常微分方程发展简史—经典阶段

第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段

一、引 言

Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家.

Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了.

在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.

作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型.

给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设:

模型假设:

121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的；

221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)；

321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. 421()H 环境资源是无限的.

确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数:

t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度,

b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率.

模型的建立与求解:

考查时间段[,]t t t +∆ (不失一般性, 设0t ∆>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足:

t t ∆+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ∆内新出生个体数 – t ∆内死亡个体数,

即

()()()(),x t t x t bx t t dx t t +∆-=∆-∆

亦即

()()()(),x t t x t b d x t t +∆-=-∆ 令0t ∆→，可得

()()():()dx t b d x t rx t dt

=-= 满足初始条件0(0)N N =的解为

()00().b d t rt x t x e

x e -== 于是有

0r >，即 b d >，则有 lim (),t x t →∞

=+∞ 0r =，即 b d =，则有 0lim (),t x t N →∞

= 0r <，即 b d <，则有 lim ()0.t x t →∞

= Malthus 模型的积分曲线 ()x t 呈“J ”字型, 因而种群的指数增长又称为“J ”型增长.

二、常微分方程发展简史

常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积分是它的母体, 生产生活实践是它生命的源泉. 300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。

按照历史年代划分, 常微分方程研究的历史发展大体可分为四个阶段：

● 18世纪及其以前；

● 19世纪初期和中期；

● 19世纪末期及20世纪初期；

● 20世纪中期以后。 按照研究内容分可以分为：

● 常微分方程经典阶段；

● 常微分方程适定性理论阶段；

● 常微分方程解析理论阶段；

● 常微分方程定性理论阶段。

1、常微分方程经典阶段：18世纪及其以前

尽管在Napier John 所创立的对数理论（讨论过微分方程的近似解）以及da Vinci Leonardo 的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程的思想萌芽, 但人们通常认为常微分方程

的开端工作是由意大利科学家Galileo完成的. 现在通常称为弹性理论这一领域中的问题促进了微分方程的研究. 17世纪欧洲的建筑师们在建筑教堂和房屋时, 需要考虑垂直梁和水平梁在外力作用下的变形, 以及当外力撤销时梁的恢复程度, 也就是梁的弹性问题. 当时的建筑师们处理此类问题大多依赖于经验. Galileo从数学角度对梁的性态进行了研究, 将研究成果记录在《关于两门新科学的对话》一书中, 这些研究成果成为常微分方程开端.

饿狼扑兔问题：

一只兔子正在洞穴正南面60码的地方觅食，一只饿狼此刻正在兔子正东100码的地方游荡。兔子回首间猛然遇见了饿狼贪婪的目光，预感大难临头，于是急忙向自己的洞穴奔去。说时迟，那时快，恶狼见即将到口的美食就要失落，立即以一倍于兔于的速度紧盯着兔子追去。于是，狼与兔之间，展开了一场生与死的惊心动魄的追逐。

问：兔子能否逃脱厄运？

⏹一阶常微分方程

从17世纪末开始, 摆的运动, 弹性理论及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程, 这些问题在当时往往以挑战的形式被提出而在数学家之间引起热烈的讨论. 常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中, 或者出现在那些常常重新登载书信中建立的或说明的结果的刊物中. 某人宣布一个结果往往引起另一个人的申辩, 说他更早作了完全相同的工作. 由于存在着激烈的竞争,这种申辩不一定是真实的. 有些证明只是概述, 而且弄不清作者掌握的详情. 同样, 在信上写着的一般解法也仅仅是特例的说明. 由于这些原因, 我们即使不考虑这个问题的严密性, 也很难指出谁是首先得到这些结果的人. 质点动力学是这个阶段研究的问题的主要来源之一。

1693年, Huygens在《教师学报》中明确说到了微分方程, 而Leibniz在同年的《教师学报》的另一篇文章中称微分方程为特征三角形的边的函数. 我们现在所学到的关于常微分方程的观点大约直到1740年才出现.

Bernoulli James用微积分求解常微分方程解析解的先驱者之一.

●1690年, Bernoulli James研究了与钟摆运动有关的``等时曲线问题: 求一条曲线, 使得摆

沿着它作一次完全的振动时间相等, 无论摆所经历的弧长的大小". Bernoulli James通过分析建立了常微分方程模型, 并用分离变量法解出了曲线方程，即摆线.

●1690年, Bernoulli James提出了“悬链线问题：求一根柔软的但不能伸长的绳子悬挂于两

固定点而形成的曲线”. Leibniz称此曲线为悬链线. 在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线.

●这个问题早在15世纪, Leonardo da Vinci已经考虑过此问题. Galileo比Bernoulli James

更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。Huygens 在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。在1691年6月的《教师学报》上, Leibniz G, Huggens C (62岁), Bernoulli John 都发表了各自的解答, Huggens的解答是几何的且是不清楚的. John所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程，解此方程并适当选取参数，即得悬链线.也就是常微分方程教材中采用的解法. Leibniz用微积分的方法也得到了这个结果. John能够解决了悬链线问题, 而他的哥哥James提出这个难题却不能解决, 所以他感到莫大的骄傲.这两个人在学术上一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，James做了一年也没有结果，实在是很没面子。

Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（丹尼尔·伯