用基本不等式求最值六种方法

用基本不等式求最值六种方法一．配项
例1：设x>2,求函数y=x+9
2
x-
的最小值
解析：y=x-2+
9
2
x-
+2≥8 当x-2=
9
2
x-
时，即x=5时等号成立
例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值
法1：ab=a+b+3≥当a=b3即ab≥9当a=b=3时
等号成立。

法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3
二．配系数
例3:设0<x<1,求
解析：
当
三．重复使用不等式
例4：已知a>b>0，求2a+16
()
a b b
-
的最小值
解析：2a+16
()
a b b
-=2
a b b
-+
（）+16
()
a b b
-
≥4(a-b)b+16
()
a b b
-
≥
当时，等号成立。

四．平方升次
例5：当x>0时，求函数的最大值。

解析：y2=x2+4-x2=4+≤4+［x2+)2］
=8 当，即时，y取得最大值.
五．待定系数法
例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。

解析：y=2sin 2x+2sinxcosx
=2 sin 2x+
2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a
+ =a+22(21)sin a a x
a
+- 若为定值，则221a a +-=0，+1,
所以y 时成立。

六． 常值代换
例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1
y 的最小值
解析：1x +1y =13(x+2y)(1x +1y )=1+13(2y x +x
y )≥1+23
当且仅当2y
x =x
y ，且x+2y=3，即-1),y=3
2)时，取
得最小值为1+23。