一元一次方程知识点及经典例题

一、知识要点梳理

知识点一：方程和方程的解

1。方程：含有_____________的______叫方程

注意：a.必须是等式 b。必须含有未知数。

易错点:（1）。方程式等式，但等式不一定是方程；(2)。方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数.

考法：判断是不是方程：

例：下列式子：(1）。8—7=1+0 （2)。

1、一元一次方程：

一元一次方程的标准形式是：ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）。

要点诠释:

一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2) 未知数的次数是1次；

(3）整式方程．

2、方程的解：

判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边，看两边是否相等．

知识点二:一元一次方程的解法

1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

等式的性质1：等式两边加（或减)同一个数（或式子），结果仍相等。

如果,那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么;如果,那么

要点诠释：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。

即：（其中m≠0）

特别须注意:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）

化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1。6。方程的

右边没有变化,这要与“去分母"区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：

解一元一次方程的一般步骤

变形

步骤

具体方法变形根据注意事项

去分母

方程两边都乘以

各个分母的最小公倍

数

等式性质2

1．不能漏乘不含分母的项;

2．分数线起到括号作用，去掉分母

后，如果分子是多项式，则要加括号

去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 1．分配律应满足分配到每一项 2．注意符号，特别是去掉括号

移 项 把含有未知数的项移到方程的一边,不含有未知数的项移到

另一边

等式性质1

1．移项要变号;

2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边

合并同 类 项 把方程中的同类项分别合并,化成“b ax =”的形式（0≠a ）

合并同类项法则

合并同类项时,把同类项的系数相加,字母与字母的指数不变

未知数的系数

化成

“1”

方程两边同除以未知数的系数a ，得a b x = 等式性质2 分子、分母不能颠倒

要点诠释：

理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用：

①a≠0时，方程有唯一解；

②a=0,b=0时,方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。 牛刀小试 例1、解方程 (1）y-5

2

221+-=-y y

例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值

已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同,求m 的值。

例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：

73

|

12|=-x

二、经典例题透析

类型一：一元一次方程的相关概念

1、已知下列各式：

①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦

＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是（）

A、5

B、6

C、7

D、8

举一反三：

[变式1］判断下列方程是否是一元一次方程:

(1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 (4）2x2—1=1—2(2x—x2）

[变式2］已知：(a—3）(2a+5)x+(a—3)y+6＝0是一元一次方程,求a的值.

［变式3]（2011重庆江津)已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是（ ) A．－5 B．5 C．7 D．2

类型二：一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤,并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。

1．巧凑整数解方程：

2、

举一反三：

[变式］解方程：＝2x－5

2．．巧去括号解方程:

4、

举一反三：

［变式]解方程：

4．运用拆项法解方程：

5、

5．巧去分母解方程：

6、

举一反三：

［变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤,在后面的括号内填写变形依据。

解：原方程可变形为 (__________________________）

去分母，得3(3x+5）=2（2x-1)。（__________________________）

去括号，得9x+15=4x—2。（____________________________）

(____________________),得9x—4x=-15-2. （____________________________）

合并，得5x=-17。（合并同类项)

（____________________）,得x=. （_________________________）

6．巧组合解方程:

7、

思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3,左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程.

7．巧解含有绝对值的方程：

8、|x－2|－3＝0

思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若｜x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号,如解法二。

举一反三：

【变式1】（2011福建泉州)已知方程，那么方程的解是________。