积分变换第1讲

因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角级数的形式如下:
fT
(t)

a0 2

n 1
(an
cos
mwt

bn
sin
nwt)
(1.1)
其中
a0

2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
2
an T
T
2 -T
fT (t) cos nwt d t
(n
1,2,)
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点
傅氏变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙 述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求 傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条 件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
线性性质 设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,是常数, 则 F [af1(t)+f2(t)]=aF1(w)+F2(w) (1.13)
jw 2 w 2
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电 势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械 系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类 问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
2, 只有有限个极值点
这两个条件实际上就是要保证函数是可积函 数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
不满足狄氏条件的例:
存在第二类间断点 f (t ) sin( 1)
t 在靠近 0处存在着无限多个极值 点.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变 化函数, 全部满足狄氏条件.
2
jbn
,n
1,2,3,


fT (t) c0
cne
jw nt

c e- jwnt -n

cne jwnt
n 1
n -
给定fT(t), cn的计算如下:
c 0

a0 2

1 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
当 n
1时 c n

an
- jb n 2
证 由傅氏变换的定义, 可知
F
[ f (t t0 )]
-
f
(t

t0
)
e- jwt d
t
(令t t0 u)

f (u) e- jw (ut0 )d u
-
e jwt0 f (u) e- jwud u e jwt0 F [ f (t)] -
这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线 性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线 性组合. 它的证明只需根据定义就可推出.
同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即
F -1[aF1(w)+F2(w)]=af1(t)+f2(t) (1.14)
2. 位移性质
F [f( t t0 ) ] e j w t0 F [f( t)]( 1 .1 )
f T ( ) e - jw n
d


e
jw
nt
最后得
f (t) 1
2p
-
-
f
( )e-jw
d ejwt
dw
此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称 傅氏积分公式,
傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2, f(t)在 无限区间(-, +)上绝对可积, 则有

f
(t)e-jwtdt
-
f (t)e-jwt jw f (t)e-jwtdt
-
-
jwF [ f (t)]
推论
F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)]. (1.18)
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F(w) F
所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从 而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求 导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0 ) lt i0q m (0 tt)- q (0 ) lt i0 m - 1 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个 函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样 的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,
-
-
-
且有 d t f (t ) d t d t f (u ) d u f (t )
2
bn

2 T
T
2 -T
fT (t) sin nwt d t
2
(n 1,2,)
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
由 cos j e jj e - jj , sin j - j e jj - e - jj 得 :
2
2
fT
(t)

a0 2


an
n1
e jnwt
Tl im fT(t)f(t)
f(t)
O
t
fT1(t)
O
t
fT2(t)
由公式
fT (t )

1 T
n -

T 2 -T 2
f T ( ) e - jw n
d


e
jw nt
可知
f
(t)

lim
T
1 T
n -

T 2 -T 2
衰减函,是 数工程技术中常一 碰个 到函 的.
f(t)
t
根据(1.8)式, 有
F (w ) F [ f (t )] f (t ) e - jwt d t -
e - t e - jwt d t 0
e - ( jw )t d t 0
1
- jw
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)
进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的
电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数,
则
Baidu Nhomakorabea
0, t 0;
q(t) 1, t 0.
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
i(t)dd q(tt) lt i0q m (t tt)-q(t)
同样, (1.9)式右端的积分运算, 叫做F(w)的傅
氏逆变换.
F(w)称作f(t)的象函数, f(t)称作F(w)的象原函数. 可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个
傅氏变换对.
例1
求函
数 f (t)
0, e-t
,
t 0的傅氏变换 t 0
,其中 0.这个f (t)叫做指数

1 T
T
2 -T
fT (t ) cos
nwt d t -
2
- j 1 T
T
2 -T
fT (t ) sin
nwt d t
2
1 T
T
2 -T
fT (t )[cos
2
nw t - j sin nw t ] d t
1 T
T
2 -T
fT (t )e - jn wt d t
2
而
c - n
[- jtf(t)].
一般地, 有
dn
dwn
F(w) (- j)nF
[tn
f
(t)]
本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
t f (t ) d t的意思其实是
t
f (u) d u,
-
-
即我们看到 t f (t ) d t时必须将它理解为 -
t
f (u) d u -
例如 t e t d t t e u d u e u t e t - e - e t
积分变换
第1讲
积分变换
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
e- jnwt 2
-
jbn
e jnwt
- e- jnwt 2


a0 2

an n1
- jbn 2
e jnwt

an
jbn 2
e
-
j
n
wt

如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令 c0

a0 2
,
cn

an
2
jbn
,n
1,2,3,
c-n

an
简单记成d-函数. 有了这种函数, 对于许多集
中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源,
集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的 脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以 统一的方式加以解决.
工程上将d-函数称为单位脉冲函数, 可将d-函
数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线
段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的
n -

T 2 -T 2
f T ( ) e - jw n
d

e
jw
nt
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个 数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为 f(t), 即有
-
t0
d(t)
1

F(w)
1
O
t
O
w
可见, 单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏
变换对. 同理, d(t-t0)和e-jwt0 亦构成了一个
傅氏变换对.
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满
足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足
条件

| f(t)|dt -
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余 弦函数等。

an
jbn 2

cn

1 T
T
2 -T
f T ( t ) e j n w t dt
2
因此可以合写成一个式
子
c n

1 T
T
2 -T
f T ( t ) e - jw n t dt
2
(n 0, 1, 2, )

f T ( t )
c n e jw nt
n -

1 T
我们知道, 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条 件, 则在f(t)的连续点处, 有
f (t) 1
2p
-
-
f
()e-jw
dejwtdw
(1.7)
设 F(w) f (t)e-jwtdt -
(1.8)
则 f (t) 1 F(w)ejwtdw
f (t) 1
2p
-
-
f
( )e- jw
d ejwt
dw
(1.4)
成立,而左端的f (t)在它的间断点t处,应以
f (t 0) f (t -0) 来代替. 2
在(-,)绝对可积是指的| f (t) | dt收敛 -
傅氏变换
1.傅氏变换的概念
同理有
F -1[F (w w0 )] f (t) e jw0t
微分性质 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有
限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f (t)]
强度.
d(t)
1
O
t
d-函数有性质

d (t) d t 1 -

d (t) f (t) d t f (0) -
及

d (t
-
- t0 )
f
(t) d t

f
(t0 )
d-函数的傅氏变换为:
F(w)F[d(t)]
d (t)e-jwtdte-jwt 1
2p -
(1.9)
(1.8)式叫做f(t)的傅氏变换式, (1.9)式为F(w)的 傅式逆变换式, f(t)与F(w)可相互转换,可记为
F(w)=F [f(t)] 和 f(t)=F -1[F(w)]
还可以将f(t)放在左端, F(w)放在右端, 中间用
双向箭头连接:
f(t) F(w)
(1.8)式右端的积分运算, 叫做f(t)的傅氏变换,
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波