高数常微分方程 高阶微分方程讲解
《高等数学》课件第6章 常微分方程
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx
常微分方程高阶方程解法
常微分方程高阶方程解法高阶常微分方程的解法是一种重要的数学工具，它在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍高阶常微分方程的基本概念、解法和一些应用实例，给读者提供一个全面的了解和学习的机会。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述自变量与函数及其导数之间关系的方程。
它包含一个或多个未知函数，以及这些未知函数的导数。
我们将常微分方程分为初值问题和边值问题两类。
初值问题是在给定初始条件的情况下求解常微分方程，例如x'(t)=f(t, x(t))，x(t0)=x0，其中 x(t) 是未知函数，t0 是给定的初值点。
边值问题是在给定边界条件的情况下求解常微分方程，例如x''(t)+g(t,x(t))=h(t)，x(a)=x0，x(b)=xb，其中 x(t) 是未知函数，a 和 b 是给定的边界点。
高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数超过一阶的方程。
例如，一个二阶常微分方程可以写成y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=r(t)，其中 y(t) 是未知函数，p(t), q(t), r(t) 是给定的函数。
二、高阶常微分方程的解法高阶常微分方程的解法主要有两种方法：直接法和换元法。
1. 直接法直接法是一种基于微分方程阶数递减的解法。
首先将高阶常微分方程转化为多个一阶常微分方程，然后求解这些一阶方程得到通解，最后通过给定的初始条件确定满足特定条件的特解。
以二阶常微分方程为例，假设 y(t) 是未知函数，可以引入新的变量 z(t)=y'(t)，得到一阶方程组：y'(t)=z(t)z'(t)=r(t)-p(t)z(t)-q(t)y(t)这是一个与原方程等价的方程组。
可以使用一阶常微分方程的解法来求解这个方程组的解，从而得到原方程的解。
2. 换元法换元法是一种基于代数变换的解法。
通过对未知函数或导数进行适当的代换，将高阶常微分方程转化为一阶常微分方程，从而方便求解。
高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程的解法在高等数学中，我们学习了微积分的基本概念和一阶常微分方程的解法。
而对于高阶常微分方程，我们需要运用一些特殊的方法来求解。
本文将介绍高阶常微分方程的解法，帮助读者更好地理解这一概念。
一、高阶常微分方程的定义高阶常微分方程是指未知函数的导数存在至少二阶及以上的微分方程。
一般写作：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(y\) 是未知函数，\(y'\) 表示一阶导数，\(y''\) 表示二阶导数，\(y'''\) 表示三阶导数，以此类推。
\(F\) 是已知的方程。
二、1. 常数变易法常数变易法是高阶常微分方程解法中的一种常见方法。
首先，我们假设某种形式的特解。
常见的形式包括多项式函数、三角函数等。
然后，将特解代入原方程，并解出未知参数。
最后，将特解与通解相加，得到方程的最终解。
举个例子，考虑二阶常微分方程 \(y'' + 2y' + y = e^x\)。
首先，我们猜测特解为 \(y_p = Ae^x\)，其中 \(A\) 是待定常数。
将特解代入方程，得到 \(2Ae^x + 2Ae^x + Ae^x = e^x\)。
通过整理方程，我们可以求得\(A = \frac{1}{4}\)。
因此，特解为 \(y_p = \frac{1}{4}e^x\)。
通解为特解与齐次方程 \(y'' + 2y' + y = 0\) 的通解之和。
2. 变量替换法变量替换法也是一种常见的高阶常微分方程解法。
通过引入新的变量，可以将高阶常微分方程转化为一阶常微分方程。
这样，我们就可以利用一阶常微分方程的求解方法来求解原方程。
例如，考虑二阶常微分方程 \(y'' - 4y = 0\)。
我们引入新的变量 \(u =y'\)，得到一阶方程组：\[\begin{cases} y' = u \\ u' - 4y = 0 \end{cases}\]解这个方程组，可以得到 \(u = 2ce^{2x}\) 和 \(y = c_1e^{2x} +c_2e^{-2x}\)。
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
高阶常微分方程解法探讨
高阶常微分方程解法探讨高阶常微分方程是大学数学中的重要内容，其解法涉及到各种高深的数学方法。
在本文中，我们将探讨高阶常微分方程的解法，包括基础的方法以及高级的技巧。
一、基础方法对于阶数不超过二的普通微分方程，我们可以使用基础的微积分方法来求解。
例如，对于一个形如 $y''+5y'+6y=e^{3x}$ 的二阶常微分方程，首先我们可以写出其对应的特征方程$r^2+5r+6=0$，解得 $r=-2$ 和 $r=-3$。
因此，其齐次解为 $y_h=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}$。
接下来，我们需要求出其非齐次解。
根据待求解的非齐次项，我们猜测该方程的一个特解 $y_p=Ae^{3x}$。
代入原方程，可得$A=1/2$。
因此，该方程的一般解为 $y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}+\frac{1}{2}e^{3x}$。
然而，对于阶数大于二的高阶常微分方程，基础的微积分方法就无法求解了。
这时候，我们需要使用一些高级的技巧。
二、高级技巧1.常数变易法对于一般形如 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=f(x)$ 的非齐次高阶常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解其特解。
该方法的基本思路是先猜测一个 $y_p$，代入原方程，求出该方程的特解。
具体而言，我们可以按照下列步骤求解一个二阶非齐次方程：1) 先猜测一个特解 $y_p=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$，其中$y_1$ 和 $y_2$ 是对应齐次方程的两个线性无关的解。
2) 代入原方程，求出 $C_1$ 和 $C_2$。
3) 计算原方程的通解，得到$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y_p(x)$。
需要注意的是，常数变易法只适用于特定的非齐次方程，且需要知道对应齐次方程的解。
2.欧拉公式欧拉公式是求解高阶常微分方程的另一种重要的方法。
该方法基于欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，可以将一般的非齐次高阶常微分方程转化为欧拉方程。
高数大一知识点常微分方程
高数大一知识点常微分方程高数大一知识点：常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中的一个重要分支，研究函数的导数与自变量之间的关系。
在高数大一的学习中，常微分方程是一个重要的知识点。
本文将简要介绍常微分方程的定义、分类和解法，并给出一些常见的示例。
一、常微分方程的定义常微分方程是用函数与其导数构成的等式来描述未知函数的性质的数学方程。
一般形式为：f(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0其中，x为自变量，y为未知函数，y⁽ⁿ⁾表示y的n阶导数。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，f(x, y)为已知函数。
一阶常微分方程的解可以表示为y = Φ(x, C)，其中Φ(x, C)是一族包含常数C的函数。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中包含未知函数的高阶导数的方程。
高阶常微分方程可以通过一系列变换化为一阶常微分方程。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法有很多种方法，这里介绍两种常用的方法：分离变量法和常数变易法。
1. 分离变量法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过分离变量将y的项移到一边，x的项移到另一边，然后两边同时积分得到通解。
2. 常数变易法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过引入一个未知函数u(x)，将方程转化为关于u和x的一阶常微分方程，再通过求导和代换等操作，求得y关于x的通解。
四、常微分方程的示例1. 一阶常微分方程示例：dy/dx = x^2 - y先整理方程，得到dy + y = x^2通过分离变量法可得∫1/y dy = ∫x^2 dx解得ln|y| = x^3/3 + C1最终的通解为y = Ce^(x^3/3)，其中C为常数。
推导微分方程的高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程的解法
推导微分方程的高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程的解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化规律的重要数学工具。
在微分方程的研究中，高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程是常见且具有重要意义的两个类型。
本文将介绍这两种微分方程的解法，并进行推导。
一、高阶线性微分方程高阶线性微分方程（High-order Linear Differential Equation）是指方程中包含高于一阶的导数的线性微分方程。
一般形式可以表示为：\[ a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0 \]其中，$y^{(n)}(x)$表示导数的$n$次导数，$a_n(x), a_{n-1}(x),\cdots, a_1(x), a_0(x)$为已知的函数。
解法如下：1. 设方程的$n$个线性无关的特解为$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$2. 利用特解组合构造齐次线性微分方程的解\[ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x) \]其中，$C_1, C_2, \cdots,C_n$为常数。
3. 求解常数$C_1, C_2, \cdots, C_n$的值，得到齐次线性微分方程的通解。
二、常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程（Homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients）是指系数为常数的齐次线性微分方程。
一般形式可以表示为：\[ a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x) =0 \]其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为已知的常数。
常微分方程--第四章 高阶微分方程(4.1节)
上线性无关的充分必要条件是朗斯基行列式
W [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]
在这个区间的任何点上都不等于零。
说明：
1. n阶齐次线性微分方程(4.2)的n个解构成的 朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零；
2. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒为零与
这n个解线性相关等价；
3. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒不为零
其中 c1 , c2 ,, cn 是任意常数。且它包含了方程 （4.2）的所有解。
推论:
方程（4.2）的线性无关解的最大个数是n;且n阶齐次线性微分方程的所有 解构成一个n维线性空间。 方程（4.2）的n个线性无关解称为方程的一个基本解组。
三、非齐次线性微分方程与常数变易法
性质1 如果 x (t ) 是方程(4.1)的解，而 x(t )
问题：如何应用朗斯基行列式判定函数相关性？
如果 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 是齐次线性微分方程 （4.2）的解，则有下述定理
定理4：如果 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )是齐次线性微 分方程（4.2）的n个解，则它们在区间 a t b
n
n
1 例1 求方程x x cos t 的通解。已知它的对应的齐次 线性微分方程的基本解组为 cos t ,sin t.
(t ) cos t c2 (t )sin t 0 代入方程可得 c1
解 应用常数变易法，令 x c (t )cos t c (t )sin t 1 2
也是方程（4.2）的解，这里c1 , c2 ,, ck为任意常数。 特别地，当 k n 时，即方程（4.2）有解
x c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
(整理)常微分方程考研讲义第四章高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dtdt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a tb ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
大学数学微积分第十二章 常微分方程特殊的高阶微分方程知识点总结
§12.2 特殊的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 12121()()n n n n n n f x dx C x C x C x C ---⎰+++++次,,y p '''=⇒则原方程(,)p f x p '=—一阶方程，设其1)C ,即1(,)y g x C '=，则原方程的通解为1(,)y g x C dx =⎰p p y ，把看作的函数，则 dp dp dy dpy p dx dy dx dy''==⋅= 把 二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0y p x y q x y '''++= （1） 二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++= （2）1、 若12(),()y x y x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合1122()()C y x C y x +（12,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当12()()()y x y x λλ≠为常数，也即12()()y x y x 与线性无关时，则方程的通解为1122()()y C y x C y x =+。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而1122()()C y x C y x +为对应的二阶齐次线性方程的通解（12,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
3、 设12()()y x y x 与分别是1()()()y p x y q x y f x '''++=与2()()()y p x y q x y f x '''++=的特解，则12()()y x y x +是12()()()()y p x y q x y f x f x '''++=+的特解 三、二阶常系数齐次线性方程：0,,y py qy p q '''++=为常数特征方程20p q λλ++=特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当240,p q ∆=->特征方程有两个不同的实根12,λλ 则方程的通解为1212x x y C e C e λλ=+（2）当240,p q ∆=-=特征方程有而重根12λλ=， 则方程的通解为112()x y C C x e λ=+（3）当240,p q ∆=-<特征方程有共轭复根i αβ±, 则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+四、二阶常系数非齐次线性方程 方程 (),y py qy f x p q '''++=其中为常数通解 1122()()y y C y x C y x =++其中1122()()C y x C y x +为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。
高阶常微分方程
高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中含有高于一阶导数的微分项的微分方程。
在数学和物理学的研究中，高阶常微分方程是一种常见且重要的方程形式。
本文将探讨高阶常微分方程的定义、性质以及解法方法，以及一些实际应用。
高阶常微分方程的定义高阶常微分方程是指方程中包含有高于一阶导数的微分项的方程。
一般形式可以写为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y 是自变量 x 的函数，y' 是 y 对 x 的一阶导数，y'' 是 y 对 x的二阶导数，以此类推，y^(n) 是 y 对 x 的 n 次导数。
而 F 是一个关于x、y、y'、y''、...、y^(n) 的函数。
这样的方程被称为 n 阶常微分方程。
高阶常微分方程的性质高阶常微分方程具有以下性质：1. 线性性质：n 阶常微分方程可以表示为 y^(n) + p_1(x) y^(n-1) + ... + p_n(x) y = f(x)，其中 p_1(x)、...、p_n(x)、f(x) 是已知函数。
这种形式的方程是线性的，可以使用线性微分方程的解法。
2. 齐次性质：如果 f(x) = 0，则方程为齐次的。
齐次方程的解集合是线性空间，且满足加法封闭性和数乘封闭性。
高阶常微分方程的解法方法高阶常微分方程的解法方法主要有以下几种：1. 常数变易法：假设方程的解具有特定的形式，然后将其代入方程中，通过解求解常数的值。
2. 初值问题法：给出方程的初值条件，通过代入初值条件解方程，确定特定的解。
3. 特殊函数法：对于某些特殊的高阶常微分方程，我们可以通过特殊函数来求解，如指数函数、三角函数和伽马函数等。
应用实例高阶常微分方程在物理学、生物学、经济学等领域有着广泛的应用。
以下是一些实例：1. 天体运动模型：高阶常微分方程可以用来描述天体的运动模型，如行星绕太阳的运动、人造卫星的轨道等。
常微分方程高阶方程解法
常微分方程高阶方程解法常微分方程是描述变量关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶方程和高阶方程两种形式。
一阶方程是指方程中最高阶导数的阶数为一阶，高阶方程则是指方程中最高阶导数的阶数高于一阶。
高阶常微分方程解法较为复杂，需要借助一些特定的方法和技巧。
下面将介绍几种常见的高阶常微分方程解法。
1.常系数线性齐次方程的解法：齐次方程是指方程中没有出现自变量的项，且系数是常数的方程。
对于常系数线性齐次方程：a_n*y^n + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_0*y = 0可以使用特征根法来求解。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入方程可得：a_n*r^n*e^(rx) + a_(n-1)*r^(n-1)*e^(rx) + ... + a_0*e^(rx) = 0化简得到特征方程：a_n*r^n + a_(n-1)*r^(n-1) + ... + a_0 = 0解特征方程得到方程的特征根r1, r2, ..., rn，则方程的通解为：y = C1*e^(r1x) + C2*e^(r2x) + ... + Cn*e^(rnx)其中，C1, C2, ..., Cn为任意常数。
2.可降阶的高阶常微分方程的解法：可降阶的高阶常微分方程是指可以通过变量代换和符号分解等方法将高阶方程转化为一阶方程的形式。
例如，对于二阶常系数线性非齐次方程：a_2*y'' + a_1*y' + a_0*y = f(x)可以通过令z=y'代换变量，得到一阶常系数线性非齐次方程：a_2*z' + a_1*z + a_0*y = f(x)这样，高阶方程就转化为了一阶方程，可以采用一阶方程的解法来求解。
解出z后再求一次积分即可得到y的解。
3.常微分方程的级数解法：对于某些高阶常微分方程，可以采用级数展开的方法得到解的近似表达式。
假设方程的解可以表示为幂级数的形式：y = ∑(n=0 to ∞) a_n*x^n将该表达式代入方程，逐次求出各个系数a_n，即可得到解的级数表达式。
常微分方程的高阶线性方程
常微分方程的高阶线性方程常微分方程是数学中的重要分支，涉及到多种类型的方程。
其中，高阶线性方程是常微分方程的一种，其解决的问题属于物理学、工程学、生物学等多个领域。
在本文中，我们将着重讨论常微分方程中高阶线性方程的相关知识。
一、基本概念高阶线性方程是指带有自变量 x 及其导数y, y', y'',…,y(n) 的线性方程。
其一般形式可表示为：a_n(x)y(n) + a_{n-1}(x)y(n-1) + … + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)其中，a_i(x) 和 f(x) 是已知的函数。
需要注意的是，高阶线性方程中的 y(n) 表示 y 的 n 阶导数，而不是 y 的 n 次方。
同时，这里的方程是线性的，即 y 与其导数之间的系数 a_i(x) 是不依赖于y, y', y'',…,y(n) 的，而仅依赖于自变量x。
二、解法解高阶线性方程是常微分方程研究的重点之一。
一般来说，解法可以分为两种：通过代数方法直接求解，或将高阶线性方程转化为一些比较简单的方程进行求解。
下面我们将分别介绍这两种解法。
1、通过代数方法直接求解通过代数方法求解高阶线性方程的方法很多，这里我们先介绍其中比较基础的几种方法。
（1）特征方程法将常微分方程中的 y(n), y(n-1), …, y' 都看成一个元素，构造一个伴随矩阵和一个行列式，然后根据行列式的性质求解，就可以得到一个方程的特征根，再根据这些特征根和特征向量的性质构造出通解。
这种方法适用于方程系数都不为零的情况。
（2）欧拉方程法如果高阶线性方程的系数中含有 x 跟y, y', y'',…,y(n)，而且都是乘在一起的幂函数形式，那么就可以考虑利用欧拉方程法。
这种方法先要将变量转化成同一形式，然后分离变量，再对两端的积分形式进行分析，最后就可以求得通解。
（3）待定系数法这种方法适用于方程的非齐次项 f(x) 是已知函数的情况。
常系数高阶线性微分方程
04 高阶常系数线性微分方程
定义与性质
要点一
定义
常系数高阶线性微分方程是指形式为$y^{(n)}(x) + a_{n1}y^{(n-1)}(x) + ldots + a_1y'(x) + a_0y(x) = f(x)$的微 分方程，其中$a_0, a_1, ldots, a_{n-1}$是常数，$f(x)$是 已知函数。
解法：特征值法
特征值法是通过将二阶常系数线性微 分方程转化为两个一阶常系数线性微 分方程来求解的方法。
通过对方程进行变换，得到两个一阶线性微 分方程 $y' + lambda y = 0$ 和 $y'' + lambda y' + mu y = 0$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是特征值。然后分别求解这两个 一阶方程，得到原方程的解。
工程问题
在解决工程问题时，如控制系统、电路分析等，常系数高阶线性微分方程也是重要的数 学工具。
02 一阶常系数线性微分方程
定义与性质
定义
一阶常系数线性微分方程是形如 y' + p(x)y = q(x) 的方程，其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数。
VS
性质
该方程具有线性性质，即如果 y1 和 y2 是方程的两个解，那么 c1y1 + c2y2 也 是方程的解，其中 c1 和 c2 是任意常数 。
要点二
性质
高阶线性微分方程具有叠加原理、齐次解、特解等性质， 这些性质使得求解高阶线性微分方程成为可能。
解法：降阶法
降阶法是将高阶微分方程转化为低阶微分方程的方法，通过逐次求解低阶微分方 程来找到高阶微分方程的解。
高阶常系数线性微分方程
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
2.已知y1 e , y2 e 是二阶常系数线性齐次 方程
r1 x r2 x
的解，如何求微分方程 ？
特征根为 特征方程:
则齐次方程为 :
3.已知y xe 是二阶常系数线性齐次 方程的解，
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数)
三、二阶常系数齐次线性微分方程
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r pr q ) e
2
rx
0 r 2 pr q 0
§7.4 高阶线性微分方程
一、二阶微分方程：
d2y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
其中，P(x)、Q(x)、f(x)为x的已知函数；
当P(x)、Q(x)为常数时，称为常系数二阶线性 微分方程；否则为变系数二阶线性微分方程。
r1 x
3. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
常微分方程43高阶微分方程的降阶和幂级数解法
n0
n0
(4.75)
的特解,这里a0 0,是一个待定常数,级数(4.75)也以
x R为收敛区间.
2019/12/7
常微分方程
例4 求方程y" 2xy' 4 y 0满足初始条件y(0) 0, y'(0)=1的解.
解 设级数 y=a0 a1x an xn
为方程的解, 这里ai(i 1, 2, )是一个待定常数,
2a2 0 3 2a3 2 4 0 4 3a4 4a2 4a2 0
n(n 1)an 2(n 2)an2 4an2 0
即 a2 0, a3 1, a4 0,
,
an
n
2
1
an2
,
因而
a5
1, 2!
a6 0,
a7
1, 3!
x(n)
xk y(n)
nxk' y(n1)
n(n 1) 2
x y'' (n2) k
代入(4.2)得
2019/12/7
常微分方程
x(n) k
y
xk y(n) [nxk' a1(t)xk ]y(n1)
[
x(n) k
a1 (t ) xk( n 1)
an xk ]y 0
x2 d 2 y x dy (x2 n2 ) y 0 (4.74) dx2 dx
这里n为非负常数.
解 将方程改写为 d 2 y 1 dy x2 n2 dx2 x dx x2 y 0
易见,它满足定理11条件,且 xp(x) 1, x2q(x) x2 n2
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15
定义：设 y1 , y2 ,? , yn 为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得 当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0，
那么称这n 个函数在区间I 内线性相关．否则
P(x)的一阶方程
F ( x , P( x ), P?( x )) ? 0. 求得 P( x ),
解 y(n?1) ? P( x) ,
可得通解 .
2
例 2 求方程 xy (5) ? y(4) ? 0 的通解.
解 设 y(4) ? P( x ), y (5) ? P?( x )
代入原方程 xP?? P ? 0, （P ? 0）
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解 .
例 4 求方程 yy??? y?2 ? 0 的通解.
解
两端同乘不为零因子
1 y2
,
yy??? y?2 d y?
y2
? ( ) ? 0, dx y
故 y?? C1 y,
从而通解为 y ? C2eC1x .
10
另解 原方程变为 y??? y?, y? y
两边积分 ,得 ln y?? ln y ? ln C1， 即 y?? C1 y， 原方程通解为 y ? C2eC1x .
第三节 可降阶的高阶微分方程
一 y(n) ? f (x)
特点： 左端只含有 n 阶导数，右端只含有自变量
解法： 将 y(n) ? f ( x ) 连续积分 n 次, 可得通解.
例 1 y???? x
解
? y???
xdx
?
C1
?
1 2
x2
?
C1
? y??
(1 2
x2
?
C1 )dx
?
C2
?
1 6
x3
?
C1 x
解 设 y?? p( y), 则 y??? P dP ,
dy
代入原方程得 y ?P dP ? P 2 ? 0, 即 P( y ?dP ? P ) ? 0,
dy
dy
由 y ?dP ? P ? 0， dy
可得 P ? C1 y,
dy ? dx ? C1 y,
原方程通解为 y ? C2eC1x .
5
小结
补充题: 求方程 xyy??? xy?2 ? yy?的通解. 解 设 y ? e?zdx , 代入原方程 ,得 z?x ? z，
解其通解为 z ? C x ,
原方程通解为 y ? e ?Cxdx ? C2eC1x 2 .
11
第四节 高阶线性微分方程
n 阶线性微分方程
y(n) ? P1(x)y(n?1) ? ? ? Pn?1(x)y?? Pn (x)y ? f (x).
? C1e x ? C2 x 2 .
28
当 f ( x ) ? 0时， 线性齐次微分方程 当 f ( x ) ? 0时， 线性非齐次微分方程
14
一、解的结构
1. 齐次方程解的结构 :
y(n) ? P1(x)y(n?1) ? ? ? Pn?1(x)y?? Pn(x)y ? 0. (1)
定理 1 如果函数 y1( x ) ,…, yn ( x ) 是方程(1)的 n 个 解,那末 y ? C1 y1 ? ? ? Cn yn 也是(1) 的解. （ C1,? , Cn 是常数）
?
C2
? y ?
1 ( 6
x3 ?
C1 x
?
C2 )dx ?
C3
?
1 24
x4 ?
C1 2
x2 ?
C2x
?
C3
1
二 F (x, y(n?1), y(n)) ? 0
特点： 不显含未知函数 y及 y?,? , y(n? 2) .
解法： 令 y(n?1) ? P( x )
则 y(n ) ? P ?. 代入原方程 , 得
例如 y??? y ? 0, y1 ? cos x , y2 ? sin x ,
且 y2 ? tan x ? 常数, y1
y ? C1 cos x ? C2 sin x .
17
2. 非齐次线性方程的解的结构 :
定理 3 设 y*是 n 阶非齐次线性方程
y(n) ? P1( x ) y(n? 1) ? ? ? Pn?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? f ( x ). (2)
的一个特解 , Y 是与(2)对应的齐次方程 (1)的通 解, 那么 y ? Y ? y*是 n 阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解 .
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思考题
已知 y1 ? 3， y2 ? 3 ? x 2 ， y3 ? 3 ? x 2 ? e x
都是微分方程
?x 2 ? 2 x ?y??? ?x 2 ? 2?y?? ?2x ? 2?y ? 6?x ? 1?
解线性方程 , 得 P ? C1 x 即 y(4) ? C1 x ,
两端积分 ,得
y????
1 2
C1
x
2
?
C2,
?
?,
y
?
C1 120
x5
?
C2 6
x3
?
C3 2
x2
?
C4 x
?
C5
,
原方程通解为 y ? d1 x 5 ? d2 x 3 ? d3 x 2 ? d4 x ? d5
3
三 F ( y, y?, y??) ? 0
称线性无关
例如 当x ? (?? , ? ? )时， e x，e ? x , e2 x 线性无关 1，cos2 x , sin 2 x 线性相关
16
特别地: 若在 I 上有 y1( x ) ? 常数， y2(x )
则函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1( x) … yn ( x ) 是方程(1)的 n 个线 性无关的特解 , 那么 y ? C1 y1 ? ? ? Cn yn 就是方 程(1) 的通解 .
特点： 不显含自变量 x .
解法： 设 y?? P( y)
则
y???
dP
dy ?
?
P
dP
,
dy dx dy
代入原方程得到新函数 P( y)的一阶方程，
求得其解为
dy dx
?
P( y) ?
? ( y,
C1 ),
? 原方程通解为
dy
? ( y, C1 ) ? x ? C2 .
4
例 3 求方程 yy??? y?2 ? 0 的通解.
的解，求 y2 , y3 都是微分方程的解 ,
? y3 ? y2 ? e x , y2 ? y1 ? x 2 ,
是对应齐次方程的解 ,
?
y3 ? y2 ?
y2 y1
?
ex x2
?
常数
? 所求通解为 y ? C1?y3 ? y2 ?? C2 ?y2 ? y1 ?