2021-2022年高考数学专题复习导练测 第六章 第2讲 等差数列及其前n项和 理 新人教A版
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2021年高考数学专题复习导练测第六章第2讲等差数列及其前n
项和理新人教A版
一、选择题
1. {a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和.若S10=S11,则a1=( ) A.18 B.20
C.22 D.24
解析由S10=S11得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.
答案 B
2.设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1=-11,a4+a6=-6,则当S n取最小值时,n 等于( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
解析由a4+a6=a1+a9=-11+a9=-6,得a9=5,从而d=2,所以S n=-11n+n(n-1)=n2-12n=(n-6)2-36,因此当S n取得最小值时,n=6.
答案A
3.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( ).A.-1 B.1 C.3 D.7
解析两式相减,可得3d=-6,d=-2.由已知可得3a3=105,a3=35,所以a20=a3+17d=35+17×(-2)=1.
答案B
4.在等差数列{a n}中,S15>0,S16<0,则使a n>0成立的n的最大值为
( ).
A .6
B .7
C .8
D .9
解析 依题意得S 15=15a 1+a 152
=15a 8>0,即a 8>0;S 16=
16
a 1+a 16
2
=8(a 1+a 16)
=8(a 8+a 9)<0,即a 8+a 9<0,a 9<-a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8,选C. 答案 C
5.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( ). A .8
B .7
C .6
D .5
解析 由a 1=1,公差d =2得通项a n =2n -1,又S k +2-S k =a k +1+a k +2,所以2k +1+2k +3=24,得k =5. 答案 D
6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a n b n
为
整数的正整数的个数是
( ). A .2
B .3
C .4
D .5
解析 由A n B n =7n +45n +3得:a n b n =A 2n -1B 2n -1=14n +382n +2=7n +19n +1,要使a n b n 为整数,则需7n +19
n +1
=
7+
12
n +1
为整数,所以n =1,2,3,5,11,共有5个. 答案 D 二、填空题
7.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k =________. 解析 a 7-a 5=2d =4,d =2,a 1=a 11-10d =21-20=1,
S k =k +k k -12
×2=k 2=9.又k ∈N *
,故k =3.
答案 3
8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412-S 3
9
=1,则公差为________.
解析 依题意得S 4=4a 1+4×32d =4a 1+6d ,S 3=3a 1+3×22d =3a 1+3d ,于是有
4a 1+6d
12-
3a 1+3d
9
=1,由此解得d =6,即公差为6. 答案 6
9.在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.
解析 (直接法)设公差为d ,则11(-3+4d )=5(-3+7d )-13, 所以d =5
9
,所以数列{a n }为递增数列.
令a n ≤0,所以-3+(n -1)·59≤0,所以n ≤32
5,
又n ∈N *,前6项均为负值, 所以S n 的最小值为-29
3.
答案 -29
3
10.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________. 解析 设等差数列{a n }的项数为2n +1,
S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1=
n +1
a 1+a 2n +1
2
=(n +1)a n +1,
S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2n =
n a 2+a 2n
2
=na n +1,
∴S 奇S 偶=
n +1n =44
33
,解得n =3,∴项数2n +1=7,S 奇-S 偶=a n +1,即a 4=44-33=11
为所求中间项. 答案 11 7 三、解答题
11.设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6
+15=0.
(1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围.
解 (1)由题意知S 6=-15S 5
=-3,a 6=S 6-S 5=-8,
所以⎩⎨
⎧
5a 1+10d =5,a 1+5d =-8.
解得a 1=7,所以S 6=-3,a 1=7.
(2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 2
1+9da 1+10d 2
+1=0, 故(4a 1+9d )2=d 2-8,所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.
12.在等差数列{a n }中,公差d >0,前n 项和为S n ,a 2·a 3=45,a 1+a 5=18. (1)求数列{a n }的通项公式;