浅谈大学数学对数学思维的构建

浅谈大学数学对数学思维的构建作者：陈良莉

来源：《卷宗》2020年第16期

摘要：数学教育应该在传授数学知识点的过程培养学生的数学思维，大学数学的学习，不仅有助于专业课的学习，而且数学思维能影响学生的一生。本文阐述了数学思维中的形象思维、抽象思维、探索性思维、扩展性思维、创造性思维的定义，并说明在教学以及学习中如何着重培养这几种数学思维。

关键词：形象思维;抽象思维;探索性思维;扩展性思维;创造性思维

数学教育应着重其思维的培养，而不在于多解对一道题或少解错一道题，尤其是对大学生的数学教育。对于理工科的大学生来说，高等数学、线性代数、概率与数理统计这三门课是必修的基础课。这三门课的教学过程中，教师们应通过其知识点的传授时，侧重对学生们数学思维的培养。数学思维可分为形象思维、抽象思维、探索性思维、扩展性思维、创造性思维等。在教学过程中，每一种思维都不是单独存在的，各种思维应该穿插进行培养，为了比较这些思维的异同，本文将分别进行叙述。

1 形象思维

形象思维，是指通过事物的表象和具体形象来进行的思维，属于思维的初级阶段。在数学上，形象思维侧重于对概念重点信息的提取，从而理解定义并恰当应用;或是读题面，理解题意，并思索应用什么方法进行求解。

例如：设E为平面上一点集，即，P是平面上的一个点。若存在点P的一个邻域，使得，则P为E的内点。根据此定义我们可以提取的信息：P应该是点集E内部的点而且不能是边界上的点，根据此理解可把图画出，如下图，点P1就是点集E的内点。

从上面的例题可以看出，在讲解定义和例题时，侧重对定义和题面重点信息的提取并推出所需要的信息。从而培养学生观察信息和获取信息的能力。

2 抽象思维

抽象思维，是指把议论语言当作媒介、借助逻辑和概念分析来做出推理和判断的思维，属于思维的理性阶段。在高等数学这门课程里最抽象的章节是级数，无穷级数在微积分学中占有重要地位，我们可以借助无穷级数来表示函数，研究函数的性质，进行数值运算。所谓无穷级数，即无穷多项数列相加。根据求和的数列的特点不同，又分为常数项级数、正项级数、变号级数、幂级数等。判断这些级数的敛散性，有很多判别方法，判别方法也非常灵活。

例如：（比较判别法）设和都是正项级数，且则：

1）若级数收敛，则级数收敛;

2）若级数发散，则级数发散。

根据判别法可知，此判别法是针对正项级数，要判断一个正项级数的敛散性，需要找到另一个正项级数与之比较。重点就是需要找到的这个被比较的级数要恰当，下面举个例子说明。

例如：判别级数的敛散性

分析：这里需要对恰当放缩，观察分子为n+1，若分母

也能分解出n+1这个因式，就能消去n+1，分母变成n的一次幂，而分子只剩常数，这样便可以和调和级数建立联系。而调和级数发散，便可判断出此级数亦发散。

遇到这类较抽象的知识点时，要注意帮助分析思路，注重培养学生的抽象、分析、概括、判断、推理和综合能力。

3 探索性思维

探索性思维，是指根据目标进行求异、求同学习和探索的思维，它常常升华于一般性思维。在学习函数与极限章节，总会遇到用定义证明数列或函数的极限存在。需要假设极限存在，反解出所需要的N或δ或M。

极限这一章节是高等数学学习的第一章。对于刚步入大学生活的同学们来说，这一章节晦涩难懂不易理解，但是通过对本章定义以及例题的讲解与练习，可培养大学生假设、尝试、化归、联想和探索能力。

4 擴展性思维

扩展性思维的特点：灵活与求变。应努力培养大学生变通、灵活的思维以适应日新月异的社会。着重培养信息处理、做出决断和解决问题的能力。

在高等数学中，同一题可能有不同的解法，学生们在练习这样的题的过程当中，可以突破定势思维，使思维更具发散性。

例如：设球面半径为R，球冠高度为h，则球冠面积为多少？

解法一：利用微元法：

解法二：在直角坐标系下用二重积分计算：

解法三：在极坐标系下用二重积分计算：

设分别为球面的经度和纬度，则球冠在极坐标系下的面积微元为dS。于是有

这个题列举了三种解法，当然要解决这个题还不止这三种解法，一题多解的题在数学上也有很多。在遇到这类题型时，可告诉学生此题解法的多样性，讲解其中一种方法，让学生自己去发现并完成其他解法，在这个过程中，可以培养学生思维的深度和广度。

5 创造性思维

创造性思维，是指突破原有的思维方式并创造出新思维成果的思维，属于思维的高级阶段。在高等数学上体现在对题的解法，突破原有思维，用不一样的做法，而且此做法简单易懂。

上面的例题的解法可以看出解法一是常规解法，也是最容易想到的做法，但相比解法二稍微复杂一点。解法二更简单，但需要对二重积分的几何意义理解深刻，运用恰当。

本文对数学思维的五种形式进行了阐述，并举例说明在高等数学上这些思维锻炼的体现。为了阐述清晰，将这几种思维分开阐述说明，但是每一种思维锻炼并不是单独存在的。在教学、练习中，经常会涉及多种思维的训练。

参考文献

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作者简介

陈良莉（1990-），女，汉族，四川宜宾人，硕士，助教，主要从事高校数学类课程教学。