重庆市渝东六校2020-2021学年高二下学期期中联考(文)数学试题
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8
9
10
11.5
（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；
（2）如果2021年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？
参考公式： ， 参考数据： ，
21．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
A．y平均增加3个单位B．y平均减少4个单位
C．y平均增加4个单位D．y平均减少3个单位
4．将极坐标 化为直角坐标为（）
A． B． C． D．
5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式 ，可推知扇形面积公式 等于（ ）
A． B．
C． D．不可类比
6．直线 （t为参数）的斜率等于（）
A． B． C． D．2
16．设 为椭圆 上一点，过点A作一条斜率为 的直线l，又设d为原点到直线l的距离， 分别为A点到椭圆两焦点的距离.则 ________.
三、解答题
17．求证： .
18．已知i为虚数单位，复数 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数a和m的值或取值范围.
19．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）.
（1）求曲线 的极坐标方程
（2）求曲线 与 交点的极坐标（ ）
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
（1）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C相交于AB两点，且 ，求m的值.
参考答案
1．B
【点睛】
本题主要考查了类比推理知识，对比图形的特征即可解答，属于基础题．
6．C
【分析】
首先把直线的参数式转换为直角坐标的形式，进而求出直线的斜率．
【详解】
直线 （t为参数），转换为直角坐标方程为： ，故直线的斜率为 ．故选：C．
【点睛】
本题考查了将参数方程化直角坐标方程的基本方法，以及直线的方程的应用，属于基础题．
平均每天锻炼的时间/分钟
总人数
34
51
59
66
65
25
将学生日均体育锻炼时间在 的学生评价为“锻炼达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 列联表；
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
女
40
160
合计
（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
参考公式： ，其中 .
7．已知变量x与变量y的取值如下表所示，且 ，则由该数据算得的线性回归方程可能是（）
x
2
3
4
5
y
2.5
m
n
6.5
A． B． C． D．
8．复数 为纯虚数是 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．在极坐标系中，直线 与直线l关于极轴所在的直线对称，则直线l的方程为（）
临界值表
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
20．某公司为了提高利润，从2021年至2021年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
投资金额x（万元）
5
5.5
6
6.5
7
年利润增长y（万元）
7.5
重庆市渝东六校2020-2021学年高二下学期期中联考（文）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 （）
A． B． C． D．
2．把直角坐标 化为极坐标，则极坐标可以为（）
A． B． C． D．
3．设有一个回归方程为 ，则变量x增加一个单位时（）
【解析】
【分析】
根据复数的运算的基本概念和性质，即可求出结果．
【详解】
由题意可知, ，故选B．
【点睛】
本题主要考查了复数的基本性质，属于基础题．
2．C
【分析】
利用直角坐标和极坐标互换公式，将直角坐标转化为极坐标．
【详解】
对于点 ， ，且 在第二象限，则 ，则点 的极坐标为 ；
故选：C.
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．
7．A
【分析】
由回归方程必过样本中心 ，且 ，以及正负相关性，代入选项即可得到结果．
【详解】
由回归方程必过样本中心 ， ，
又 ，所以 ，由表格，可得为正相关，排除C，D；代入选项A，B，可知A满足．故选：A．
【点睛】
本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，属于基础题．
8．A
【分析】
由于复数 为纯虚数，故 且 ，然后再根据充分条件、必要条件的判断方法，即可得到结果．
A． B．
C． D．
10．复数 ，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．设直线 （t为参数），曲线 （ 为参数），直线l与曲线C的交于A，B两点，则 （）
A． B． C． D．
12．在直角坐标系xOy中，曲线 （t为参数， ），其中 ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ， ，若 与 相交于点A， 与 相交于点B，则线段 的最大值为（）
4．B
【分析】【详解】
由题意可知， ，∴直角坐标为 ．故选：B．
【点睛】
本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题．
5．C
【分析】
将扇形的弧类比为三角形的底边，高类比为扇形的半径，问题得解．
【详解】
将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝ ．故选C．
A． B．2C．1D．
二、填空题
13．复数 的虚部为________.
14．下图的程序计算，若开始输入的值为5，则最后输出的结果是________.
15．在一次活动中，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物，甲说：“礼物在我这儿”，乙说：“礼物不在丙处”，丙说：“礼物不在我这儿”，如果三人中只有一人说的是假话请问________获得了礼物.（填“甲”或“乙”或“丙”）.
3．B
【分析】
根据所给的线性回归方程，写出自变量加 以后的结果，把结果同原来的自变量为 的结果相减，得到结论．
【详解】
因为回归方程为 ①，
所以变量 增加一个单位时， ②
②-①得 ，即 平均减小4个单位，故选：B．
【点睛】
本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述时一定要加上平均两个字，这是容易出错的知识点．
9
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11.5
（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；
（2）如果2021年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？
参考公式： ， 参考数据： ，
21．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
A．y平均增加3个单位B．y平均减少4个单位
C．y平均增加4个单位D．y平均减少3个单位
4．将极坐标 化为直角坐标为（）
A． B． C． D．
5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式 ，可推知扇形面积公式 等于（ ）
A． B．
C． D．不可类比
6．直线 （t为参数）的斜率等于（）
A． B． C． D．2
16．设 为椭圆 上一点，过点A作一条斜率为 的直线l，又设d为原点到直线l的距离， 分别为A点到椭圆两焦点的距离.则 ________.
三、解答题
17．求证： .
18．已知i为虚数单位，复数 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数a和m的值或取值范围.
19．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）.
（1）求曲线 的极坐标方程
（2）求曲线 与 交点的极坐标（ ）
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
（1）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C相交于AB两点，且 ，求m的值.
参考答案
1．B
【点睛】
本题主要考查了类比推理知识，对比图形的特征即可解答，属于基础题．
6．C
【分析】
首先把直线的参数式转换为直角坐标的形式，进而求出直线的斜率．
【详解】
直线 （t为参数），转换为直角坐标方程为： ，故直线的斜率为 ．故选：C．
【点睛】
本题考查了将参数方程化直角坐标方程的基本方法，以及直线的方程的应用，属于基础题．
平均每天锻炼的时间/分钟
总人数
34
51
59
66
65
25
将学生日均体育锻炼时间在 的学生评价为“锻炼达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 列联表；
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
女
40
160
合计
（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
参考公式： ，其中 .
7．已知变量x与变量y的取值如下表所示，且 ，则由该数据算得的线性回归方程可能是（）
x
2
3
4
5
y
2.5
m
n
6.5
A． B． C． D．
8．复数 为纯虚数是 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．在极坐标系中，直线 与直线l关于极轴所在的直线对称，则直线l的方程为（）
临界值表
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
20．某公司为了提高利润，从2021年至2021年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
投资金额x（万元）
5
5.5
6
6.5
7
年利润增长y（万元）
7.5
重庆市渝东六校2020-2021学年高二下学期期中联考（文）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 （）
A． B． C． D．
2．把直角坐标 化为极坐标，则极坐标可以为（）
A． B． C． D．
3．设有一个回归方程为 ，则变量x增加一个单位时（）
【解析】
【分析】
根据复数的运算的基本概念和性质，即可求出结果．
【详解】
由题意可知, ，故选B．
【点睛】
本题主要考查了复数的基本性质，属于基础题．
2．C
【分析】
利用直角坐标和极坐标互换公式，将直角坐标转化为极坐标．
【详解】
对于点 ， ，且 在第二象限，则 ，则点 的极坐标为 ；
故选：C.
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．
7．A
【分析】
由回归方程必过样本中心 ，且 ，以及正负相关性，代入选项即可得到结果．
【详解】
由回归方程必过样本中心 ， ，
又 ，所以 ，由表格，可得为正相关，排除C，D；代入选项A，B，可知A满足．故选：A．
【点睛】
本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，属于基础题．
8．A
【分析】
由于复数 为纯虚数，故 且 ，然后再根据充分条件、必要条件的判断方法，即可得到结果．
A． B．
C． D．
10．复数 ，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．设直线 （t为参数），曲线 （ 为参数），直线l与曲线C的交于A，B两点，则 （）
A． B． C． D．
12．在直角坐标系xOy中，曲线 （t为参数， ），其中 ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ， ，若 与 相交于点A， 与 相交于点B，则线段 的最大值为（）
4．B
【分析】【详解】
由题意可知， ，∴直角坐标为 ．故选：B．
【点睛】
本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题．
5．C
【分析】
将扇形的弧类比为三角形的底边，高类比为扇形的半径，问题得解．
【详解】
将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝ ．故选C．
A． B．2C．1D．
二、填空题
13．复数 的虚部为________.
14．下图的程序计算，若开始输入的值为5，则最后输出的结果是________.
15．在一次活动中，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物，甲说：“礼物在我这儿”，乙说：“礼物不在丙处”，丙说：“礼物不在我这儿”，如果三人中只有一人说的是假话请问________获得了礼物.（填“甲”或“乙”或“丙”）.
3．B
【分析】
根据所给的线性回归方程，写出自变量加 以后的结果，把结果同原来的自变量为 的结果相减，得到结论．
【详解】
因为回归方程为 ①，
所以变量 增加一个单位时， ②
②-①得 ，即 平均减小4个单位，故选：B．
【点睛】
本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述时一定要加上平均两个字，这是容易出错的知识点．