过程控制系统 解耦控制系统

pij λ ij = qij
第一放大系数（开环增益） pij 第一放大系数（开环增益） 第二放大系数（闭环增益） qij 第二放大系数（闭环增益）
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2. 相对增益与相对增益矩阵
第一放大系数p 开环增益） 第一放大系数 ij （开环增益） 指耦合系统中， 通道外， 指耦合系统中 ， 除Uj到 Yi通道外 ， 其它通道 全部断开时所得到的U 通道的静态增益; 全部断开时所得到的 j到Yi通道的静态增益 调节量U 改变了∆ 所得到的Y 即 ， 调节量 j 改变了 ∆ Uj 所得到的 i 的变化 之比， 其它调节量U 量 ∆ Yi 与 ∆ Uj 之比 ， 其它调节量 k（k≠j） 均 ） 不变。 不变。 pij可表示为： 可表示为：
uj
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2. 相对增益与相对增益矩阵 相对增益的计算
确定相对增益，关键是计算第一放大系数和 确定相对增益， 第二放大系数。 第二放大系数。 一种方法是偏微分法 例题见课本p.135） 是偏微分法（ 一种方法是偏微分法（例题见课本 ）
• 通过计算过程的微分分别计算出第一放大系数和 第二放大系数，从而得到相对增益矩阵。 第二放大系数，从而得到相对增益矩阵。
λ ij = pij ⋅ h ji
KH = I
H = K −1
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λ ij =
pij q ji
2. 相对增益与相对增益矩阵
相对增益矩阵Λ 可表示成矩阵K中每个元素与 相对增益矩阵 Λ 可表示成矩阵 中每个元素与 逆矩阵K 的转置矩阵中相应元素的乘积（ 逆矩阵 -1 的转置矩阵中相应元素的乘积 （ 点 积），即
第二通道与第一通道存在不同程度的耦合，特别当 第二通道与第一通道存在不同程度的耦合，特别当λ11 =0.5时， 时 两回路存在相同的耦合。此时无论怎样变量配对， 两回路存在相同的耦合。此时无论怎样变量配对，耦合均不能 解除，必须进行解耦； 解除，必须进行解耦； 闭合第二个回路将减小Y1和 之间的增益 说明回路间有耦合。 之间的增益， 闭合第二个回路将减小 和U1之间的增益，说明回路间有耦合。 Λ11增加，耦合程度随之增加，大到一定程度将不能独立控制 增加， 增加 耦合程度随之增加， 两个输出变量； 两个输出变量； 第二个回路的断开或闭合将会对Y1有相反的作用， 第二个回路的断开或闭合将会对 有相反的作用，两个控制回 有相反的作用 路将会以“相互不相容”的方式进行关联， 配对， 路将会以“相互不相容”的方式进行关联，如Y1与U1配对，将 与 配对 22 造成闭环系统的不稳定。 造成闭环系统的不稳定。
∂Yi p ij = ∂U j
U k = const
Uj → Yi的增益 通道投运， （仅Uj → Yi通道投运， 其他通道不投运） 其他通道不投运）
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2. 相对增益与相对增益矩阵 第二放大系数q 闭环增益） 第二放大系数 ij （闭环增益）
指除所观察的U 通道之外， 指除所观察的 j 到 Yi 通道之外 ， 其它通道均 闭合且保持Y 闭合且保持 k（k≠j）不变时，Uj到Yi通道之 ）不变时， 间的静态增益。 间的静态增益。 只改变被控量Y 所得到的变化量∆ 即，只改变被控量 i所得到的变化量∆Yi与Uj 的变化量∆ 之比。 的变化量∆Uj之比。 qij可表示为： 可表示为：
PC FC
u1
PT
FT
u2
图 6-8 关联严重的控制系统
3
1. 耦合过程及其要解决的问题
通常认为，在一个多变量被控过程中， 通常认为，在一个多变量被控过程中，如果每一个被控 变量只受一个控制变量的影响，则称为无耦合过程 无耦合过程， 变量只受一个控制变量的影响，则称为无耦合过程，其分 析和设计方法与单变量过程控制系统完全一样。 析和设计方法与单变量过程控制系统完全一样。 存在耦合的多变量过程控制系统的分析与设计中需要解决 的主要问题： 的主要问题： 1. 如何判断多变量过程的耦合程度？ 如何判断多变量过程的耦合程度？ 2. 如何最大限度地减少耦合程度？ 如何最大限度地减少耦合程度？ 3. 在什么情况下必须进行解耦设计，如何设计？ 在什么情况下必须进行解耦设计，如何设计？
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2. 相对增益与相对增益矩阵
∆U1
K11 K 21 K12
∆Y1
∆U 2
K 22
图8.9 双变量静态耦合系统
∆Y2
12
2. 相对增益与相对增益矩阵
由图可得
∆Y1 = K11∆U1 + K12 ∆U 2 ∆Y2 = K 21∆U1 + K 22 ∆U 2
（8.14） ）
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2. 相对增益与相对增益矩阵
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3. 解耦控制系统设计
如果要实现对U 之间的解耦， 如果要实现对 c1与Y2、Uc2与Y1之间的解耦， 根据前馈补偿原理可得， 根据前馈补偿原理可得，
U c1G p 21 ( s ) + U c1 N 21 ( s )G p 22 ( s ) = 0
U c 2 G p 12 ( s ) + U c 2 N 12 ( s ) G p 11 ( s ) = 0
λ11 >1
λ11 <0
变量配对的实例
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变量配对的实例
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变量配对的实例
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变量配wk.baidu.com的实例
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变量配对的实例
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3. 解耦控制系统设计
在耦合非常严重的情况下， 在耦合非常严重的情况下，最有效的方法是采 用多变量系统的解耦设计。 用多变量系统的解耦设计。
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3. 解耦控制系统设计
R1
Gc (s)
结论（相对增益的性质） 结论（相对增益的性质）：
相对增益矩阵中每行元素之和为1， 相对增益矩阵中每行元素之和为 ， 每列元 素之和也为1。 素之和也为1。
此结论也同样适用于多变量耦合系统。 此结论也同样适用于多变量耦合系统。 此结论可用作验算所求得的相对增益矩 阵是否正确。 阵是否正确。
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2. 相对增益与相对增益矩阵
U1
Gp11( s) Gp 21(s) Gp12 (s)
Y1
N12 ( s ) R2 Gc 2 ( s ) Uc2 U2
Gp 22 (s)
Y2
要实现对U 要实现对 c1与Y2间的解耦
U c1G p 21图s ) + U c1 N 21 ( s )G p 22 ( s ) = 0 ( 8.15 带前馈补偿器的全解耦系统
（8.31） ） （8.32） ）
引入K矩阵， 引入 矩阵，（8-14）式可写成矩阵形式，即 矩阵 ）式可写成矩阵形式，
∆Y K11 K12 ∆U1 1 ∆Y = K K ∆U 2 21 22 2
（8.15） ）
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2. 相对增益与相对增益矩阵
由（8-15）式得 ）
K22 K12 ∆U1 = ∆Y1 − ∆Y2 K11K22 − K12K21 K11K22 − K12K21 − K21 K11 ∆U2 = ∆Y1 + ∆Y2 K11K22 − K12K21 K11K22 − K12K21
相对增益所反映的耦合特性以及“变量配对”措 相对增益所反映的耦合特性以及“变量配对” 过程为例）： 施（以2*2过程为例）： 过程为例
λ11 =1 λ11 =0
0<λ11 <1
第二通道对第一通道无耦合作用， 对 的变量配对合适 的变量配对合适； 第二通道对第一通道无耦合作用，Y1对U1的变量配对合适； U1对Y1不发生任何控制作用，不能配对； 对 不发生任何控制作用 不能配对； 不发生任何控制作用，
解耦控制
est
1
解耦控制
学习内容
1 耦合过程及其要解决的问题 2 相对增益与相对增益矩阵 3 解耦控制系统的设计
2
1. 耦合过程及其要解决的问题
在一个生产装置中，往往需要设置若干个控制回路， 在一个生产装置中，往往需要设置若干个控制回路， 来稳定各个被控变量。在这种情况下，几个回路之间， 来稳定各个被控变量。在这种情况下，几个回路之间， 就可能相互关联，相互耦合，相互影响，构成多输入就可能相互关联，相互耦合，相互影响，构成多输入 多输出的相关（耦合）控制系统。 多输出的相关（耦合）控制系统。
另一种方法是增益矩阵计算法 另一种方法是增益矩阵计算法
• 先计算第一放大系数，再由第一放大系数直接计 先计算第一放大系数， 算第二放大系数，从而得到相对增益矩阵。 算第二放大系数，从而得到相对增益矩阵。
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2. 相对增益与相对增益矩阵
增益矩阵计算法
即由第一放大系数直接计算第二放大系数。 即由第一放大系数直接计算第二放大系数。
G c1 ( s )
U c1
N (s )
N 11 N 21 N 12
U1
G p (s)
Y1
R2
Gc2 (s)
U c2
N 22
U2
G p11 G p 21 G p12 G p 22
Y2
解耦器N（ 解耦器 （S）
图8.14 二输入二输出解耦系统
Y ( s ) = G p ( s )U ( s ) U ( s ) = N ( s )U c ( s )
Yk = const
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2. 相对增益与相对增益矩阵 相对增益矩阵Λ 相对增益矩阵Λ
由相对增益λ 元素构成的矩阵， 由相对增益λij元素构成的矩阵，即
λ11 λ12 λ λ22 21 Λ= M M λn1 λn 2
yi
L λ1n L λ2 n O M L λnn
Λ = K ∗ (K )
或表示成
−1 T
（8.22） ）
Λ = H ∗H
−1
T
（8.23） ）
可见，第二种方法只要知道开环增益矩阵即可 可见， 方便地计算出相对增益矩阵。
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2. 相对增益与相对增益矩阵
相对增益矩阵的特性
可以证明，矩阵Λ 行 可以证明，矩阵Λ第i行λij元素之和为
1 ∑ λij = det K j =1
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2. 相对增益与相对增益矩阵
令某一通道在其它系统均为开环时的放大系 数与该一通道在其它系统均为闭环时的放大 系数之比为λij，称为相对增益; 系数之比为 ，称为相对增益 相对于过程中其他调节量对 相对增益λij是Uj相对于过程中其他调节量对 该被控量Yi而言的增益（ Uj → Yi ）； 该被控量 而言的增益（ λij定义为
完全解耦的要求是，在实现解耦之后， 完全解耦的要求是，在实现解耦之后，不仅调节量 的要求是 与被控量之间以一对一对应， 与被控量之间以一对一对应，而且干扰与被控量之 间同样产生一一对应。 间同样产生一一对应。
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3. 解耦控制系统设计 一 前馈补偿解耦法
R1
G c1 ( s )
Uc1 N 21 ( s )
（8.16） ）
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2. 相对增益与相对增益矩阵
引入H矩阵 ， 引入 矩阵， 则 （ 8-16） 式可写成矩阵形式 ， 矩阵 ） 式可写成矩阵形式， 即
∆U1 ( s ) h11 ∆U ( s ) = h 1 21
h12 ∆Y1 ( s ) ∆Y ( s ) h22 2
Y ( s ) = G p ( s ) N ( s )U c ( s )
若是对角阵， 若是对角阵，则 可实现完全解耦
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3. 解耦控制系统设计
解耦控制设计的主要任务是解除控制回路或系 统变量之间的耦合。 统变量之间的耦合。 解耦设计可分为完全解耦和部分解耦 完全解耦和部分解耦。 解耦设计可分为完全解耦和部分解耦。
（8.17） ）
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2. 相对增益与相对增益矩阵
式中
K22 h11 = K11K22 − K12 K21
K12 h12 = − K11K 22 − K12 K 21
K21 h21 = − K11K22 − K12K21
1 qij = h ji
K11 h22 = K11 K 22 − K12 K 21
n
detK ∑ pij K ij = detK = 1 j =1
n
（8.26） ）
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2. 相对增益与相对增益矩阵
类似地，矩阵Λ 行 类似地，矩阵Λ第j行λij元素之和为
1 ∑ λij = det K i =1
n
∑
i =1
n
det K pij K ij = =1 det K
（8.27） ）
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2. 相对增益与相对增益矩阵
∂Yi qij = ∂U j
Yk =const
Uj → Yi的增益 不仅U 通道投运， （不仅 j → Yi通道投运，其 他通道也投运） 他通道也投运）
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2. 相对增益与相对增益矩阵
相对增益λ 定义为： 相对增益λij定义为：
∂Yi λij = = qij ∂U j pij
U k = const
∂Yi ∂U j