导数的计算(一)

x
x
x
x2 2x • x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
4.若f
x
1 x
, 则f
'
x
1 x2
；
5.若f x x,则f 'x 1 .
2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
-2 -1 -1
-2
1 2x
函数 y= f (x)= kx 的导数
因为 y f x x f x
x
x
kx x kx
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为 y f x x f x x x2 x2 y
课后思考:
如何求函数 y 2xsin(2x 5)的导数?
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
练习：1 求下列幂函数的导数
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
推论: cf (x)/ cf / (x)
例. 求函数y=x3-2x2+3的导数.
1.已知曲线C：f(x)=x3 求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程
2.求过点（2,0）与曲线 y 1 相切的切线
方程
x
3.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线 y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1. 函数y=f(x)=c (c为常数)
2.y f (x) x
3.y f (x) x2
4.y f (x) x3
5.y f (x) 1 x
6.y f (x) x
当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.
从物理的角度理解：
若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可 以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速 度为2x.
4.函数 y = f (x) =
1 x
的导数
因为
y
f x x f x
因为 y f x x f x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x x
1
，
x x x
所以 y' lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
小结
1.若 f (x)=c（c为常数）, 则f (x)=0 ； 2.若 f (x)=x, 则f (x)=1 ； 3.若 f (x)=x2 ,则f (x)=2x ；
探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图 象,并根据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?y y=4x y=3x
(2)这三个函数中,哪一个增加得最 快?哪一个增加得最慢?
y=2x
2
y=x
1
(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快 慢与什么有关?
y' 4x5
y'
3
1
x2
2
练习:求下列函数的导数:
(1) y 1 2 ; x x2
(2)
y
x 1 x2
;
(3) y tan x;
答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(2)
y
1 x2 (1 x2 )2
;
(3)
y
1 cos2
x
;
四、小结:
知识点: 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
能力要求： （1）熟记这些公式、法则； （2）会求简单函数的导数； （3）会求曲线在某点处的切线方程。
1.函数 y = f (x) =c 的导数
因 y f x x f x c c 0，
x
x
x
y y=c
所以 y' lim y lim 0 0. x0 x x0
O
x
从几何的角度理解：
y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.
从物理的角度理解：
若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的 瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.
一、复习
1. 导数的几何意义 导数的物理物理意义
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的说明比:上值面的: 方
y f (x x) f (x) ;
x
x
法中把x换x0 即为求函数在
点x0处的 导数.
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
1 1 x x x
x
x
x
x
xx
x x xx
x2
1 x
•
， x
所以
y'
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x
•
x
1 x2
.
探究
画出函数
y
1 x
的图象.根据图象,描述它的变化情况,并
求出曲线在点(1,1)处的切线方程.y
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
5.函数 y = f (x) = x 的导数
看几个例子:
例3.已知y log2 x，求曲线在点 x 2处的切线方程.
y 1 2 (x 2) 2 2 ln 2
例4.已知y cos x，求曲线在点
x 5 处的切线方程.
6
y 3 1 (x 5π )
22 6
例5：求下列函数的导数
1 (1).y ;
x4 (2).y x x.
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
（1）y x5 (2) y 1 x2 (3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
2.函数 y= f (x)=x 的导数
因为 y f x x f x x x x 1， y
x
x
x
y=x
所以 y' lim y lim 1 1. x0 x x0
从几何的角度理解：
O
x
y=1表示函数y=x图象上每 一点处的切线斜率都为1.
从物理的角度理解：
若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某 物体做瞬时速度为1的匀速运动.