高阶线性微分方程汇总
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P( x) y2 Q( x) y2 ] 0 证毕 C2 [ y 2
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定理１说明齐次方程的解符合叠加原理．
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是(1)的通解吗？ 不一定！
y1 ( x )和y2 ( x )满足什么条件时y C1 y1 C 2 y2 才是(1)的通解？ 例如,
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
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化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
2
q ‖ q K
(1)
也是该方程的解. 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
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d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
第六节 高阶线性微分方程
一、函数的线性相关与线性无关 二、二阶线性微分方程举例 三、线性微分方程解的结构 *四、常数变易法
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一、函数的线性相关与线性无关
定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
故它们在整个数轴上是线性相关的．
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结束
又如， 必需全为 0 ,
若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关.
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 特别地，两个函数的线性相关与线性无关．
例如，
线性无关． 线性无关. 线性相关．
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例1
例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p( x) y q( x) y f ( x) , 为二阶线性微分方程.
如果一个微分方程是关于未知函数及其各阶导数 的一次方程，把它定义作线性方程． n 阶线性微分方程的一般形式为
y ( n) a1 ( x) y ( n 1) an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , 由电学知
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二、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
复习: 一阶线性方程 y P( x) y Q( x) 通解: y C e
P ( x) d x
e
P ( x) d x
齐次方程通解Y
y 非齐次方程特解
P ( x) d x Q( x) e dx
先讨论二阶线性微分方程
y p( x ) y q( x ) y f ( x )
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有: 弹性恢复力
(虎克定律)
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o x x
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阻力
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m 2 d x dx 2 2 n k x0 2 dt dt (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 H 则得强迫振动方程: F H sin pt 作用，令 h ， m 2 d x dx 2 2n k x h sin pt 2 dt dt
通解:
y？ 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y *
如何构成？
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1.二阶齐次方程解的结构 定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次方程
y P ( x ) y Q( x ) y 0 的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
例如，
x 2 y xy y 0
（二阶线性齐次微分方程）
x3 y xy x 2 y xy2 x 4 （三阶非线性微分方程）
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三、线性微分方程的解的结构
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2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理 3. 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程
（ 2）
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y Y ( x) y * ( x) （ 3） 是非齐次方程的通解 . Y ( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 证: 将（3）代入方程（2）,
显然不是(1)的通解．
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定理 2.
数) 是该方程的通解.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数 )
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定理１说明齐次方程的解符合叠加原理．
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是(1)的通解吗？ 不一定！
y1 ( x )和y2 ( x )满足什么条件时y C1 y1 C 2 y2 才是(1)的通解？ 例如,
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
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化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
2
q ‖ q K
(1)
也是该方程的解. 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
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d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
第六节 高阶线性微分方程
一、函数的线性相关与线性无关 二、二阶线性微分方程举例 三、线性微分方程解的结构 *四、常数变易法
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一、函数的线性相关与线性无关
定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
故它们在整个数轴上是线性相关的．
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又如， 必需全为 0 ,
若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关.
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 特别地，两个函数的线性相关与线性无关．
例如，
线性无关． 线性无关. 线性相关．
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例1
例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p( x) y q( x) y f ( x) , 为二阶线性微分方程.
如果一个微分方程是关于未知函数及其各阶导数 的一次方程，把它定义作线性方程． n 阶线性微分方程的一般形式为
y ( n) a1 ( x) y ( n 1) an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , 由电学知
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二、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
复习: 一阶线性方程 y P( x) y Q( x) 通解: y C e
P ( x) d x
e
P ( x) d x
齐次方程通解Y
y 非齐次方程特解
P ( x) d x Q( x) e dx
先讨论二阶线性微分方程
y p( x ) y q( x ) y f ( x )
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有: 弹性恢复力
(虎克定律)
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阻力
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m 2 d x dx 2 2 n k x0 2 dt dt (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 H 则得强迫振动方程: F H sin pt 作用，令 h ， m 2 d x dx 2 2n k x h sin pt 2 dt dt
通解:
y？ 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y *
如何构成？
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1.二阶齐次方程解的结构 定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次方程
y P ( x ) y Q( x ) y 0 的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
例如，
x 2 y xy y 0
（二阶线性齐次微分方程）
x3 y xy x 2 y xy2 x 4 （三阶非线性微分方程）
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三、线性微分方程的解的结构
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2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理 3. 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程
（ 2）
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y Y ( x) y * ( x) （ 3） 是非齐次方程的通解 . Y ( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 证: 将（3）代入方程（2）,
显然不是(1)的通解．
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定理 2.
数) 是该方程的通解.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数 )