正比例函数性质和图像

正比例函数的图象与性质

教学目标

【知识与技能】

认识正比例函数图象,掌握正比例函数图象的特点.

【过程与方法】

经历用图象表示正比例函数的过程,利用数形结合思想分析问题.

【情感、态度与价值观】

1.通过让学生用图象表示正比例函数,使学生参与到探究正比例函数的过程中来,激发学生学习数学的积极性.

2.将函数用图象表示出来使函数显得更为生动形象,使学生易于接受.

教学重难点

【重点】

正比例函数的图象表示法.

【难点】

由正比例函数图象归纳其性质.

教学过程

一、旧知复习

1.一般地,形如(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.

2.(1)若y=5x3m-2是正比例函数,则m=.

(2)若y=(m-2)是正比例函数,则m=,函数表达示为.

3.把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.比如上节课学习的摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的函数关系的图象.

一次函数y=kx+b的图象是怎样的呢?我们先研究较为简单的正比例函数的图象!

二、探究新知

1.画正比例函数y=2x图象.

(1)列表.

(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.

(3)连线:把这些点依次连接起来,得到图象.

小结:画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.

发现:正比例函数y=2x的图象是经过(0,0)的直线.

2.探究正比例函数图象的性质.

活动一:画正比例函数y=-3x图象.

(1)在所画的图象上任意取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,看一看这些点是否满足关系式y=-3x.

(2)满足关系式y=-3x的任意对应点(x、y)都是在y=-3x的图象上吗?

小结:图象上的点都满足关系式,关系式中的对应点都在图象上.

活动二:画正比例函数y=-2x的图象,再比较y=2x、y=-2x两个函数图象的相同点和不同点.

归纳:

相同点:两个函数的图象都是经过坐标原点的直线.

不同点:函数y=2x的图象从左向右上升,经过第一、三象限.

函数y=-2x的图象从左向右下降,经过第二、四象限.

活动三:观察下列四个函数的图象,回答下列问题:

正比例函数y=kx

(1)图象的形状是什么样的?(一条直线)

(2)图象经过了几个象限,所经过的象限与k有没有关系?有怎样的关系?(经过两个象限,k为正数时,图象经过一、三两个象限;k为负数时,图象经过二、四两个象限.)

(3)函数图象上升或下降与k有何关系?

(k为正数时,图象上升;为负数时,图象下降.)

归纳性质:

当k>0时,图象在一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大.

当k<0时,图象在二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小.

三、例题讲解

【例1】正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限,则m的取值范围

是.

【答案】m>1

【例2】已知正比例函数y=(2m-1)的图象在第二、四象限,求m的值.

【答案】m=-2

【例3】已知函数y=(m+1)x

(1)当m取何值时,y随x的增大而增大?

(2)当m取何值时,y随x的增大而减小?

【答案】(1)m>-1(2)m<-1

4.(x1,y1)和(x2,y2)是在直线y=-3x的图象上两点,且x1>x2,则y1,y2的大小关系是怎样?

【答案】y1

四、课堂小结

1.图象的形状:正比例函数的图象是一条经过原点的直线.

2.正比例函数的性质:

当k>0时,图象在一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大.

当k<0时,图象在二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小.

五、课堂检测：

1、下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）

A B C D

2、函数x y 5=的图像经过第______象限，经过点（0，____）与（1， ____），

y 随x 的增大而_____。

3、函数kx y =的图象经过点P （3，－1），则k 的值为（ ） A ．3

B ．－3

C ．31

D ．－3

1

4、已知正比例函数y kx =的y 随x 的增大而增大，则函数的图象经过第__________象限。

5、点()1,1y A -，()2,3y B -都在直线x y 2=上，则1y 与2y 的关系是（ ） A ．21y y ≤ B ．21y y ≥ C ．21y y < D ．21y y >

6、已知函数3)12(-++=m x m y ① 若函数图象经过原点,求m 的值

② 若这个函数是一次函数,且y 随着x 的增大而减小,求m 的取值范围。