自动控制原理第七章 非线性系统的分析

7.3
描述函数
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性 化方法，忽略非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表 示其输出。
r
＋
e
G1 ( S )
x
y
N
G2 (S )
C
C
设非线性环节的输入为
x x sin t
其输出的稳定分量y是与x同周期的非正弦周期信号，可用傅氏 级数表示
y
1 N(X )
Im
a
0
G ( j )

图示系统在a点产生稳定的自 持振荡。由交点可确定自持 振荡的频率和幅值。
Re

x a
b
例：
r 0
＋

1 -1
y
10 S ( S 1)( S 2)
C
1 X ，是与负实轴重合的直线。 N(X ) 4
Im
1 N(X )
x
借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面 图。
例1：有死区继电器非线性的系统框图如下
r 常数
＋
e
1 -1 1 -1
y
1 S ( S 1)
C
1 系统线性部分的传递函数 G ( S ) ，该二阶系统的无 S ( S 1)
阻尼自然振荡角频率 n 1rad / s ，阻尼比 0.5 ，根据 前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。
非线性特性的描述函数定义为
1 N ( X ) Y 1 e j1 ( B1 j A1) X X
这是一个复函数，模为输出基波幅值与输入幅值之比，相角 是输出基波对输入的相位移。 描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时，输出基波分量与X 在幅值和相位上的关系。
二、典型非线性特性的描述函数
1、死区非线性的描述函数
k 0 a x
-a
常见于齿轮传动机构、铁磁 元件的磁滞现象。可使系统 的稳态误差增大，也使系统 的动态特性变差。
4、继电器特性
y b -a -ma 0 ma -b a x
继电器特性中包含了死区、 回环和饱和特性，因此对系 统的稳态性能、暂态性能和 稳定性都有不利影响。
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法 2、描述函数法 时域方法 频域方法
二、典型非线性系统及对系统性能的影响
1、死区非线性
y k 0 a x
-a k
常见于测量、放大元件中。死区 非线性特性导致系统产生稳态误 差，且用提高增量的方法也无法 消除。
2、饱和非线性
y k -a 0 a x
常见于放大器中，在大信号作 用下，放大倍数小，因而降低 了稳态精度。
3、间隙非线性 y
继电器的输入－输出关系为
y f (e)
1, 0, 1,
e 1; 1 e 1; e 1 .
Ⅲ区 Ⅱ区 2 1 A -1 -1 -2 1 2 3
在 e e 平面，根据继电器的 非线性特性，可分为三个区域，
设初始状态 e(0) 3，(0) 0 ， e
e
G ( j )
-1.66
0


Re
1 G ( j )与 交点的坐标是 1.66。 N(X ) 1 交点处G ( j )的频率＝ 2， 的 N(X ) 幅值X 2.1
结论：该非线性系统存在自持振荡，振荡频率为 幅为2.1。
2 ，振
Ⅰ区
绘制相轨迹如图所示，(设r=3)
根据系统的相轨迹，可对 系统的性能分析如下：
e
1、系统的相轨迹收敛于A 点，是稳定的，奇点为稳定 焦点。e是单调衰减的。
2、相轨迹最后没有到达原
Ⅲ区
Ⅱ区 2 1
e
A
Ⅰ区
点，即
lim
t
e(t ) 0 ，说明
e
1 2 3
-1 -1 -2
系统在阶跃信号输入下，存 在稳态误差，引起稳态误差 的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表 明，系统是Ⅰ型系统，对阶 跃响应的稳态误差应为0，可 见死区继电器非线性对稳态 精度的影响。
1、无阻尼运动 ( 0) 二阶系统的极点分布和相平面图如下
jω
x
λ1 ×
0

0
x
λ2 ×
无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个 椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。
2、欠阻尼运动 (0 1)
jω
x
λ1 ×
0

x
λ2
×
系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于 原点。奇点称为稳定焦点。
y k 0 a x
-a k
a a B1 kx[1 (arcsin Y1 x x
2
a 1 )] x
2
1 0
X a 0 N( X) 2 a a (arcsin k [1 x x 2 a 1 )] x X a
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的 结构、参数，而且与系统的初始状态无关。
2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收 敛（稳定）。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外 界作用，也可能会发生自持振荡。 3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含 有高次谐波的非正弦信号。 4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分 析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来 处理各种非线性问题。 对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定； （2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡，确定自持 振荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方 法。
A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1

A0 Y n sin(nt n)
n 1
式中
An y (t ) cos nt d (t )
0
1 1
2
B n y (t ) sin nt d (t )
0
2
Yn
例2：非线性系统框图如下
r 常数
＋

e
a -M
M a
y
2 S ( S 1)
C
其中继电器回环特性的参数M=0.2，a=0.2。 系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节 的输入－输出关系为 e a, e 0 M 或 e a, e 0 y＝ －M
或
e a, e 0 e a, e 0
A
2 n
B2 n
arctg An n
Bn
由于y的高次谐波幅值 小于基波幅值，且系 统的线性部分 G1(s),G2 (s) 都具有低通滤波性质， 可以假设只有基波分 量起作用，而将高次 谐波忽略不计。
一、描述函数的定义
设非线性特性为对称型，则傅氏级数中的直流分量 A0 0 y的基波为
y1 A1 cost B1 sint Y 1 sin(t 1)
7.2
非线性系统的相平面分析方法
相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图 所示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递 函数。
r 常数
＋

N
G (S )
C
用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S) 必须是二阶。
一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
为描述函数的负倒幅特性。
如果满足上式，表示 G( j ) 与 有交点，此时非线性系 统将出现自持振荡，这相当于线性系统的极坐标图 G( j ) 在复平面中穿过（－1，j 0）点。
将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个复 平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定性。 一、非线性系统稳定
1 不被G ( j )包围 N(X )


1 N(X )
Im
x a

1 N(X )
0

Re

G ( j )
Im
二、非线性系统不稳定
x a
G ( j )

1 被G ( j )包围 N(X )
0

Re

1 N(X )
三、非线性系统产生自持振荡
1 与G ( j )相交 N(X )
根据上述关系，可将 e e 平面分为二个区域。分别绘制初 始状态分别为 e(0) 0.5, e(0) 0 和 e(0) 0.1, e(0) 0 的两 条相轨迹。
从图知，无论从哪一组初始条件出发，相轨迹均收敛于极限 环，这是一个稳定的极限环，意味着系统产生自持振荡。 一般不希望系统有自持振荡。当振荡难以消除时，应尽量 将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上，对 于此系统，通过减少继电器回环的宽度a，可减小振荡。
3、过阻尼运动 ( 1)
jω
x
×
×
λ2
λ1
0

x
系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点 的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。
4、(-1 0)
jω
× 0 ×
x

x
系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线， 原点处的奇点称为不稳定焦点。
5、 (-1 )
第七章 非线性系统的分析
7.1 基本概念
系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性化方法化为 线性系统，称为非线性系统。有两种情况 （1）系统中存在 非线性元件；（2）为了某种控制目的，人为引进的非线性。
一 、非线性系统的特点
1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的 结构、参数，而和系统的初始状态无关。
2 2 n x n x 0 x
相平面图是在 x x 平面中，绘制 x , x 随时间t 变化的轨迹， 称为相轨迹。相轨迹的起点是 。 ( x(0), x(0)) dx 0 奇点是指 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点 dx 0 有不同名称，据此可判断系统运动的性质。
2、理想继电器非线性的描述函数
y 1 0 -1 x
4 N(X ) X
7.4 非线性系统的谐波平衡法分析
和相平面法不同，谐波平衡法对非线性环节进行谐波 线性化处理，允许线性部分是任意阶次。
r
＋
e
N()
n
G (S )
C
非线性系统的特征方程为 即： 称
1 N(X )
1 N ( X )G( j ) 0 1 G( j ) N(X )
jω来自百度文库
x
×
×
λ1 λ2

x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散 型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。
6、
,
1
2
是对称于原点的实轴
jω
x
×
×
λ1
0
λ2

x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
二、非线性系统的相平面分析