数学必修四北师大版正切函数的诱导公式教案

7.3 正切函数的诱导公式

教学分析

正切函数的诱导公式是高中阶段最后研究的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后有同角三角函数的基本关系,不仅是对正、余弦诱导公式探究方法的一种再现,更是一种提升,同时又为以后研究三角函数问题奠定了基石.教材安排上是单刀直入,只给出正切函数图像,没有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处理很微妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在研究方法上类似,学生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处理发展了学生的思维,留给了学生一定的提示空间;这样不仅发挥了学生的主观能动性,增强动脑、动手的能力,而且在此过程中,学生更会有一个回顾及施展自己能力的机会.教学过程中,教师不要侵占了学生这一空间.

我们已经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研究图像和性质,再来研究它的诱导公式.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 三维目标

1．知识与技能

理解正切函数的定义，了解正切线的概念，会画正切函数的图像．理解正切函数的性质，并能掌握正切函数的诱导公式．

2．过程与方法

通过正切函数的学习，培养学生运用数形结合思想分析、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过本节的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生类比推理问题的能力，从而形成从具体到抽象、从感性到理性的思维过程．

重点难点

教学重点:正切函数的概念、诱导公式及其应用.

教学难点:熟练运用诱导公式和性质对三角函数进行求值、化简和比较大小

课时安排

1课时

教学过程

一．导入新课

思路1.先让学生回忆正弦、余弦函数诱导公式的探究过程,因是在学习正弦、余弦函数图像与性质前,所以是借助单位圆推得的.学过正弦、余弦函数图像后,你能从正弦、余弦函数图像上看出来吗？我们上节课已经学过了正切函数的图像和性质,你能观察归纳出正切函数的诱导公式吗？让学生画图归纳正切函数的诱导公式,由此展开新课.

思路2.设置情景,先让学生画正切函数图像

二．提出问题，新课引入

观察图像得到归纳角①α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.

页 1 第

?±α有怎样的关系？②角α与角2怎样记忆正切函数的诱导公,③类比正弦、余弦诱导公式的

记忆方法式？怎样将任意角的三角函数问题,④学过三角函数诱导公式后,想一想转化为锐角

三角函数的问题？然后教师让学生动手画出正切函数图;学生完成问题①的计算后,心中就已经

有了结论活动:学生画图的过程就是集中注意力对已有的猜,;实际上像,以加强学生对正切函数

图像的感知tanx＝动态演示函数y想进行进一步观察、思考、归纳、验证的过程.教师适时地演

示课件,πy=tan(-x),y=tanx与与y=tan(-x),y=tanx与y=tan(2π与y=tan(2π+x),y=tanx让学

生观察同一自变量的值所对应不同函数的函数值之,+x)的图像-x),y=tanx与y=tan(π:

从而归纳得出正切函数以下的诱导公式间的关系,1

图; αα)=-tan＝tanα;tan(-tan(2π+α); -tanα-α)＝;tan(π-α)＝-tanαπtan(2.

tanα+α)＝tan(ππα, α,π-2π+α,2π- 以上公式都叫作正切函数的诱导公式，它们分

别反映了-α,

的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律α + 吗？

α的三角函数值等于α的同名函数值，再放上原函π+-α, ,2π-α,π, 2提示：-απ+α简

化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．数的象限符号.

利用我们学习过;无论角α是哪个象限的角,上面的诱导公式都是正确的我们可以验证, 的诱导

公式很容易证明以下公式??. α-α)=cot+α)=cotαtan(; tan(22其中角α可以为使得等式两边都有意义的任,以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式利,,我们就可以利用诱导公式将

任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题意角.这样: 用三角函数诱导公式的变换程序可用如下的框图来表示?这些诱导公式可以,±α的正切函数的诱导公式,-α,π±α, 要求学

生熟记2π±α2求值,利用这些熟知角进行化简、范围内°),进而找到锐角帮助我们把任意角化到［0°,360自己得出正切函数诱导公式的记余弦函数诱导公式的记忆歌诀,或证明等.让学生类比正弦、.

忆歌诀我们就能将利用三角函数诱导公式,90°之间,0 我们最熟悉的三角函数值是角在°到°

360对于任一0°到,360°之内的角化为0°到90°之间的角来求它的三角函数值0°到.

解题时可根据题目条件灵活选用90°的非负角),的角β,有四种可能(其中α为不大于??),?,0?

当90?,[????),?,180当90180??,?[??β=???),?180?,270当??180?,[????).360?当270?[?,?360?,?小试身手√”错误的打“×”）判断下列命题是否正确。1.（正确的打“页2 第

(1)tan(α－2π)＝－tan α ( × )

(2)tan(α－π)＝－tan α ( × )

(3)tan（α－π/2）＝－cot α ( √ )

2．化简tan(－α)＋tan(3π＋α)＝ ( )

A．0 B．－2tan α

C．tan α D．2tan α

3．tan(－1 920°)的值是 ( )

A． 1 B．－1

C. 3 D．－3

三．课堂练习

题型一：利用正切函数诱导公式化简求值

????))sin(2tan(??例1 ：化简求值