高数常微分方程 高阶微分方程讲解
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称线性无关
例如 当x ? (?? , ? ? )时， e x，e ? x , e2 x 线性无关 1，cos2 x , sin 2 x 线性相关
16
特别地: 若在 I 上有 y1( x ) ? 常数， y2(x )
则函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1( x) … yn ( x ) 是方程(1)的 n 个线 性无关的特解 , 那么 y ? C1 y1 ? ? ? Cn yn 就是方 程(1) 的通解 .
的一个特解 , Y 是与(2)对应的齐次方程 (1)的通 解, 那么 y ? Y ? y*是 n 阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解 .
18
思考题
已知 y1 ? 3， y2 ? 3 ? x 2 ， y3 ? 3 ? x 2 ? e x
都是微分方程
?x 2 ? 2 x ?y??? ?x 2 ? 2?y?? ?2x ? 2?y ? 6?x ? 1?
问题: y ? C1 y1 ? ? ? Cn yn一定是通解吗？
15
定义：设 y1 , y2 ,? , yn 为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得 当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0，
那么称这n 个函数在区间I 内线性相关．否则
解线性方程 , 得 P ? C1 x 即 y(4) ? C1 x ,
两端积分 ,得
y????
1 2
C1
x
2
?
C2,
?
?,
y
?
C1 120
x5
?
C2 6
x3
?
C3 2
x2
?
C4 x
?
C5
,
原方程通解为 y ? d1 x 5 ? d2 x 3 ? d3 x 2 ? d4 x ? d5
3
三 F ( y, y?, y??) ? 0
P(x)的一阶方程
F ( x , P( x ), P?( x )) ? 0. 求得 P( x ),
解 y(n?1) ? P( x) ,
可得通解 .
2
例 2 求方程 xy (5) ? y(4) ? 0 的通解.
解 设 y(4) ? P( x ), y (5) ? P?( x )
代入原方程 xP?? P ? 0, （P ? 0）
? C1e x ? C2 x 2 .
28
的解，求此方程所对应齐次方程的通解.
27
思考题解答
? y1, y2 , y3 都是微分方程的解 ,
? y3 ? y2 ? e x , y2 ? y1 ? x 2 ,
是对应齐次方程的解 ,
?
y3 ? y2 ?
y2 y1
?
ex x2
?
常数
? 所求通解为 y ? C1?y3 ? y2 ?? C2 ?y2 ? y1 ?
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解 .
例 4 求方程 yy??? y?2 ? 0 的通解.
解
两端同乘不为零因子
1 y2
,
yy??? y?2 d y?
y2
? ( ) ? 0, dx y
故 y?? C1 y,
从而通解为 y ? C2eC1x .
10
另解 原方程变为 y??? y?, y? y
两边积分 ,得 ln y?? ln y ? ln C1， 即 y?? C1 y， 原方程通解为 y ? C2eC1x .
特点： 不显含自变量 x .
解法： 设 y?? P( y)
则
y???
dP
dy ?
?
P
dP
,
dy dx dy
代入原方程得到新函数 P( y)的一阶方程，
求得其解为
dy dx
?
P( y)ຫໍສະໝຸດ Baidu?
? ( y,
C1 ),
? 原方程通解为
dy
? ( y, C1 ) ? x ? C2 .
4
例 3 求方程 yy??? y?2 ? 0 的通解.
第三节 可降阶的高阶微分方程
一 y(n) ? f (x)
特点： 左端只含有 n 阶导数，右端只含有自变量
解法： 将 y(n) ? f ( x ) 连续积分 n 次, 可得通解.
例 1 y???? x
解
? y???
xdx
?
C1
?
1 2
x2
?
C1
? y??
(1 2
x2
?
C1 )dx
?
C2
?
1 6
x3
?
C1 x
补充题: 求方程 xyy??? xy?2 ? yy?的通解. 解 设 y ? e?zdx , 代入原方程 ,得 z?x ? z，
解其通解为 z ? C x ,
原方程通解为 y ? e ?Cxdx ? C2eC1x 2 .
11
第四节 高阶线性微分方程
n 阶线性微分方程
y(n) ? P1(x)y(n?1) ? ? ? Pn?1(x)y?? Pn (x)y ? f (x).
当 f ( x ) ? 0时， 线性齐次微分方程 当 f ( x ) ? 0时， 线性非齐次微分方程
14
一、解的结构
1. 齐次方程解的结构 :
y(n) ? P1(x)y(n?1) ? ? ? Pn?1(x)y?? Pn(x)y ? 0. (1)
定理 1 如果函数 y1( x ) ,…, yn ( x ) 是方程(1)的 n 个 解,那末 y ? C1 y1 ? ? ? Cn yn 也是(1) 的解. （ C1,? , Cn 是常数）
解 设 y?? p( y), 则 y??? P dP ,
dy
代入原方程得 y ?P dP ? P 2 ? 0, 即 P( y ?dP ? P ) ? 0,
dy
dy
由 y ?dP ? P ? 0， dy
可得 P ? C1 y,
dy ? dx ? C1 y,
原方程通解为 y ? C2eC1x .
5
小结
?
C2
? y ?
1 ( 6
x3 ?
C1 x
?
C2 )dx ?
C3
?
1 24
x4 ?
C1 2
x2 ?
C2x
?
C3
1
二 F (x, y(n?1), y(n)) ? 0
特点： 不显含未知函数 y及 y?,? , y(n? 2) .
解法： 令 y(n?1) ? P( x )
则 y(n ) ? P ?. 代入原方程 , 得
例如 y??? y ? 0, y1 ? cos x , y2 ? sin x ,
且 y2 ? tan x ? 常数, y1
y ? C1 cos x ? C2 sin x .
17
2. 非齐次线性方程的解的结构 :
定理 3 设 y*是 n 阶非齐次线性方程
y(n) ? P1( x ) y(n? 1) ? ? ? Pn?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? f ( x ). (2)
例如 当x ? (?? , ? ? )时， e x，e ? x , e2 x 线性无关 1，cos2 x , sin 2 x 线性相关
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特别地: 若在 I 上有 y1( x ) ? 常数， y2(x )
则函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1( x) … yn ( x ) 是方程(1)的 n 个线 性无关的特解 , 那么 y ? C1 y1 ? ? ? Cn yn 就是方 程(1) 的通解 .
的一个特解 , Y 是与(2)对应的齐次方程 (1)的通 解, 那么 y ? Y ? y*是 n 阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解 .
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思考题
已知 y1 ? 3， y2 ? 3 ? x 2 ， y3 ? 3 ? x 2 ? e x
都是微分方程
?x 2 ? 2 x ?y??? ?x 2 ? 2?y?? ?2x ? 2?y ? 6?x ? 1?
问题: y ? C1 y1 ? ? ? Cn yn一定是通解吗？
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定义：设 y1 , y2 ,? , yn 为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得 当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0，
那么称这n 个函数在区间I 内线性相关．否则
解线性方程 , 得 P ? C1 x 即 y(4) ? C1 x ,
两端积分 ,得
y????
1 2
C1
x
2
?
C2,
?
?,
y
?
C1 120
x5
?
C2 6
x3
?
C3 2
x2
?
C4 x
?
C5
,
原方程通解为 y ? d1 x 5 ? d2 x 3 ? d3 x 2 ? d4 x ? d5
3
三 F ( y, y?, y??) ? 0
P(x)的一阶方程
F ( x , P( x ), P?( x )) ? 0. 求得 P( x ),
解 y(n?1) ? P( x) ,
可得通解 .
2
例 2 求方程 xy (5) ? y(4) ? 0 的通解.
解 设 y(4) ? P( x ), y (5) ? P?( x )
代入原方程 xP?? P ? 0, （P ? 0）
? C1e x ? C2 x 2 .
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的解，求此方程所对应齐次方程的通解.
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思考题解答
? y1, y2 , y3 都是微分方程的解 ,
? y3 ? y2 ? e x , y2 ? y1 ? x 2 ,
是对应齐次方程的解 ,
?
y3 ? y2 ?
y2 y1
?
ex x2
?
常数
? 所求通解为 y ? C1?y3 ? y2 ?? C2 ?y2 ? y1 ?
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解 .
例 4 求方程 yy??? y?2 ? 0 的通解.
解
两端同乘不为零因子
1 y2
,
yy??? y?2 d y?
y2
? ( ) ? 0, dx y
故 y?? C1 y,
从而通解为 y ? C2eC1x .
10
另解 原方程变为 y??? y?, y? y
两边积分 ,得 ln y?? ln y ? ln C1， 即 y?? C1 y， 原方程通解为 y ? C2eC1x .
特点： 不显含自变量 x .
解法： 设 y?? P( y)
则
y???
dP
dy ?
?
P
dP
,
dy dx dy
代入原方程得到新函数 P( y)的一阶方程，
求得其解为
dy dx
?
P( y)ຫໍສະໝຸດ Baidu?
? ( y,
C1 ),
? 原方程通解为
dy
? ( y, C1 ) ? x ? C2 .
4
例 3 求方程 yy??? y?2 ? 0 的通解.
第三节 可降阶的高阶微分方程
一 y(n) ? f (x)
特点： 左端只含有 n 阶导数，右端只含有自变量
解法： 将 y(n) ? f ( x ) 连续积分 n 次, 可得通解.
例 1 y???? x
解
? y???
xdx
?
C1
?
1 2
x2
?
C1
? y??
(1 2
x2
?
C1 )dx
?
C2
?
1 6
x3
?
C1 x
补充题: 求方程 xyy??? xy?2 ? yy?的通解. 解 设 y ? e?zdx , 代入原方程 ,得 z?x ? z，
解其通解为 z ? C x ,
原方程通解为 y ? e ?Cxdx ? C2eC1x 2 .
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第四节 高阶线性微分方程
n 阶线性微分方程
y(n) ? P1(x)y(n?1) ? ? ? Pn?1(x)y?? Pn (x)y ? f (x).
当 f ( x ) ? 0时， 线性齐次微分方程 当 f ( x ) ? 0时， 线性非齐次微分方程
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一、解的结构
1. 齐次方程解的结构 :
y(n) ? P1(x)y(n?1) ? ? ? Pn?1(x)y?? Pn(x)y ? 0. (1)
定理 1 如果函数 y1( x ) ,…, yn ( x ) 是方程(1)的 n 个 解,那末 y ? C1 y1 ? ? ? Cn yn 也是(1) 的解. （ C1,? , Cn 是常数）
解 设 y?? p( y), 则 y??? P dP ,
dy
代入原方程得 y ?P dP ? P 2 ? 0, 即 P( y ?dP ? P ) ? 0,
dy
dy
由 y ?dP ? P ? 0， dy
可得 P ? C1 y,
dy ? dx ? C1 y,
原方程通解为 y ? C2eC1x .
5
小结
?
C2
? y ?
1 ( 6
x3 ?
C1 x
?
C2 )dx ?
C3
?
1 24
x4 ?
C1 2
x2 ?
C2x
?
C3
1
二 F (x, y(n?1), y(n)) ? 0
特点： 不显含未知函数 y及 y?,? , y(n? 2) .
解法： 令 y(n?1) ? P( x )
则 y(n ) ? P ?. 代入原方程 , 得
例如 y??? y ? 0, y1 ? cos x , y2 ? sin x ,
且 y2 ? tan x ? 常数, y1
y ? C1 cos x ? C2 sin x .
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2. 非齐次线性方程的解的结构 :
定理 3 设 y*是 n 阶非齐次线性方程
y(n) ? P1( x ) y(n? 1) ? ? ? Pn?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? f ( x ). (2)