谐响应分析理论

虽然在ANSYS中进行谐响应分析是一个很简单的过程，只需要几行代码就可以实现。很多朋友根据书上或者网上已有的分析代码稍作修改就可以进行分析了。但是其中很多概念是否理解了呢，得到的结果有什么实际意义呢。下面通过介绍一个单自由度的弹簧振子的谐响应分析理论求解，然后在ANSYS中求解。通过两种结果的对比，以解释一些概念。这个例子是Help手册中的VM86，很多振动学的教材中都会有这样的例子。

1.问题描述

如上图是一个典型的单自由度弹簧振子系统。假设此系统承受谐激励载荷。其中为激励载荷的幅值，为载荷的周期。

2.理论基础

此系统的动力方程为：

(1)

这个方程的求解方法很多，下面介绍一种最常用的求解方式：方程两边同除以，得到

(2)

如果令，

则上式可以写成：

(3)

这个方程的解分为两部分，一部分为齐次方程的解，就是阻尼系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫瞬态响应。另一部分是特解，也就是强迫振动响应。不会随时间衰减，所以称为稳态响应。

由于系统是线性系统，瞬态响应和稳态响应可分别求解，然后合成为系统的总响应。下面介绍如何求解系统的稳态响应，即方程(3)的特解。

由于激振力为简谐力，可以证明系统的稳态响应也是简谐的，并且与激振力有同样的频率。设系统的稳态响应有如下形式：

(4)

其中，和分别是系统响应的幅值和相位。将式(4)代入方程式(3)，可得

(5) 利用三角函数关系

故有，

(6)

求解上式可得到

(7)

这样就得到了系统稳态响应的幅值和相位角

对于方程(3)的齐次方程的解，也就是瞬态解这里只是给出求解结果，以后有机会再写详细的求解过程。

有阻尼系统的自由振动方程为：

(8)

工程中阻尼一般比较小，此方程的解可以表示为：

于是振动微分方程的(1)的解为：

画出此响应曲线如下图：

从图中可以看到，正如前面所说的，由于阻尼的存在，瞬态响应部分随时间的增加很快就消失了。所以通常进行谐强迫振动分析时，我们只需关注系统的稳态解，也就是求解幅值和相位角。