第七章 概率论初步(下)

六、事件的独立性

1．事件独立性的概念 某人掷一颗骰子两次，第一次骰子出现的点数A 并不会影响第二次骰子出现的点数B ，此时有(/)()P B A P B =.即事件A 发生的概率与事件B 发生的概率无关，也就是说A 对于B 是独立的。

定义 如果两个事件,A B 中任一事件的发生不影响另一事件发生的概率，即

)()(B P A B P =（或)()(A P B A P =）

， 则称事件A 与B 相互独立.

定理 事件A 与B 相互独立的充要条件是

()()()P AB P A P B =.

推论 若事件A 与B 独立，则A 与__

B 、__

A 与

B 、__

A 与__

B 中的每一对事件都相互独立.

注意 实际应用中，一般不借助定义或定理来验证事件的独立性，而是根据问题的具体情况，按照独立性的直观意义或经验来判断事件的独立性。

例8 甲、乙两人单独地解答同一道习题，甲能答对的概率是0.8，乙能答对的概率是0.9. 试求：（1）两个都答对的概率；（2）至少有一个人答对的概率.

解（1）设A =（甲答对}，B ={乙答对}，则()0.8P A =，()0.9P B =，A 与B 相互独立，两人都答对为事件AB ，则有

()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=.

（2）至少有一人答对的事件为B A +，可用多种方法求解)(B A P +： 解法一:98.072.09.08.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P 解法二：

98

.01.02.01)()(1)(1)(1)(=⨯-=-=-=+-=+B P A P B A P B A P B A P

解法三:)()()()(B A P B A P AB P B A P ++=+98.09.02.01.08.072.0=⨯+⨯+=

七、离散型随机变量的的数字特征

1.离散型随机变量的概念

定义2 如果随机试验的每一个可能结果，都唯一地对应着一个实数X ，则这个随试验结果不同而变化的变量X 称为随机变量.

引入随机变量的概念后，随机事件就可以用随机变量的数量形式来表示． 例9 有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以X 表

示取到次品的件数，求X 的概率分布

解 随机变量X 可能取值为0，1，2，3，按古典概率计算事件（k X =）(=k 0，1，2，3)

2. 离散型随机变量的数学期望

数学期望——描述随机变量取值的平均特征

例 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2

则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)．即

5.762

715961100

29078015709606401=+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(分)

即6040

140+⨯

5

.7640

210040

79040

158040

97040

6=⨯

+⨯+⨯+⨯+⨯

定义3 设X 为离散型随机变量，X 的分布列为()k k

P X x p ==（ ,2,1=k ），则称1

k k k x p ∞

=∑为随机变量X 的数学期望或均值，记作()E X ，即∑∞

==

1

)(k k

k

p x

X E .

例10

求()E X .

解 ()E X ＝4.023.011.002.01⨯+⨯+⨯+⨯-＝9.0 。

3. 离散型随机变量的方差

案例 甲、乙两车间生产同一种产品，设1000件产品中的次品数分别为随机变量ξ，η，已知他们的分布列为：

试讨论甲、乙两车间的产品质量.

数学期望体现了随机变量取值的平均水平，它是随机变量的重要数字特征，但仅知道均值是不够的，还需要知道随机变量的波动程度，即随机变量所取值与它的数学期望的偏离程度.例如，检查一批日光灯的寿命，如果波动大，说明不

稳定；生物的某种特征（血压、白细胞数）波动大,表明该生物处于病态.

定义4 若离散型随机变量X 的概率分布为()k k P X x p ==（ ,2,1=k ），则

X

的方差定义为

2

1

()[()]k

k

k D X x

E X p ∞

==

-∑.

称方差()D X 的平方根 为X 的标准差．

根据均值的性质，可得到计算方差的一个最常用的公式：

2

2

)]

([)()(X E X E X D -=。

例11 设X

求)(X D .

解 p p p X E =⋅+-⋅=1)1(0)(，p p p X E =⋅+-⋅=2221)1(0)(， 因此 )1()]([)()(22p p X E X E X D -=-=

八、典型例题

例12 设离散型随机变量X 的概率分布为

(1)求常数a 的值；

(2)求X 的数学期望EX ．

解：(1)由 得

(2)

例13

解析 由概率性质

答案 B

例15 若随机事件A 与B 相互独立，而且

，则P(AB)=

解析 事件A 与B 相互独立的充要条件是 ()()()P AB P A P B =. 答案 A

例16 五人排成一行，甲乙两人必须排在一起的概率P=

解析

5

2)

2(5

544=

⨯=p p P

答案 B

例17 一枚均匀硬币连续抛掷3次，求3次均为正面向上的概率． 解：设Ai={第i 次正面向上} i=l ，2，3；A={三次正面向上}

所以

例18 有10件产品，其中8件是正品，2件是次品，甲、乙两人先后各抽取一件产品，求甲先抽到正品的条件下，乙抽到正品的概率． 解 设事件A 表示甲抽到正品，事件B 表示乙抽到正品．

解法1：在缩小的样本空间求条件概率