最优化问题及其基本概念

1000km以上每增加1至100km运价增加5万元 1单位钢管的公路运价：0.1万元/km（不足整公里部分按整公里计）
（1）制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小 ）制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小. （2）分析对购运计划和总费用影响：哪个钢厂钢管销价的 ）分析对购运计划和总费用影响： 变化影响最大；哪个钢厂钢管产量上限的变化影响最大？ 变化影响最大；哪个钢厂钢管产量上限的变化影响最大？ （3）讨论管道为树形图的情形 ）
A17
70 42 10
A14
S5
220
S1
12
A13
210
A12
480
A9
A10
300
A11
A8
A6 205
A7
A5
A4
A3
A2
A1
问题1的基本模型和解法 问题 的基本模型和解法
总费用最小的优化问题
总费用：订购，运输（由各厂Si经铁路、公路至各点Aj, i=1,…7; j=1, …15 ），铺设管道Aj Aj+1 （j=1, …14) 最优购运计划 由Si至Aj的最小购运费用路线及最小费用cij 由Si至Aj的最优运量xij 由Aj向Aj Aj-1段铺设的长度zj及向Aj Aj+1段铺设的长度yj 约束条件 钢厂产量约束：上限和下限（如果生产的话） 运量约束：xij对i求和等于zj 加yj； yj与 zj+1之和等于Aj Aj+1段的长度lj
最优化问题及其基本概念
因为人类所从事的一切生产或社会活动均 是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或 审美取向的支配下进行的，经常面临求解一个 可行的甚至是最优的方案的决策问题。 由此决定了多数实际应用问题的数学建模 过程，可以用“明确决策变量、决策目标以及 在策略选择中所应满足的一些限制性要求”来 比较粗略的概况其一般的思考模式。 • 最优化问题举例 • 最优化方法的基本概念
最优化问题的一些典型的分类
根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题 函数优化问题与 函数优化问题 组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题 组合优化问题 为函数优化问题，否则，若一个最优化问题的有的决策 变量为离散取值，则称之为组合优化问题； 另外的一种分类方式是根据问题中目标、约束条件 函数的形式或性质来加以划分的：若一个最优化问题的 目标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之 为线性规划 线性规划问题，否则称之为非线性最优化 非线性最优化问题； 线性规划 非线性最优化 在生产、经济与管理等领域中遇到的大量最优决策 问题，对一个方案的评价是多角度多指标的，反映在数 学模型中，优化的目标是关于决策变量的一个函数组， 我们称之为多目标规划 多目标规划问题。 多目标规划
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பைடு நூலகம்
┇ ┇ … xmn …
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s1 s2 sm
销量
dn
于是得到下列一般运输问题的模型： Min f = ∑ ∑ cij xij
i=1 j=1 n m n
s.t.∑ xij ≤si i = 1,2,…,m
j=1 m i=1
∑xij ≤(=,≥)dj j = 1,2,…,n
xij ≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
480 31 680
A9
A10
300
A11
S1~S7 钢管厂 铁路 火车站 公路 管道 450 里程（km） （沿管道建有公路）
1150 600 450 80 2 3 750 606 10
5
10
201
A8
194
A6
205
A7
A5
A4 A3
301
104
A2
A1
由钢管厂订购钢管， 由钢管厂订购钢管，经铁 公路运输， 路、公路运输，铺设一条 钢管管道 A1 → A2 → ⋯ → A15
内取值； 称决策变量的函数 f ( X ) 为该最优化模型的目标函数； 称 模 型 中 关 于 决 策 变 量 的 等 式 或 不 等 式 ci ( X ) ≥ 0( i = 1..m1 ) 、
ci ( X ) = 0( i = m1 + 1..m ) 为约束条件；
而称满足全部约束条件的空间 R n 中的点 X 为该模型的可行解； 称 D = { X ∈ R n | ci ( X ) ≥ 0( i = 1..m1 )且ci ( X ) = 0( i = m1 + 1..m )} ， 即 由所有可行解构成的集合为该模型的可行域。
钢厂的产量和销价（1单位钢管=1km管道钢管）
钢厂 i 产量上限 1 2 800 155 3 1000 155 4 2000 160 5 2000 155 6 2000 150 7 3000 160
si
800 160
销 价 pi （ 万 元）
钢厂产量的下限：500单位钢管 1单位钢管的铁路运价
里程(km) 运价(万元) 里程(km) 运价(万元) ≤300 20 501～600 37 301～350 23 601～700 44 351～400 26 701～800 50 401～450 29 801～900 55 451～500 32 901～1000 60
一、最优化问题举例
利用最优化理论和方法解决生产实践以及 科学研究中的具体问题，一般分为如下两 个步骤： • 建立数学模型； • 进行数学加工和求解
1、运输问题
假设某种产品有
Ai ( i = 1, 2...m )
m
个生产地，用
i
表示，其产量分别为 s ( i = 1, 2...m )；
B j ( j = 1, 2...n)
引例 钢管订购和运输
S3 S2
690 1200 720
520
290 160 320
30
S7
20
S4
690 160 70 170 88 462 10 62
70 30
20
S6
110 500 420
A15
A14
202
S5
220
S1
1100 20 195 306 12
70 42 10 210
A13 A12
称 X ∈ D 为最优化模型 Min{ f ( X ) | X ∈ D } 的局部最优解， 若存在
*
δ > 0 ， 对 ∀X ∈ D ∩ { X ∈ R n |
f (X*) ≤ f (X )。
( xi − xi* )2 < δ } ， 均 有 ∑
i =1
n
基本概念
（全局）最优解一定是局部最优解，但反之不然，其关系可由 下图得到反映：
上图为函数 y = x ⋅ sin( x 2 ) 在区间 [−2,3.5] 上的一段函数曲线（由 − Mathematica 绘制）
最优化问题的一些典型的分类
• 函数优化问题 组合优化问题 函数优化问题与组合优化问题 • 线性规划问题 非线性最优化问题 线性规划问题与非线性最优化问题 • 多目标规划
∑x
j =1
15
ij
∈ {0} ∪ [500, si ] = zj + yj
i = 1,2,⋯,7 j = 1,2,⋯,15 j = 1,2,⋯,14 i = 1,2,⋯,7, j = 1,2,⋯,15
∑x
i =1
7
ij
y j + z j +1 = l j xij ≥ 0, z j ≥ 0, y j ≥ 0 z1 = 0, y15 = 0
有 n 个消费地点，用
表示，需要
该种物资， 其需求量分别为 d ( j = 1, 2...n) 。 已知由 j 第 i 个产地到第 j 个销地的单位物资运输成本为
c ij 。 试构造一个运输方案， 使总的运输成本最小。
运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21 cm1 d1
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n cm2 d2
对于产销平衡问题，可得到下列运输 问题的模型：
m n
Min f = ∑ s.t.∑
n
i=1 j=1
∑ cij xij
j=1 m
xij = si
i = 1,2,…,m (4-5) j = 1,2,…,n (4-6)
∑ xij = dj i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最大或 营业额最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时，模 型中可直接加入（等式或不等式）约束； 产销不平衡的情况。当销量大于产量时 可加入一个虚设的产地去生产不足的物资， 当产量大于销量时可加入一个虚设的销地去 消化多余的物资。
由Aj向Aj Aj-1段铺设的运量为 1+ … +zj= zj( zj+1)/2 由Aj向Aj Aj+1段铺设的运量为 1+ … +yj= yj( yj+1)/2 基本模型
7 15
二次规划
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
0.1 15 min ∑ ∑ cij xij + ∑ ( z j ( z j + 1) + y j ( y j + 1)) 2 j =1 i =1 j =1 s.t .
产量
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A1 A2 Am
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┇ ┇ … cmn …
┇
s1 s2 sm
销量
dn
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 运输变量表。
销地 产地
B1 x11 x21 xm1 d1
B2 … Bn x12 … x1n x22 … x2n xm2 d2
产量
┇
A1 A2 Am
一般数学模型
以 x1 、 x 2 、 x3 分别表示生产 A、B、C 三种产品的量， 称之为决策变量
max s.t.
z = 2 x1 + 4 x2 + 3 x3
目标函数(利润最大化） ⇐ 目标函数 利润最大化）
3 x1 + 4 x2 + 2 x3 ≤ 60 2 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 40 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 80 x1 , x2 , x3 ≥ 0
2、生产计划问题
某厂利用 a、b、c 三种原料生产 A、B、C 三种产品，已知生 产每种产品在消耗原料方面的各项技术条件和单位产品的 利润，以及可利用的各种原料的量（具体数据如下表），试 制订适当的生产规划使得该厂的总的利润最大。 产品 生产每单位产品所消耗的原料 现有原 原料 料的量 A B C a 3 4 2 60 b 2 1 2 40 c 1 3 2 80 单位产品利润 2 4 3
S3 S2
1200 690 170 720
520
290
30
S7
20
S4
690 160 130 88
A18
320
160
A20
100
70 30
20
70
260
A21
S6
190 462
A19
110 62 420 10
A15
500
A16
202 1100 20 195 306 1150 600 450 80 2 3 104 301 750 606 10 5 194 10 31 680 201
模型求解
利用MATLAB软件包求解得： 软件包求解得： 利用 软件包求解得
S6 S7 钢 厂 S1 S2 S3 S4 S5 订购量 800 800 1000 0 1015 1550 0 1278632 总费用
订购和运输方案表
A 订购量 2 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 800 800 0 179 A3 201 11 11 0 358 0 0 A4 133 14 186 0 242 0 0 A5 200 295 0 0 0 0 0 A6 266 0 0 0 0 0 0 A7 0 0 0 0 0 0 0 A8 0 300 664 0 0 0 0 A9 0 0 0 0 0 0 0 A10 0 0 0 0 0 0 0 A11 0 0 0 0 415 351 0 A12 0 0 0 0 0 86 0 A13 0 0 0 0 0 333 0 A14 0 0 0 0 0 621 0 A15 0 0 0 0 0 165 0
例、求解如下非线性规划:
Min s.t.
− x1 + 2 x1 − x 2
2
2
0 ≤ x 2 ≤ x1 ≤ 2
。
基本概念
称 X * ∈ D 为最优化模型 Min{ f ( X ) | X ∈ D} 的（全局）最优 解，若满足：对 ∀X ∈ D 均有 f ( X * ) ≤ f ( X ) ，这时称 X * ∈ D 处的 目标函数值 f ( X * ) 的为最优化模型 Min{ f ( X ) | X ∈ D } 的（全局） 最优值；
⇐ 约束条件
二、最优化方法的基本概念
Min{ f ( X ) | X ∈ D}
与
Min f (X ) s.t . ci ( X ) ≥ 0 ( i = 1..m1 ) ci ( X ) = 0 ( i = m1 + 1..m )
• 基本概念 • 最优化问题的一些典型分类
基本概念
X = ( x1 , x2 ⋯ xn )T 表示一组决策变量， i ( i = 1..n) 通常在实数域 R x