形ABCD 中,M 、N 、P 、Q 分别就是四边上的点,且满足

MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PD

CP ＝k 、 (1)求证:M 、N 、P 、Q 共面、

(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b,且MNPQ 就是正方形时,求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)

三、共点问题

例8、 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行、

1、(1)证明:∵AA 1∩BB 1＝O,

∴AA 1、BB 1确定平面BAO,

∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内,

∴AB ⊂平面ABO;A 1B 1⊂平面ABO 、

同理可证,BC 与B 1C 1、AC 与A 1C 1分别在同一平面内、

(2)分析:欲证两直线的交点在一条直线上,可根据公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内,那么,它们的交点就在这两个平面的交线上、

2证明:如图,设AB ∩A 1B 1＝P;

AC ∩A 1C 1＝R;

∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1＝PR 、

∵ BC ⊂面ABC;B 1C 1⊂面A 1B 1C 1,

且 BC ∩B 1C 1＝Q ∴ Q ∈PR,

即 P 、R 、Q 在同一直线上、

3解析:∵A 、B 、C 就是不在同一直线上的三点

∴过A 、B 、C 有一个平面β

又βα⊂=⋂AB P AB 且,Θ

.,,l p l P ∈=⋂∴则设内内又在既在点βααβ .

,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈

4解析: 证明若干条直线共面的方法有两类:一就是先确定一个平面,证明其余的直线在这个平面里;二就是分别确定几个平面,然后证明这些平面重合、

证明 ∵a ∥b,∴过a 、b 可以确定一个平面α、

∵A ∈a,a ⊂α,∴A ∈α,同理B ∈a 、

又∵A ∈m,B ∈m,∴m ⊂α、同理可证n ⊂α、

∵b ∥c,∴过b,c 可以确定平面β,同理可证m ⊂β、

∵平面α、β都经过相交直线b 、m,

∴平面α与平面β重合,即直线a 、b 、c 、m 、n 共面、

5、解析:证明几条直线共面的依据就是公理3及推论与公理1、先证某两线确定平面α,然后证其它直线也在α内、

证明:图①中,l 1∩l 2＝P,

∴ l 1,l 2确定平面α、

又 l 1∩l 3＝A,l 2∩l 3＝C, ∴ C,A ∈α、

故 l 3⊂α、

同理 l 4⊂α、

∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面、

图②中,l 1,l 2,l 3,l 4的位置关系,同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面、

所以结论成立、

6、证明 如图,连结MN 、NR,则MN ∥l 1,NR ∥l 2,且M 、N 、R 不在同一直线上(否则,根据三线平行公理,知l 1∥l 2与条件矛盾)、∴ MN 、NR 可确定平面β,连结B 1C 2,取其中点S 、连RS 、ST,则RS ∥l 2,又RN ∥l 2,∴ N 、R 、S 三点共线、即有S ∈β,又ST ∥l 1,MN ∥l 1,∴MN ∥ST,又S ∈β,∴ ST ⊂β、

∴ M 、N 、R 、T 四点共面、

7解析:(1)∵ MB

AM ＝QD AQ ＝k

∴ MQ ∥BD,且MB AM AM +＝1

+k k ∴ BD MQ ＝AB AM ＝1

+k k ∴ MQ ＝

1+k k BD 又 NB CN ＝PD

CP ＝k ∴ PN ∥BD,且

NB CN CN +＝1+k k ∴ BD NP ＝CB CN ＝1+k k 从而NP ＝1

+k k BD ∴ MQ ∥NP,MQ,NP 共面,从而M 、N 、P 、Q 四点共面、

(2)∵ MA BM ＝k 1,NC BN ＝k 1 ∴ MA BM ＝NC BN ＝k 1,MA BM BM +＝1

1+k ∴ MN ∥AC,又NP ∥BD 、

∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角、

∵ MNPQ 就是正方形,∴ ∠MNP ＝90°

∴ AC 与BD 所成的角为90°,

又AC ＝a,BD ＝b,AC MN ＝BA BM ＝1

1+k ∴ MN ＝1

1+k a