激光原理第四章答案1
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(1)自发辐射光功率随时间t的变化规律；
(2)能级 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；
(3)自发辐射光子数与初始时刻能级 上的粒子数之比 ， 称为量子产额。
解：(1)在现在的情况下有
可以解得：
可以看出，t时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为 ，这就是t时刻自发辐射的光子数密度，所以t时刻自发辐射的光功率为：
解：实验方框图如下：
实验程序以及计算公式如下：
(1)测量小信号中心频率增益系数：移开红宝石棒，微安表读数为 ，放入红宝石棒，微安表的读数为 ，由此得到小信号增益系数为
减小入射光光强，使小信号增益系数最大。然后维持在此光强，微调单色仪鼓轮以改变入射波长(频率)，使小信号增益系数最大，此最大增益系数即为小信号中心频率增益系数 。
证明：如右图所示，光源S发出频率为 的光，从M上反射的光为 ，它被 反射并且透过M，由图中的I所标记；透过M的光记为 ，它被 反射后又被M反射，此光记为II。由于M和 均为固定镜，所以I光的频率不变，仍为 。将 看作光接收器，由于它以速度v运动，故它感受到的光的频率为：
因为 反射 光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为v时，发出的光的频率为
解：多普勒线宽的表达式为
(单位为GHz)
(单位为 )
所以，400K时，这三种跃迁的多普勒线宽分别为：
的632.8nm跃迁：
的 跃迁：
的 跃迁：
由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。
6．考虑某二能级工作物质， 能级自发辐射寿命为 ，无辐射跃迁寿命为 。假定在t=0时刻能级 上的原子数密度为 ，工作物质的体积为V，自发辐射光的频率为 ，求：
解：设 的分子量为M，阿伏加德罗常数用NA来表示，设单位体积内的 数为 ，考虑到300K的时候， ，则有
所以峰值吸收截面为(峰值吸收系数以 来表示)
14．有光源一个，单色仪一个，光电倍增管及电源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度 ，694.3nm荧光线宽 。可用实验测出红宝石的吸收截面、发射截面及荧光寿命，试画出实验方块图，写出实验程序及计算公式。
这样，I光的频率为 ，II光的频率为 。在屏P上面，I光和II光的广场可以分别表示为：
因而光屏P上的总光场为
光强正比于电场振幅的平方，所以P上面的光强为
它是t的周期函数，单位时间内的变化次数为
由上式可得在 时间内屏上光强亮暗变化的次数为
因为 是镜 移动 长度所花费的时间，所以 也就是镜 移动 过程中屏上光强的明暗变化的次数。对上式两边积分，即可以得到镜 移动L距离时，屏上面光强周期性变化的次数S
该式应该对于任意大小的 均成立，所以只有 ，即 时才可以。这样由上式可得：
由于 ，所以
这个时候红宝石对 的光是透明的。
12．短波长(真空紫外、软X射线)谱线的主要加宽机构是自然加宽。试证明峰值吸收截面 。
证明：峰值吸收截面为
而
所以代入可以得到：
得证。
13．已知红宝石的密度为 ，其中 所占比例为0.05%(重量比)，在波长为694.3nm附近的峰值吸收系数为0.4cm-1，试求其峰值吸收截面(T=300K)。
(2)在 时间内自发辐射的光子数为：
所以
(3)量子产额为：
无辐射跃迁导致能级2的寿命偏短，可以由
定义一个新的寿命 ，这样
7．二能级的波数分别为 和 ，相应的量子数分别为 和 ，上能级的自发辐射概率 ，测出自发辐射谱线形状如图4.1所示。求
(1)中心频率发射截面 ；
(2)中心频率吸收截面 。
(能级简并度和相应量子数的关系为 ，可设该工作物质的折射率为1.)
因为 与 相比很大，这表示粒子在 能级上停留的时间很短，因此可以认为 能级上的粒子数 ，因此有 。这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求解。
由(I)式可得：
代入式(V)得：
由于
所以
红宝石对波长为694.3nm的光透明，意思是在能量密度为 的入射光的作用下，红宝石介质内虽然有受激吸收和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是 。而要使入射光的能量密度等于出射光的能量密度，必须有 为常数，即 ，这样式(VI)变为：
第四章 电磁场与物质的共振相互作用
1 静止氖原子的 谱线中心波长为632.8nm，设氖原子分别以0.1c、0.4c、0.8c的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？
解：根据公式
可得： 代入不同速度，分别得到表观中心波长为：
， ，
2．设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为 。试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L时，接收屏上的干涉光强周期地变化 次。
式中 和 分别为镜 开始移动的时刻和停止移动的时刻； 和 为与 和 相对应的 镜的空间坐标，并且有 。
得证。
3.在激光出现以前， 低气压放电灯是很好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估算在77K温度下它的605.7nm谱线的相干长度是多少，并与一个单色性 的氦氖激光器比较。
解：这里讨论的是气体光源，对于气体光源，其多普勒加宽为
解： 气体在室温(300K)下的多普勒线宽 为
气体的碰撞线宽系数 估算,根据 气体的碰撞线宽与气压p的关系近似为
可知,气体压强为 时的碰撞线宽约等于碰撞线宽系数.
再由 和 ,其中
可估算出其值约为
当 时，其气压为
所以，当气压在 附近时以多普勒加宽为主，当气压比 大很多时，以均匀加宽为主。
5．氦氖激光器有下列三种跃迁，即 的632.8nm， 的 和 的 的跃迁。求400K时它们的多普勒线宽，分别用 、 、 为单位表示。由所得结果你能得到什么启示？
解。根据线型函数 的定义，图中的 与线型函数最大值 对应，利用
线型函数归一化条件 的意义对应图线下方面积为1，
8.根据4.3节所列红宝石的跃迁几率数据，估算 等于多少时红宝石对 的光是透明的。(红宝石，激光上、下能级的统计权重 ，计算中可不计光的各种损耗。)
解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为
其中（II）式可以改写为
式中，M为原子（分子）量， 。对 来说，M=86，相干长度为
对于单色性 的氦氖激光器，其相干长度为
可见，氦氖激光器的相干长度要比 低气压放电灯的相干长度要大得多。
4．估算 气体在室温(300K)下的多普勒线宽 和碰撞线宽系数 。并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。(提示 分子间的碰撞截Hale Waihona Puke Baidu )
(2)能级 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；
(3)自发辐射光子数与初始时刻能级 上的粒子数之比 ， 称为量子产额。
解：(1)在现在的情况下有
可以解得：
可以看出，t时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为 ，这就是t时刻自发辐射的光子数密度，所以t时刻自发辐射的光功率为：
解：实验方框图如下：
实验程序以及计算公式如下：
(1)测量小信号中心频率增益系数：移开红宝石棒，微安表读数为 ，放入红宝石棒，微安表的读数为 ，由此得到小信号增益系数为
减小入射光光强，使小信号增益系数最大。然后维持在此光强，微调单色仪鼓轮以改变入射波长(频率)，使小信号增益系数最大，此最大增益系数即为小信号中心频率增益系数 。
证明：如右图所示，光源S发出频率为 的光，从M上反射的光为 ，它被 反射并且透过M，由图中的I所标记；透过M的光记为 ，它被 反射后又被M反射，此光记为II。由于M和 均为固定镜，所以I光的频率不变，仍为 。将 看作光接收器，由于它以速度v运动，故它感受到的光的频率为：
因为 反射 光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为v时，发出的光的频率为
解：多普勒线宽的表达式为
(单位为GHz)
(单位为 )
所以，400K时，这三种跃迁的多普勒线宽分别为：
的632.8nm跃迁：
的 跃迁：
的 跃迁：
由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。
6．考虑某二能级工作物质， 能级自发辐射寿命为 ，无辐射跃迁寿命为 。假定在t=0时刻能级 上的原子数密度为 ，工作物质的体积为V，自发辐射光的频率为 ，求：
解：设 的分子量为M，阿伏加德罗常数用NA来表示，设单位体积内的 数为 ，考虑到300K的时候， ，则有
所以峰值吸收截面为(峰值吸收系数以 来表示)
14．有光源一个，单色仪一个，光电倍增管及电源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度 ，694.3nm荧光线宽 。可用实验测出红宝石的吸收截面、发射截面及荧光寿命，试画出实验方块图，写出实验程序及计算公式。
这样，I光的频率为 ，II光的频率为 。在屏P上面，I光和II光的广场可以分别表示为：
因而光屏P上的总光场为
光强正比于电场振幅的平方，所以P上面的光强为
它是t的周期函数，单位时间内的变化次数为
由上式可得在 时间内屏上光强亮暗变化的次数为
因为 是镜 移动 长度所花费的时间，所以 也就是镜 移动 过程中屏上光强的明暗变化的次数。对上式两边积分，即可以得到镜 移动L距离时，屏上面光强周期性变化的次数S
该式应该对于任意大小的 均成立，所以只有 ，即 时才可以。这样由上式可得：
由于 ，所以
这个时候红宝石对 的光是透明的。
12．短波长(真空紫外、软X射线)谱线的主要加宽机构是自然加宽。试证明峰值吸收截面 。
证明：峰值吸收截面为
而
所以代入可以得到：
得证。
13．已知红宝石的密度为 ，其中 所占比例为0.05%(重量比)，在波长为694.3nm附近的峰值吸收系数为0.4cm-1，试求其峰值吸收截面(T=300K)。
(2)在 时间内自发辐射的光子数为：
所以
(3)量子产额为：
无辐射跃迁导致能级2的寿命偏短，可以由
定义一个新的寿命 ，这样
7．二能级的波数分别为 和 ，相应的量子数分别为 和 ，上能级的自发辐射概率 ，测出自发辐射谱线形状如图4.1所示。求
(1)中心频率发射截面 ；
(2)中心频率吸收截面 。
(能级简并度和相应量子数的关系为 ，可设该工作物质的折射率为1.)
因为 与 相比很大，这表示粒子在 能级上停留的时间很短，因此可以认为 能级上的粒子数 ，因此有 。这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求解。
由(I)式可得：
代入式(V)得：
由于
所以
红宝石对波长为694.3nm的光透明，意思是在能量密度为 的入射光的作用下，红宝石介质内虽然有受激吸收和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是 。而要使入射光的能量密度等于出射光的能量密度，必须有 为常数，即 ，这样式(VI)变为：
第四章 电磁场与物质的共振相互作用
1 静止氖原子的 谱线中心波长为632.8nm，设氖原子分别以0.1c、0.4c、0.8c的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？
解：根据公式
可得： 代入不同速度，分别得到表观中心波长为：
， ，
2．设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为 。试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L时，接收屏上的干涉光强周期地变化 次。
式中 和 分别为镜 开始移动的时刻和停止移动的时刻； 和 为与 和 相对应的 镜的空间坐标，并且有 。
得证。
3.在激光出现以前， 低气压放电灯是很好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估算在77K温度下它的605.7nm谱线的相干长度是多少，并与一个单色性 的氦氖激光器比较。
解：这里讨论的是气体光源，对于气体光源，其多普勒加宽为
解： 气体在室温(300K)下的多普勒线宽 为
气体的碰撞线宽系数 估算,根据 气体的碰撞线宽与气压p的关系近似为
可知,气体压强为 时的碰撞线宽约等于碰撞线宽系数.
再由 和 ,其中
可估算出其值约为
当 时，其气压为
所以，当气压在 附近时以多普勒加宽为主，当气压比 大很多时，以均匀加宽为主。
5．氦氖激光器有下列三种跃迁，即 的632.8nm， 的 和 的 的跃迁。求400K时它们的多普勒线宽，分别用 、 、 为单位表示。由所得结果你能得到什么启示？
解。根据线型函数 的定义，图中的 与线型函数最大值 对应，利用
线型函数归一化条件 的意义对应图线下方面积为1，
8.根据4.3节所列红宝石的跃迁几率数据，估算 等于多少时红宝石对 的光是透明的。(红宝石，激光上、下能级的统计权重 ，计算中可不计光的各种损耗。)
解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为
其中（II）式可以改写为
式中，M为原子（分子）量， 。对 来说，M=86，相干长度为
对于单色性 的氦氖激光器，其相干长度为
可见，氦氖激光器的相干长度要比 低气压放电灯的相干长度要大得多。
4．估算 气体在室温(300K)下的多普勒线宽 和碰撞线宽系数 。并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。(提示 分子间的碰撞截Hale Waihona Puke Baidu )