定积分在数学计算中的若干方法

渭南师范学院

本科毕业论文

题目：定积分在数学计算中的若干方法

学院：数学与信息科学学院

专业班级：数学与应用数学专业2009级2班

毕业年份： 2013年

姓名：范鑫

学号： 090741059 指导教师：周焕芹

职称：教授

渭南师范学院教务处制

目录

本科毕业论文任务书 (1)

本科毕业论文开题报告 (3)

本科毕业论文登记表 (5)

本科毕业论文文稿 (7)

渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书

注：1. 任务书由指导教师填写、经系主任及主管院长审批后，在第七学期末之前下达给学生。

2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅。

渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告

注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写。

渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表

定积分在数学计算中的若干方法

范鑫

（渭南师范学院 数学与信息科学学院数学系 09级2班）

摘 要 ：在计算中灵活选出适当的方法和公式以简化计算过程. 定积分是高等数学微积分的重要组成部分，是一种实用性很强的数学计算方法.归纳总结定积分在数学计算中若干方法，包括用定义的方法,根据被积函数的奇偶性、对称性以及具有某些函数特征的性质来运用定积分的换元积分法、分部积分法对一些常用的定积分计算方法进行归纳总结，从而使在以后的计算中灵活选出适当的方法和公式以简化计算过程.

关键词 ：定积分；被积函数；换元积分法；分部积分法

定积分的计算在微分学中占有相当重要的位置，也是学好微分学的关键和基础，但在定积分的计算中往往会使很多人感到比较困难.在初接触定积分时，大多是按定积分的定义来计算的，运算量大而繁杂，因而很多人都对学习定积分感觉比较困难，其实在定积分的计算中是有简单办法可以运用的，通过被积函数的特点性质以及对定积分计算方法的归纳总结，从而可以找出一些简单的解题思路与方法.这里简单介绍几种根据定积分定义、基本性质、被积函数的特点总结归纳出来的具有一般性的计算方法和公式．

1 按照定义计算定积分

定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以()b

a I f x dx =⎰为例：任意分割,任意选取k ξ作积分和再取极限.任意分割任意取k ξ所计算出的I 值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种k ξ的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k ξ的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取k ξ.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作[],a

b 的特殊分法，选取特殊的k ξ，计算出定积分.

第一步：分割.

将区间[],a b 分成n 个小区间，一般情况下采取等分的形式.b a h n

-=，那么分割点的坐标为(),0a ，(),0a h +，()2,0a h +......()(1),0a n h +-，(),0b ，k

ξ

在[]1,k k x x -上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的k ξ，即左端点，

右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n 个小曲边梯形.我们近似的看作是n 个小长方形.

第二步：求和.

计算n 个小长方形的面积之和，也就是

()1n

k k f h ξ=∑. 第三步：取极限. ()()0011lim lim n n

k k h h k k I f h h f ξξ→→====∑∑，0h →即n →∞，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n 趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.

例1 用定义法求定积分1

0xdx ⎰. 解 因为()f x x =在[]0,1连续

所以()f x x =在[]0,1可积

令101h n n

-== 将[]0,1等分成n 个小区间，分点的坐标依次为02...1h h nh <<<<=

取k ξ是小区间[](1),k h kh -的右端点，即k kh ξ=于是

⎰1

0xdx =∑=∞→n k n khh 1lim =2

12)1(lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n n =22)1(lim n n n n +∞→=2

11lim n n +∞→=21 所以，1012

xdx =⎰. 2 用牛顿--莱布尼茨公式计算定积分

引理1]2[ 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F 即)('x F =)(x f ，x ∈],[b a ，则)(x f 在],[b a 上可积，且⎰b

a dx x f )(=)(a F -)(

b F ，这称为牛顿——莱布尼茨公式，它也常写成⎰b

a dx x f )(=b

a x F )(.

有了牛顿——莱布尼茨公示后，计算定积分关键就是找)(x f 的一个原函数)(x F .这就转化为不定积分的问题了.

例2 求⎰+1

02

1x dx . 解 已知⎰+21x

dx =x arctan +C ∴ ⎰+1021x

dx =1

0arctan x =1arctan -0arctan =4π. 3 换元积分法

定理1]3[ 设

1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；

2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上单调,且有连续导数；

3) t ∈],[βα时,x ∈],[b a ,且)(αϕ=a ,)(βϕ=b ,

则⎰b

a dx x f )(=⎰β

αφφdt t t f )(')]([．该公式称为定积分的换元积分公式． 运用换元积分法需注意两点：

第一,引入的新函数)(t x ϕ=必须单调,使t 在区间],[βα上变化时,x 在区间],[b a 上变化,且)(αϕ=a ,)(βϕ=b ．

第二,改变积分变量时必须改变积分上、下限,简称为换元必换限．

例3 求⎰-a

dx x a 022 )0(>a ．

解 应用两种方法.

(1)应用牛顿—莱布尼茨公式,首先求不定积分（原函数）⎰-dx x a 22. 设x =t a sin ,有dx =tdt a cos .

dx x a ⎰

-22=tdt a ⎰22cos =⎰+dt t a )2cos 1(2

2

=22a )2

2sin (t t ++C