合情推理与演绎推理合情推理.ppt
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18 =7+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳 推理.(简称;归纳)
简之：由部分到整体，由个别（特殊）到一般 的推理。（结论只是猜测）
例如：由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳 出“一切金属都导电”；
由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角
和是1800，归纳出“所有三角形的内角和都是
归18纳00是。立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
具
实
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对象
也具有这些特征的推理称为类比推理 （简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点：
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的结论不一定成立
想一想 1.归纳推理所归纳的结论对已考定过的对象一定成立 吗？对未被考定的对象一定成立吗？
提示：一定成立；不一定成立．
2.合情推理在数学上有什么作用？
提示：(1)猜想和发现结论； (2)提供证明的思路和方向．
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）；
⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
类比推理的 由特殊到特殊的推理 特点
类比推理 的作用 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
Baidu Nhomakorabea德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
2.1合情推理与演绎推理 2.1.1.合情推理
一、推理的定义及分类
1.推理是人们思维活动的过程，是根 据一个或多个已知的判断来确定一个 新的思维过程。 2.日常生活中的例子 ⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。
我们会推断—天要下雨啦；
⑵某同学今天没有来上课。 我们会推断—某同学生病啦；
经
猜
体
验
验
想
证
问
观
归
结
题
察
纳
论
明
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用
发现新事实、 获得新结论
注意
归纳推理的结论不一定成立
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且 an+1
=
an 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
分析：数列的通项公式表示的是数 列{an}的第n项an与序号n之间的对 应关系。为此，我们先根据已知的
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称 鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇.
火星上是否有生命？
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
地球上有生命 猜想
火星上可能有生命
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc;
(1) a＞ba+c＞b+c; (2) a＞b ac＞bc;
递推公式，算出数列的前几项；然
后，再根据其特征归纳推理出它的
通项公式。
解：当n=1时， a1=1;
当n=4时，
1
当n=2时，
11 a2 11 2 ;
a3
1
3
1
1 4
3
观察可得，数列的前
当n=3时， 4项都等于相应序号
1
a3
1
2
1
1 3
2
的倒数，由此猜想，
这个数列的通项公式
为： an
1 n
2、类比推理：
长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
⑶谚语说：“八月十五云遮月，来
年正月十五雪打灯”。等等。
3.分类：
推理演 合绎 情推 推理 理
二、合情推理
合情推理
归纳推理 类比推理
1、归纳推理：
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两 个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3 ＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质 数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质 数之和。
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳 推理.(简称;归纳)
简之：由部分到整体，由个别（特殊）到一般 的推理。（结论只是猜测）
例如：由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳 出“一切金属都导电”；
由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角
和是1800，归纳出“所有三角形的内角和都是
归18纳00是。立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
具
实
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对象
也具有这些特征的推理称为类比推理 （简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点：
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的结论不一定成立
想一想 1.归纳推理所归纳的结论对已考定过的对象一定成立 吗？对未被考定的对象一定成立吗？
提示：一定成立；不一定成立．
2.合情推理在数学上有什么作用？
提示：(1)猜想和发现结论； (2)提供证明的思路和方向．
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）；
⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
类比推理的 由特殊到特殊的推理 特点
类比推理 的作用 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
Baidu Nhomakorabea德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
2.1合情推理与演绎推理 2.1.1.合情推理
一、推理的定义及分类
1.推理是人们思维活动的过程，是根 据一个或多个已知的判断来确定一个 新的思维过程。 2.日常生活中的例子 ⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。
我们会推断—天要下雨啦；
⑵某同学今天没有来上课。 我们会推断—某同学生病啦；
经
猜
体
验
验
想
证
问
观
归
结
题
察
纳
论
明
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用
发现新事实、 获得新结论
注意
归纳推理的结论不一定成立
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且 an+1
=
an 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
分析：数列的通项公式表示的是数 列{an}的第n项an与序号n之间的对 应关系。为此，我们先根据已知的
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称 鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇.
火星上是否有生命？
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
地球上有生命 猜想
火星上可能有生命
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc;
(1) a＞ba+c＞b+c; (2) a＞b ac＞bc;
递推公式，算出数列的前几项；然
后，再根据其特征归纳推理出它的
通项公式。
解：当n=1时， a1=1;
当n=4时，
1
当n=2时，
11 a2 11 2 ;
a3
1
3
1
1 4
3
观察可得，数列的前
当n=3时， 4项都等于相应序号
1
a3
1
2
1
1 3
2
的倒数，由此猜想，
这个数列的通项公式
为： an
1 n
2、类比推理：
长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
⑶谚语说：“八月十五云遮月，来
年正月十五雪打灯”。等等。
3.分类：
推理演 合绎 情推 推理 理
二、合情推理
合情推理
归纳推理 类比推理
1、归纳推理：
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两 个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3 ＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质 数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质 数之和。