数字信号处理5第四章 快速傅里叶变换(OK).
数字信号处理课件第4章快速傅里叶变换FF
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷 达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实 现过程中需要进行大量的浮点运 算，这可能导致计算成本较高， 尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对 计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高 性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等 。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用 场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决 问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号 到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速 计算方法。
数字信号处理答案(第三版)清华大学
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
数字信号处理第4章快速傅里叶变换FFT
X 6(k)
x6 (l)WNkl/ 4 DFT [x6(l)]
i0
x5 (l ) x6 (l )
x2 x2
(2l (2l
)
1)
,
l
0,1, N
/
4
1
(4.2.11)
课件
12
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点 X3(0 )
x(4 )
DFT X3(1 )
e N
j 2 m
e N
WNm
(4.2.2)
其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ] WNm
m N
WN 2
WNm
课件
4
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 ： 时 域 抽 取 法
课件
21
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点
X(0 )
x(1 )
DFT
X(4 )
x(2 )
W
0 N
N/4点
X(2 )
x(3 )
W
2 N
DFT
X(6 )
x(4 )
W
0 N
N/4点
X(1 )
x(5 )
W
1 N
DFT
X(5 )
x(6 )
W
2 N
W
0 N
N/4点
X(3 )
x(7 )
W
3 N
W
X
(k
N 2
)
数字信号处理-数字信号处理-快速傅里叶变换 直接计算DFT的问题及改进途径
第四章 快速傅立叶变换
N/4点
DFT
N/4点
DFT N/4点
…….
DFT
N/4点
DFT
N
2
N
2
2 2
N2 2
N
2
N
2
N
2
N
2
4 4 4 4
N2 4
x(n) IDFT [ X (k)]
1
N 1
X (k )W nk
0 n N 1
N k0
注意：
1）x(n)为复数，WNnk e也j 2N为 nk复数。
2）DFT与IDFT的计算量相当。
第四章 快速傅立叶变换
以DFT为例：
N 1
X (k) DFT [x(n)] x(n)WNnk n0
复数加法 N–1
N (N – 1)
一次复乘 一次复加
一个X (k) N个X (k) (N点DFT)
实数乘法 4
4N 4N 2
实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
第四章 快速傅立叶变换
计算一个 N点DFT ，共需N2次复乘。以做一次复乘1μs 计，若N =4096，所需时间为
第四章 快速傅立叶变换
由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实 时处理，限制了DFT的应用。长期以来，人们一直在寻 求一种能提高DFT运算速度的方法。
FFT便是 Cooley & Tukey 在1965 年提出的的快速 算法，它可以使运算速度提高几百倍，从而使数字信号 处理学科成为一个新兴的应用学科。
数字信号处理 第4章 快速傅里叶变换(FFT)-资料
x[0]
x[2]
W20
x[1]
x[3] W20
X1[0]
2点DFT X1[1] 1 X2[0]
2点DFT X2[1] 1
W40
1
W41
1
X [0] X [1] X [2] X [3]
4点基2时间抽取FFT算法流图
x[0]
x[2]
W40
x[1]
x[3]
W40
X1[0]
X1[1] 1
X2[0]
W40 1
W80 W80
2点DFT XX111[11[]1]
1 X4X1点21[20[]D0W] FW80T40
2点DFT XX121[21[]1W] W82411
1
1
xx[[11]]
XX212[10[]0]
xx[[35]] xx[[53]] xx[[77]]
W80 W80
2点DFT XX212[11[]1]
X2[1]
W41
1
1
X[0] X[1] X[2] X[3]
X[8mX点[m4基]]2X时X11[[间mm]]抽WW取88mmFXXF22[[Tmm算]],, 法mm流 00图,,11,,22,,33
x[0]
X1[0]
X [0]
x[2]
X1[1]
X [1]
x[4]
4点DFT
X1[2]
X [2]
x[6]
N=2
x[k]={x[0], x[1]}
X[0] x[0] W20 x[1] X [1] x[0] W21x[1] x[0] W20 x[1]
x[0]
X [0]
x[1] W20
-1
X [1]
《快速傅里叶变换(FFT) 第四章》
方法： 分解N为较小值：把序列分解为几个较短的 序列，分别计算其DFT值； 利用旋转因子WNk的周期性、对称性、可 约性进行合并、归类处理，以减少DFT的运 算次数。 k ( kn WN m WNN m WN ( nlN ) WNk lN ) n WN 周期性： N m m N m N m m m m 对称性：Wm WNm [W WN N WNN [WNNN m ]] WN WN 2 WN WN 可约性：W mN N W knmW kn / m W kn m kmn ,m 2 2
x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r )W e (r W x r) xxr) W( r ) W (WW (r )W W e W (2 ) x x x(2 r 1)
W e
2 j 2 kr 2 kr N N /2
N 2
2 这样将N点DFT分解为两个N/2点的DFT
N X (k ) X 1 (k ) W X 2k(k ) k 0,1, 1 N X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 2 k X (kN X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 2 1 ) N2 k X (k N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 N ) k X (k 2 N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 ) 2 k 2 X (k ) X (k ) W X (k ) k 0,1, 2 1
4.1 离散傅里叶变换的高效计算思路 DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接 计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分 析和信号的实时处理是不切实际的。
数字信号处理实验 matlab版 快速傅里叶变换(FFT)
实验14 快速傅里叶变换(FFT)(完美格式版，本人自己完成，所有语句正确，不排除极个别错误，特别适用于山大，勿用冰点等工具下载，否则下载之后的word 格式会让很多部分格式错误，谢谢)XXXX 学号姓名处XXXX一、实验目的1、加深对双线性变换法设计IIR 数字滤波器基本方法的了解。
2、掌握用双线性变换法设计数字低通、高通、带通、带阻滤波器的方法。
3、了解MA TLAB 有关双线性变换法的子函数。
二、实验内容1、双线性变换法的基本知识2、用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器3、用双线性变换法设计IIR 数字高通滤波器4、用双线性变换法设计IIR 数字带通滤波器三、实验环境MA TLAB7.0四、实验原理1、实验涉及的MATLAB 子函数（1）fft功能：一维快速傅里叶变换(FFT)。
调用格式：)(x fft y =；利用FFT 算法计算矢量x 的离散傅里叶变换，当x 为矩阵时，y 为矩阵x每一列的FFT 。
当x 的长度为2的幂次方时，则fft 函数采用基2的FFT 算法，否则采用稍慢的混合基算法。
),(n x fft y =；采用n 点FFT 。
当x 的长度小于n 时，fft 函数在x 的尾部补零，以构成n点数据；当x 的长度大于n 时，fft 函数会截断序列x 。
当x 为矩阵时，fft 函数按类似的方式处理列长度。
（2）ifft功能：一维快速傅里叶逆变换(IFFT)。
调用格式：)(x ifft y =；用于计算矢量x 的IFFT 。
当x 为矩阵时，计算所得的y 为矩阵x 中每一列的IFFT 。
),(n x ifft y =；采用n 点IFFT 。
当length(x)<n 时，在x 中补零；当length(x)>n 时，将x 截断，使length(x)＝n 。
（3）fftshift功能：对fft 的输出进行重新排列，将零频分量移到频谱的中心。
调用格式：)(x fftshift y =；对fft 的输出进行重新排列，将零频分量移到频谱的中心。
《快速傅里叶变换FF》课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT的基本原理 • FFT的应用 • FFT的实现 • FFT的性能优化 • FFT的局限性
CHAPTER 01
FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，极大地提高了 计算效率。
通过选择适合特定数据集的基数，混 合基数FFT可以在不同的应用场景下 获得最佳性能。
混合基数FFT结合了基于2的幂次和基 于其他基数的算法，以获得更好的计 算效率和精度。
CHAPTER 06
FFT的局限性
浮点运算的开销
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换。然而， 由于FFT涉及到大量的复数运算，因此其计算开销相对较大，尤其是对于大规模数据。
分段FFT
分段FFT是一种将大规模FFT分 解为多个小规模FFT的方法， 可以显著提高计算速度。
通过将输入数据分成多个段， 每个段可以独立进行FFT计算 ，从而并行处理多个段。
分段FFT适用于大规模数据集 ，可以有效地利用多核处理器 和分布式计算资源，提高计算 效率。
混合基数FFT
混合基数FFT是一种将不同基数算法 结合在一起的FFT方法，可以获得更 好的性能。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（ DFT）和其逆变换的算法。它通过一系列数学运算将DFT的 计算量从N^2降低到了Nlog2N，大大提高了计算效率。
算法原理
FFT算法基于DFT的周期性和对称性，将一个N点的DFT分解 为多个较短序列的DFT，然后利用递归和分治的思想进行计 算，最终得到原始序列的频域表示。
数字信号处理课后答案-第4章高西全
解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算 次数为
N2=1024×1024=1 048 576次 复数加法运算次数为
N（N－1）=1024×1023=1 047 552次 直接计算所用计算时间TD为
TD=4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s 用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
作品欣赏 谢谢观看！
Re[
y(n)]
1 2
[
y(n)
y* (n)]
DFT[Yep
(k )]
x1(n)
j Im[
y(n)]
1 [ y(n) 2
y* (n)]
DFT[Yop (k)]
jx2 (n)
③ 由x1(n)和x2(n)合成x(n):
x(n)
x1
n 2
x2
n
2
1
n 偶数 n 奇数
，0≤n≤2N－1
TF
10 109
N 2
l
bN
10 109
N
l
bN
108 1024 10 108 1024 10 2
0.1536 ms
快速卷积计算时间Tc约为
Tc 2TF 1024 次复数乘计算时间 2 0.1536103 10109 1024
0.317 44 ms
可实时处理的信号最高频率fmax为
fmax ≤
由DFT的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n)
j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
数字信号处理课件(第4章 快速傅里叶变换)
X 1 (k )
（4-8） （4-9）
N X 2 k X 2 (k ) 2
式（4-8）、式（4-9）说明了后半部分k值（N/2≤k≤N-1）所对应
的X1(k)， Ｘ 2(k)分别等于前半部分k值（0≤k≤N/2-1）所对应的 X1(k)，X2(k)。
第4章 快速傅里叶变换 再考虑到WkN 的以下性质:
X (k ) x(n )W
n 0
N 1
nk N
k=0, 1, …, N-1
（4-1）
反变换（IDFT）为
1 x ( n) N
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n=0, 1, …, N-1
（4-2）
第4章 快速傅里叶变换 二者的差别只在于WN的指数符号不同，以及差一个常数乘 因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算工作量。 下面我们
N N X k X1 k W 2 2
k N N k 2 N
N X2k 2
（4-12）
X 1 (k ) W X 2 (k )
N k 0,1,, 1 2
第4章 快速傅里叶变换
X1 (k)
第4章 快速傅里叶变换 例1 根据式（4-1），对一幅N×N点的二维图像进行DFT变
换，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问
需要多少时间（不考虑加法运算时间）？ 解 直接计算DFT所需复乘次数为（N2)2≈1012次，因此用每秒可做
10万次复数乘法的计算机，则需要近3000小时。
N 1 2 r 0
rk k rk k X (k ) x1 ( r )WN / 2 WN x2 ( r )WN / 2 X 1 (k ) WN X 2 (k )
快速傅里叶变换
前半部分
k0,1, ,N21
X ( N /2 k ) X 1 ( k ) W N k X 2 ( k )
后半部分
蝶形运算流图符号
说明：
X1(k)
X1(k)W N kX2(k)
(1) 左边两路为输入 (2) 右边两路为输出
W
k N
X2(k)
X1(k)W N kX2(k)
(3) 中间以一个小圆表示加、
X(k)X1(k)W N kX2(k)
k0, ,N/21
X(kN/2)X1(k)W N kX2(k)
得到X1(k)和X2(k)需要： 复乘：(N/2)2+ (N/2)2次 = 32次 复加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1) =12+12 =24次
此外，还有4个蝶形结，每个蝶形结需要1次复乘，2次复加。 一共是：复乘4次，复加8次。
W
N N
k
W
N
n
k
W
n N
N
W
N
n
k
周 期 性 W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
可 约 性 W N n k W m m N n k WNnk WNnk/m /m
j 2 m nk
e mN
j2N
e N2
e j
1
特 殊 点 ： W N 0 1 W N N / 2 1 W N ( k N / 2 ) W N k
偶序列 奇序 (l0 ..列 N 4 . 1 )此l处 0 ,1 ，
那么，X1(k)又可表示为
N /4 1
N /4 1
X 1 (k ) x 1 (2 l)W N 2 l/2 k x 1 (2 l 1 )W N (2 /l2 1 )k
数字信号处理 第四章 快速傅里叶变换(FFT)_Qianxh
N 82
3
分解后的运算量：
复数乘法 一个N/2点DFT (N/2)2 两个N/2点DFT N2/2 一个蝶形 N/2个蝶形 1 N/2 复数加法 N/2 (N/2 –1) N (N/2 –1) 2 N
总计
N2 /2 N /2 N2 /2
N N / 2 1 N N2 /2
n为偶
n为奇
N /2 1
N /2 1
r 0
x1 (2r ) WNrk/2 WNk
X1 ( k ) ?
r 0
x2 (2r 1) WNrk/2
X2 (k ) ?
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N 1
记：
X (k )
k X1 (k ) WN X 2 (k )
DIT算法的其他形式流图
输入倒位序输出自然序
输入自然序输出倒位序 输入输出均自然序 相同几何形状
输入倒位序输出自然序 输入自然序输出倒位序
参考P154-155
x(0) x(1)
0 WN 0 WN
X(0) X(4)
－1
x(2) x(3)
0 WN 0 WN
－1
0 WN 2 WN
1 x ( n) N
X (k )W
k 0
N 1
kn N
2、DFT与IDFT运算特点
x(n)W
n 0
N 1
nk N
一个X(k)
复数乘法 N
复数加法 N–1
a jb c jd ac bd j ad cb
一次复乘 一次复加 一个X (k) 4N 实数乘法 4 实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
数字信号处理教程 程佩青 课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述简答题:1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答:在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时,采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器.在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化,故又称之为“平滑”滤波器.判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
( ）答：错.需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理.（ ) 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析,再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础.第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器,如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应)，把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器.（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于,求整个系统的截止频率. （b)对于kHz T 201=，重复(a ）的计算.解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响,故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定,是625Hz 。
数字信号处理课件--第四章1快速傅里叶变换-PPT精品文档
运算流图、所需计算量和算法特点 运算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、
课件
1
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
课件
实数乘法 4
实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
4
W的 特 性
n k N
nk W N e
j
2 nk N
对 称 性 ( W ) W W W nN nk Nk nk W N W N W N W N
n k ( N n ) k n ( N k ) 周 期 性 W W W N N N
k X ( k ) X ( k ) W k ) N 2 5 N /2X 6( k 0,1 ,..., 1 N 4 k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) 2 5 N /2 6 4
课件 8
再利用周期性求X(k)的后半部分
Xk , Xk 是 以 N / 2 为 周 期 的 1 2 N Xk Xk 1 1 2
N k 2 N
N X k Xk 2 2 2
N / 2 k k 又 W WW W N N N
n k m n k n k n k /m 可 约 性 WW W W N m N N Nm /
2 j m nk mN
n k * n k ( N n ) k n ( N k ) N N N N